2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第十講全稱量詞與存在量詞（精講）

2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第十講全稱量詞與存在量詞（精講）（解析版）【知識點透析】一、全稱量詞與全稱命題全稱量詞“所有”、“每一個”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”符號?全稱命題p含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應(yīng)的詞語是“都”二、存在量詞與特稱命題存在量詞“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”符號?特稱命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為?x0∈M，p(x0)【注意】（1）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。三、全稱命題與特稱命題的否定命題命題的表述全稱命題p?x∈M，p(x)全稱命題的否定p?x0∈M，p(x0)特稱命題p?x0∈M，p(x0)特稱命題的否定p?x∈M，p(x)命題與命題的否定的真假判斷：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然四、常見正面詞語的否定：正面詞語等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個【知識點精講】題型一全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析及真假判斷【例題1】．（2022·遼寧沈陽高一課時檢測）下列命題是全稱量詞命題的是（

）A．有些實數(shù)是無理數(shù) B．至少有一個整數(shù)，使得是質(zhì)數(shù)C．每個三角形的內(nèi)角和都是 D．，使得【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題和存在命題的定義判斷各選項即可.【詳解】對于A，可將命題改寫為：，使得為無理數(shù)，則命題為存在命題，A錯誤；對于B，可將命題改寫為：，使得為質(zhì)數(shù)，則命題為存在命題，B錯誤；對于C，可將命題改寫為：中，，則命題為全稱命題，C正確；對于D，命題包含存在量詞，則其為存在命題，D錯誤.故選：C【例題2】．（2022·江蘇無錫高一單元測試）下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是（

）．A．實數(shù)都大于0B．有些菱形是正方形C．三角形內(nèi)角和為180° D．有小于1的自然數(shù)【答案】C【分析】B、D不是全稱命題，A、C是全稱命題而A顯然錯誤.【詳解】實數(shù)都大于0，是全稱命題，但不是真命題，所以A.選項錯誤；有些菱形是正方形，不是全稱命題，所以B選項錯誤；三角形內(nèi)角和為180°，是真命題，也是全稱命題，所以C選項正確；有小于1的自然數(shù)，是真命題，但不是全稱命題，所以D選項錯誤.故選：C.【例題3】．（2022·云南曲靖一中高一專題檢測）下列命題中是存在量詞命題的是（

