高中數(shù)學平面向量知識點總結(jié)及常見題型

高中數(shù)學平面向量知識點總結(jié)及常見題型

平面向量一、向量的基本概念與基本運算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。向量一般用a、b、c等字母來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：AB（幾何表示法）或a（坐標表示法）。向量的大小即向量的模（長度），記作|AB|或｜a｜。向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。②零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，與任意向量平行。③單位向量：模為1個單位長度的向量。向量a為單位向量｜a｜＝1。④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作a∥b。由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為ab。大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2。2.向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設ABa，BCb，則a+b=ABBC=AC。（1）0＋a＝a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：ABBCCD…+PQQRAR，但這時必須“首尾相連”。3.向量的減法①相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作a。零向量的相反向量仍是零向量。關于相反向量有：（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0。-(iii)若向量a、b互為相反向量，則a=-b，b=-a，a+b=0。-向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作a-b=a+(-b)，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。-作圖法：a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量（a、b有共同起點）。-實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）|λa|=|λ|·|a|；（Ⅱ）當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。-兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線當且僅當有且只有一個實數(shù)λ，使得b=λa。-平面向量的基本定理：如果e1、e2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。-特別注意：（1）向量的加法與減法是互逆運算；（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件；（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況；（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關。-平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=x·i+y·j，由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y)，其中x叫作a在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。-相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量。-向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關。-平面向量的坐標運算：（1）若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a±b=(x1±x2,y1±y2)；（2）若A(x1,y1)、B(x2,y2)，則AB=(x2-x1,y2-y1)。1.向量的基本運算向量的基本運算包括向量的加減法、數(shù)與向量的乘積，以及向量的數(shù)量積及其各運算的坐標表示和性質(zhì)。1.1向量的加減法向量的加減法有平行四邊形法則和三角形法則兩種方法。平行四邊形法則表示向量a和向量b的和為a+b，而三角形法則表示向量a和向量b的和為以它們?yōu)猷忂叺钠叫兴倪呅蔚膶蔷€。1.2向量的乘法向量的乘法包括數(shù)與向量的乘積和向量的數(shù)量積。數(shù)與向量的乘積指的是將一個實數(shù)與一個向量相乘，結(jié)果是一個方向不變，長度為原向量長度的實數(shù)倍的向量。向量的數(shù)量積是兩個向量的乘積，其結(jié)果是一個實數(shù)。向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律和結(jié)合律。2.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積是兩個向量的乘積，其結(jié)果是一個實數(shù)。已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則a·b=|a|·|b|cosθ。向量b在a方向上的投影為|b|cosθ，射影的絕對值稱為向量b在a方向上的投影。向量的模與平方的關系為a·a=a^2=|a|^2。乘法公式成立：(a+b)·(a-b)=a^2-b^2。3.改寫后的文章向量是在空間中有大小和方向的物理量，它們可以進行基本的加減法、數(shù)與向量的乘積，以及向量的數(shù)量積等運算。