廣東省河源市燈塔中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省河源市燈塔中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是1.5，則正視圖中的x的值是

A.2

B.4.5

C.1.5

D.3參考答案：C由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)四棱錐，其中底面是一個(gè)上、下、高分別為1、2、2的直角梯形，一條長為x的側(cè)棱垂直于底面．

則體積為=，解得x=1.5．2.若雙曲線x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，若直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，且β=kα（k＞1），那么α的值是(

) A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)P（m，n），得直線PA、PB的斜率KPA和KPB滿足：KPA?KPB=，由點(diǎn)P是雙曲線x2﹣y2=a2上的點(diǎn)，得n2=m2﹣a2，整理得KPA?KPB=1．由斜率與傾斜角的關(guān)系，得tanα?tanβ=1，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，得α+β=，最后根據(jù)β=α化簡整理，即可得到本題的答案．解答： 解：∵雙曲線方程為x2﹣y2=a2，即﹣=1（a＞0）∴雙曲線的左頂點(diǎn)為A（﹣a，0），右頂點(diǎn)為B（a，0）設(shè)P（m，n），得直線PA的斜率為KPA=；直線PB的斜率為KPB=∴KPA?KPB=…（1）∵P（m，n）是雙曲線x2﹣y2=a2上的點(diǎn)，∴m2﹣n2=a2，得n2=m2﹣a2，代入（1）式得KPA?KPB=1，∵直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，得tanα=KPA，tanβ=KPB，∴tanα?tanβ=1，∵P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，得α、β均為銳角∴α+β=（k+1）α=，解之得α=，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題給出等軸雙曲線上一點(diǎn)P，求P與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的傾斜角之間的一個(gè)關(guān)系式，著重考查了直線的斜率、三角函數(shù)公式和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．3.函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間是（

） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）參考答案：C略4.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集,,則（

）A． B．C． D．參考答案：A5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(,0),B(1,2),動(dòng)點(diǎn)P滿足,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],則所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形面積為（A）1 （B）2 （C） （D）2參考答案：C本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算,線性規(guī)劃.設(shè),則所有點(diǎn)P構(gòu)成圖形如圖所示（陰影部分）故選C6.若均為單位向量，且，則的最小值為 （

） A．

B．1

C．

D．參考答案：A,因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，最小為，所以，即的最小值為。選A.7.已知函數(shù)，則（

）A.y=f(x)的周期為2，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.y=f(x)的周期為2，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.y=f(x)的周期為1，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.y=f(x)的周期為2，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱參考答案：A，∴，令，解得：當(dāng)時(shí)，得到圖象的一條對(duì)稱軸為.故選：A8.已知平面向量，，則與的夾角為A.

B．

C.

D.參考答案：B，，與的夾角為，故選B.9.對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算，運(yùn)算原理如右圖所示，則式子的值為（

）A．8

B．10 C．12

D．參考答案：C10.已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是

．參考答案：設(shè)圓柱的底面半徑為，母線為，則，所以。12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，則的值是

．參考答案：13.若為兩個(gè)不同的平面，m、n為不同直線，下列推理:①若；②若直線；③若直線m//n，；④若平面直線n；其中正確說法的序號(hào)是________.參考答案：略14.在正三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，且側(cè)棱，

則正三棱錐外接球的表面積為____

_.參考答案：36π略15.已知銳角A，B滿足tan(A＋B)＝2tanA，則tanB的最大值是

▲

．參考答案：16.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，△ABC的面積為，則△ABC周長的最小值為______.參考答案：6【分析】根據(jù)正弦定理化簡題目所給表達(dá)式，求得的值，由此求得的大小，根據(jù)三角形的面積公式得到，利用基本不等式和余弦定理求得的最小值，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】由，得，即，因?yàn)?，所以，所以，所?由，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立），則，可得，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查利用基本不等式求和的最小值，屬于中檔題.17.觀察下列不等式：①＜1；②；③；…則第5個(gè)不等式為

．參考答案：考點(diǎn)：歸納推理；進(jìn)行簡單的合情推理．專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：前3個(gè)不等式有這樣的特點(diǎn)，第一個(gè)不等式含1項(xiàng)，第二個(gè)不等式含2項(xiàng)，第三個(gè)不等式含3項(xiàng)，且每一項(xiàng)的分子都是1，分母都含有根式，根號(hào)內(nèi)數(shù)字的規(guī)律是2；2，6；2，12；由此可知，第n個(gè)不等式左邊應(yīng)含有n項(xiàng)，每一項(xiàng)分子都是1，分母中根號(hào)內(nèi)的數(shù)的差構(gòu)成等差數(shù)列，不等式的右邊應(yīng)是根號(hào)內(nèi)的序號(hào)數(shù)．解答： 解：由①＜1；②+；③；歸納可知第四個(gè)不等式應(yīng)為；第五個(gè)不等式應(yīng)為．故答案為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了合情推理中的歸納推理，歸納推理是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納，然后提出猜想的推理．是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.點(diǎn)外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢(shì).某配餐店為擴(kuò)大品牌影響力，決定對(duì)新顧客實(shí)行讓利促銷，規(guī)定：凡點(diǎn)餐的新顧客均可獲贈(zèng)10元或者16元代金券一張，中獎(jiǎng)率分別為和，每人限點(diǎn)一餐，且100%中獎(jiǎng).現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁四位員工決定點(diǎn)餐試吃.(Ⅰ)求這四人中至多一人抽到16元代金券的概率；(Ⅱ)這四人中抽到10元、16元代金券的人數(shù)分別用X、Y表示，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：(Ⅰ)解:設(shè)“四人中恰有i人獲贈(zèng)16元代金券”為事件，其中i=0,1,2,3,4.

則由

………(2分)得.(5分)

(Ⅱ)解:隨機(jī)變量的所有可能取值為.

………(6分)，

（8分），

…(10分)，

………(11分)

∴隨機(jī)變量的分布列為034

…………(12分)

的數(shù)學(xué)期望.

………(13分)19.（2017?河北二模）已知關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集為R．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此時(shí)a，b，c的值．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（Ⅰ）利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|，對(duì)x與m的范圍討論即可．（Ⅱ）構(gòu)造柯西不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|當(dāng)3≤x≤m，或m≤x≤3時(shí)取等號(hào)，令|m﹣3|≥2m，∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．解得：m≤﹣3，或m≤1∴m的最大值為1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．由柯西不等式：（++1）（4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，∴4a2+9b2+c2≥，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)4a=9b=c，且a+b+c=1時(shí)成立．即當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=，c=時(shí)，4a2+9b2+c2的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的幾何意義和解法以及柯西不等式的構(gòu)造思想．屬于中檔題．20.（本題滿分16分）

已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí)，求證：.參考答案：解：（1），

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)

-----------------------3分當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，而函數(shù)在區(qū)間有極值.，解得.

--------------------5分（2）由（1）得的極大值為，令，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.

----------10分（另解：，，令，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，.）（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，而，，即

----------12分即，而，結(jié)論成立.

-----------------16分21.已知函數(shù)f（x）=，曲線y=f（x）在點(diǎn)（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）是否存在常數(shù)k，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，f（x）＞+2恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）分離參數(shù)得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ），∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e）．

（Ⅱ）∵恒成立，即，①當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，lnx＜0，則恒成立，令，則g′（x）=，再令，則h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)遞減，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）內(nèi)遞增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，lnx＞0，則恒成立，由①可知，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，g（x）＞g（1）=2?k≤2；

綜合①②可得：k=2．22.（本小題滿分12分）2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為“國際數(shù)學(xué)節(jié)”，其來源是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率，為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的“數(shù)學(xué)嘉年