）A．所有的二次函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱B．正方形都是平行四邊形C．空間中不相交的兩條直線相互平行D．存在大于等于9的實數(shù)【答案】D【分析】直接找出四個選項中的全稱量詞與存在量詞得答案.【詳解】選項A中，“所有的”是全稱量詞；選項B中，意思是所有的正方形都是平行四邊形，含全稱量詞；選項C中：意思是所有的不相交的兩條直線相互平行，是全稱量詞；選項D中，“存在”是存在量詞.故選：D.【例題4】．（2021·河北·石家莊市第二十四中學(xué)高一期中）下列命題中是存在量詞命題且為假命題的是（）A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．，使【答案】C【分析】根據(jù)各選項命題的描述判斷是否為存在量詞命題及其真假即可.【詳解】A：命題為存在量詞命題，當(dāng)時，，故為真命題；B：命題為全稱量詞命題，不是存在量詞命題；C：命題為存在量詞命題，，，故為假命題；D：命題為存在量詞命題，當(dāng)時，，故為真命題.故選：C【例題4】（2022·銀川一中高一課時檢測）給出下列四個命題，其中是真命題的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題，存在量詞命題的概念逐項分析即得.【詳解】對于A，當(dāng)x=0時，不成立，故A為假命題；對于B，當(dāng)時，滿足，故B為真命題；對于C，當(dāng)時，不成立，故C為假命題；對于D，由可得，且均為無理數(shù)，故D為假命題．故選：B．【例題5】．（2022·山東泰山高一課時檢測）下列四個命題中的真命題為（）A．， B．，C．?x∈R， D．?x∈R，【答案】D【分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題的定義進(jìn)行推理即可．【詳解】若1＜＜3，得，則，故A錯誤，由得，則，故B錯誤，由得，故C錯誤，恒成立，故D正確，故選：D．【變式1】（2021秋?蒼南縣校級月考）下列命題中（1）有些自然數(shù)是偶數(shù)；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的數(shù)也能被3整除；（4）對于任意x∈R，總有．存在量詞命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】對于（1），有些自然數(shù)是偶數(shù)，含有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；對于（2），正方形是菱形，可以寫成“所有的正方形都是菱形”，它是全稱量詞命題；對于（3），能被6整除的數(shù)也能被3整除，可以寫成“所有能被6整除的數(shù)也能被3整除”，是全稱量詞命題；對于（4），對于任意x∈R，總有，含有全稱量詞“任意的”，是全稱量詞命題．所以存在量詞命題的序號是（1），有1個．故選B．【變式2】下列命題不是存在量詞命題的是（）A．有些實數(shù)沒有平方根 B．能被5整除的數(shù)也能被2整除 C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0 D．有一個m，使2﹣m與|m|﹣3異號【答案】B【解析】對于A，有些實數(shù)沒有平方根，有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；對于B，“能被5整除的數(shù)也能被2整除”省略了“所有”，是全稱量詞命題；對于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量詞“存在”，是存在量詞命題；對于D，有一個m，使2﹣m與|m|﹣3異號，有存在量詞“有一個”，是存在量詞命題．故選B．【變式3】．（2020·如皋市第一中學(xué)高一月考）下列命題中的假命題是（）A．， B．，C．， D．，【答案】．B【解析】A中命題是全稱量詞命題，易知恒成立，故是真命題；B中命題是全稱量詞命題，當(dāng)時，，故是假命題；C中命題是存在量詞命題，當(dāng)時，，故是真命題；D中命題是存在量詞命題，當(dāng)時，，故是真命題．故選：B【變式4】．（2021四川綿陽高一檢測）下列命題中真命題的個數(shù)（）.（1）； （2）；（3）能被2和3整除； （4）A．0個 B．4個 C．2個 D．3個【答案】．D【解析】：（1），，，正確；（2）時，，因此正確；（3）時，能被2和3整除，因此正確；（4）由于，無實數(shù)根，因此不正確．所以真命題的個數(shù)為3個．故選：D．【變式5】．（2021·江蘇鎮(zhèn)江大港中學(xué)高一）有下列四個命題：①，；②，；③，，；④，．其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】．A【解析】對于①，，，則，①是真命題；對于②，因時，，，②是假命題；對于③，因，，即，③是假命題；對于④，因當(dāng)且僅當(dāng)或時，，而，且，④是假命題，所以真命題的序號是①，共1個．故選：A題型二全稱命題與特稱命題的否定【例6】（2022·江蘇鎮(zhèn)江高一檢測）命題“?x>2，x2﹣3>0的否定是（）A．?x0≤2，x02﹣3≤0B．?x>2，x2﹣3≤0C．?x0>2，x02﹣3≤0D．?x≤2，x2﹣3≤0【答案】C【解析】命題為全稱命題，則命題的否定為，故選：C.【例題7】（202·四川成都高一檢測）設(shè)命題，，則命題p的否定為（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】利用含有一個量詞的命題的否定方法可知，存在量詞命題，的否定為：，.故選：B.【變式1】．（2021·天津河?xùn)|區(qū)·高二學(xué)業(yè)考試）命題“對任意，都有”的否定為（）A．存在，使得 B．對任意，都有C．存在，使得 D．不存在，使得【答案】．C【解析】對命題“任意，都有”的否定為：存在，使得.故選：C【變式2】．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三一模（理））命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】．C【解析】命題“，”為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，故選：C.【變式3】．（2021云南紅河中學(xué)高一檢測）下列命題正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“”的否定是“”C．設(shè)，則“且”是“”的必要而不充分條件D．設(shè)，則“”是“”的必要而不充分條件【答案】ABD【解析】對于選項A：“a>1”可推出“<1”，但是當(dāng)<1時，a有可能是負(fù)數(shù)，所以“<1”推不出“a>1”，所以“a>1”是“<1”的充分不必要條件，故A正確；對于選項B：命題“?x<1，x2<1”的否定是“?x<1，x2≥1”，故B正確；對于選項C：當(dāng)x=-3，y=3時，x2+y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要條件，故C錯誤；對于選項D：“a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分條件，故D正確.故選：ABD.題型三全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用【例題8】．（2021·遼寧撫順高一課時檢測）已知命題p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>3 C．a(chǎn)≤3 D．a(chǎn)≥3【答案】D【分析】根據(jù)給定條件寫出命題，再由全稱量詞命題是真命題即可得解.【詳解】因命題p：?x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，則有命題：x∈{x|1<x<3}，x-a<0，又是真命題，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3，所以實數(shù)a的取值范圍是a≥3.故選：D【例題9】．（2020·南京市第十三中學(xué)高一月考）已知命題“?x∈R，使”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)<0B．0≤a≤4C．a(chǎn)≥4 D．0<a<4【答案】．D【解析】∵命題“?x∈R，使”是假命題，∴命題“?x∈R，使”是真命題，則判別式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，解得0<a<4，故選：D.【例題10】．（2022·湖南長沙高一課時檢測）若命題“，不等式”為真命題，則a的最大值是（）A．0 B．2 C． D．【答案】．B【解析】若命題“，不等式”為真命題，則，解得；故選：B.【例題11】．（2021·江蘇南京市·南京一中高三開學(xué)考試）若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，等價于不滿足對于恒成立，不符合題意；當(dāng)時，若對于恒成立，則即可得：，綜上所述：實數(shù)的取值集合是，故選：B.【例題12】．（2022·江蘇鎮(zhèn)江高一課時檢測）已知命題，都有，命題，使，若命題為真命題，命題q的否定為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)為假命題，可判斷為真命題，再根據(jù)全稱量詞命題及存在量詞命題為真求出參數(shù)的取值范圍，最后取公共解即可；【詳解】因為為假命題，所以為真命題，命題，都有，為真命題，則，即命題，使，為真命題，則，即因為命題、同時為真命題，所以，解得，故實數(shù)m的取值范圍是．【例題13】．（2022·廣東·汕頭市澄海中學(xué)高一期末）已知，命題p：，恒成立；命題q：存在，使得.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若p，q有且只有一個真命題，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）命題為真命題時，轉(zhuǎn)化為，求的取值范圍；（2）當(dāng)命題為真命題時，即，再求當(dāng)兩個命題一真一假時，的取值范圍的交集.【詳解】（1）∵，∴，解得，故實數(shù)的取值范圍是

（2）當(dāng)q為真命題時，則，解得

∵p，q有且只有一個真命題當(dāng)真假時，，解得：當(dāng)假真時，，解得：綜上可知，或

故所求實數(shù)的取值范圍是或.【變式1】．（2022·吳江平望中學(xué)高一月考）命題：任意,-成立；命題：存在,+成立.（1）若命題為真命題,求實數(shù)的取值范圍;（2）若命題為假命題,求實數(shù)的取值范圍;（3）若命題、至少有一個為真命題,求實數(shù)的取值范圍;【答案】．（1）（2）（3）或【解析】：（1）由題,,即,（2）由題,,即,（3）當(dāng)是真命題