向量的加減法有平行四邊形法則和三角形法則兩種方法，分別表示向量a和向量b的和為a+b，以及以它們?yōu)猷忂叺钠叫兴倪呅蔚膶蔷€。向量的乘法包括數(shù)與向量的乘積和向量的數(shù)量積，其中數(shù)與向量的乘積結(jié)果為一個方向不變、長度為原向量長度的實數(shù)倍的向量，而向量的數(shù)量積則是兩個向量的乘積，其結(jié)果為一個實數(shù)，滿足交換律、分配律和結(jié)合律。平面向量的數(shù)量積是兩個向量的乘積，其結(jié)果為一個實數(shù)。已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則a·b=|a|·|b|cosθ。向量b在a方向上的投影為|b|cosθ，射影的絕對值稱為向量b在a方向上的投影。向量的模與平方的關系為a·a=a^2=|a|^2。乘法公式成立：(a+b)·(a-b)=a^2-b^2。$a\pm2ab+b=a^2\pmb$平面向量的數(shù)量積有以下運算律：①交換律成立：$a\cdotb=b\cdota$②對實數(shù)的結(jié)合律成立：$(\lambdaa)\cdotb=\lambda(a\cdotb)=a\cdot(\lambdab)$③分配律成立：$(a\pmb)\cdotc=a\cdotc\pmb\cdotc$特別注意：（1）結(jié)合律不成立：$a\cdot(b\cdotc)\neq(a\cdotb)\cdotc$（2）消去律不成立：$a\cdotb=a\cdotc$不能得到$b=c$（3）$a\cdotb=0$不能得到$a=0$或$b=0$兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，則$a\cdotb=x_1x_2+y_1y_2$向量的夾角：已知兩個非零向量$a$與$b$，作$\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b$，則$\angleAOB=\theta$（$0\leq\theta\leq180$）叫做向量$a$與$b$的夾角。$\cos\theta=\cos\angle(a,b)=\dfrac{a\cdotb}{|a|\cdot|b|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$當且僅當兩個非零向量$a$與$b$同方向時，$\theta=0$，當且僅當$a$與$b$反方向時$\theta=180$，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。垂直：如果$a$與$b$的夾角為$90$，則稱$a$與$b$垂直，記作$a\perpb$兩個非零向量垂直的充要條件：$a\perpb\iffa\cdotb=0\iffx_1x_2+y_1y_2=0$題型1.基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。正確。（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。錯誤，相等的向量終點可以重合。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。錯誤，與已知向量共線的單位向量有兩個。（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是$AB=CD$。錯誤，四邊形$ABCD$是平行四邊形的條件是$AB\parallelCD$且$AD\parallelBC$。（5）若$AB=CD$，則$A$、$B$、$C$、$D$四點構成平行四邊形。錯誤，還需要滿足$AB\parallelCD$且$AD\parallelBC$。（6）因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。錯誤，數(shù)軸是一個有向直線，不是向量。（7）若$a$與$b$共線，$b$與$c$共線，則$a$與$c$共線。正確。（8）若$ma=mb$，則$a=b$。錯誤，只能得到$a$與$b$共線。（9）若$ma=na$，則$m=n$。正確。（10）若$a$與$b$不共線，則$a$與$b$都不是零向量。正確。（11）若$a\cdotb=|a|\cdot|b|$，則$a\parallelb$。正確。（12）若$|a+b|=|a-b|$，則$a\perpb$。錯誤，應該是$a\parallelb$。題型2.向量的加減運算1.設$a$表示“向東走$8$km”，$b$表示“向北走$6$km”，則$|a+b|=\sqrt{(8+0)^2+(0+6)^2}=10$km。2.化簡$(AB+MB)+(BO+BC)+OM=AB+BC+2OM$。1.已知向量OA的模長為5，向量OB的模長為3，則向量AB的最大值為8，最小值為2。2.已知AC為向量AB和向量AD的和，且AC=a，BD=b，則AB=AC-BD=a-b，AD=AC-AB=a-(a-b)=b。3.(1)3(a+b)-2(a+b)=a+b；(2)2(2a+5b-3c)-3(-2a+3b-2c)=8a+19b-4c。4.已知向量a和b，如圖所示，請作出向量3a+5b，則AC=BC，AB=BC=b。5.(1)已知在三角形ABC中，D是BC的中點，則AD=1/2(AB+AC)；(2)已知AC=a，BD=b，則AB=AC-BD=a-b，AD=AC+BD=a+b。6.(1)已知向量AB=(4,5)，A=(2,3)，則點B的坐標為(6,8)；(2)已知向量PQ=(-3,-5)，P=(3,7)，則點Q的坐標為(0,2)；(3)合力的坐標為F=F1+F2+F3=(-6,-1)；(4)a+b=(2,6)，a-b=(-8,2)，3a-2b=(-21,2)；(5)聯(lián)立方程得x=1，y=1；(6)DA=DC+CA+AB=(-1,4)；(7)已知AB=(2,3)，BC=(m,n)，CD=(-1,4)，則DA=AC+CD+DA=(m-3,n+1)。7.(1)可以構成一組基底；(2)不能構成一組基底；(3)可以構成一組基底；(4)不能構成一組基底。8.(1)已知向量OA的模長為2，與x軸的夾角為30度，則OA的坐標為(√3,1)；(2)已知向量OA的模長為43，與x軸的夾角為60度，則OA的坐標為(21.5,37.2)。9.(1)a·b=6；(2)a·(a+b)=27；(3)(a-b)·(a+b)=9，所以a·b=6，a·(a+b)=27，b·(a+b)=18。1.已知四邊形ABCD，其中ABCD，ACBD，ADBC，求證：ABCD是菱形.2.已知四邊形ABCD，其中ABBC，ABBC，CDBC，求證：ABCD是矩形.3.已知四邊形ABCD，其中ABCD，ABCD，ACBD，求證：ABCD是正方形.4.已知四邊形ABCD，其中ABCD，ADBC，ACBD，求證：ABCD是平行四邊形.5.已知三角形ABC，其中ABAC，角BAC100°，BC2，求證：ABC是等腰三角形.1.若AB=3e，CD=-5e，且|AD|=|BC|，則四邊形的形狀是什么。2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，證明四邊形ABCD是梯形。證明：首先，我們可以根據(jù)AB和DC的斜率相等來證明AB||DC。AB的斜率為(3-0)/(4-1)=1，DC的斜率為(4-2)/(2-0)=1，因此AB||DC。其次，我們可以根據(jù)AD和BC的斜率相等來證明AD||BC。AD的斜率為(2-0)/(0-1)=-2，BC的斜率為(4-3)/(2-1)=1，因此AD||BC。由于AB||DC且AD||BC，因此四邊形ABCD是梯形。3.已知A(-2,1)，B(6,-3)，C(0,5)，求證：ΔABC是直角三角形。證明：首先，我們可以計算出AB、AC和BC的長度分別為√52、√41和√98。其次，我們可以計算出AB的斜率為(-3-1)/(6-(-2))=-1/2，AC的斜率為(5-1)/(0-(-2))=2，BC的斜率為(-3-5)/(6-0)=-4/3。由于AB和AC的斜率的乘積為(-1/2)×2=-1，因此AB和AC垂直，即∠BAC為直角。因此，ΔABC是直角三角形。4.在平面直角坐標系內(nèi)，OA=(-1,8)，OB=(-4,1)，OC=(1,3)，求證：ΔABC是等腰直角三角形。證明：首先，我們可以計算出AB、AC和BC的長度分別為√82、√65和√170。其次，我們可以計算出AB的斜率為(1-8)/(-4-(-1))=7/3，AC的斜率為(3-8)/(1-(-1))=-5/2，BC的斜率為(3-1)/(1-(-4))=2/5。由于AB和BC的斜率相等，因此AB和BC平行，且ABBC為矩形。又因為∠ABC為直角，因此ΔABC是等腰直角三角形。5.已知a=(1,0)，b=(2,1)，當k為何值時，向量ka-b與a+3b平行？向量ka-b=(k-2,-1)，a+3b=(7,3)。由于向量ka-b與a+3b平行，因此它們的方向相同，即它們的比值相等。即：(k-2)/7=-1/3解得k=5/3。因此，當k=5/3時，向量ka-b與a+3b平行。6.已知a=(3,5)，且a⊥b，|b|=2，求b的坐標。由于a⊥b，因此a·b=0，即：3x+5y=0又因為|b|=2，因此b的長度為2。設b=(x,y)，則有：x^2+y^2=4解得y=±√(4-x^2)。將y代入3x+5y=0中，解得x=±6/√34。因此，b的坐標為(6/√34,-10/√34)或(-6/√34,10/√34)。7.已知a與b同向，b=(1,2)，則a·b=10，求a的坐標。設a=(x,y)，則有：a·b=x+2y=10又因為a與b同向，因此存在k>0，使得a=kb。代入上式，解得k=5，即a=(5,10)。因此，a的坐標為(5,10)。8.已知a=(1,2)，b=(3,1)，c=(5,4)，則c=a+b。9.已知a=(5,10)，b=(-3,-4)，c=(5,0)，請將用向量a,b表示向量c。c=(c1,c2)=ma+nb，其中m和n為待定系數(shù)。聯(lián)立方程組：5m-3n=c110m-4n=c2解得m=(4c1-2c2)/26，n=(5c2-5c1)/26。因此，用向量a,b表示向量c的表達式為：c=((4c1-2c2)/26)a+((5c2-5c1)/26)b10.已知a=(m,3)，b=(2,-1)。(1)若a與b的夾角為鈍角，求m的范圍。由于a·b=m×2+3×(-1)=2m-3，因此a與b的夾角為鈍角時，有：2m-3≤0解得m≤3/2。因此，m的范圍為(-∞,3/2]。(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍。由于a·b=m×2+3×(-1)=2m-3，因此a與b的夾角為銳角時，有：2m-3>0解得m>3/2。因此，m的范圍為(3/2,∞)。11.已知a=(6,2)，b=(-3,m)。(1)當m為何值時，a與b的夾角為鈍角？由于a·b=6×(-3)+2×m=-16+2m，因此a與b的夾角為鈍角時，有：-16+2m≤0解得m≤8。因此，當m≤8時，a與b的夾角為鈍角。(2)當m為何值時，a與b的夾角為銳角？由于a·b=6×(-3)+2×m=-16+2m，因此a與b的夾角為銳角時，有：-16+2m>0解得m>8。因此，當m>8時，a與b的夾角為銳角。12.已知梯形ABCD的頂點坐標分別為A(-1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，AB=2CD，求點C的坐標。設C的坐標為(x,y)。由于AB//DC，因此AB和DC的斜率相等，即：(4-2)/(3-(-1))=(y-1)/(x-2)解得y=2x-3。又因為AB=2CD，因此AB和CD的長度之比為2，即：√((3-(-1))^2+(4-2)^2)/√((x-2)^2+(y-1)^2)=2代入y=2x-3，解得x=7/5，y=4/5。因此，點C的坐標為(7/5,4/5)。13.已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別為A(2,1)，B(-1,3)，C(3,4)，求第四個頂點D的坐標。由于ABCD是平行四邊形，因此AD和BC平行，且AD=BC。設D的坐標為(x,y)。由于AD和BC平行，因此它們的斜率相等，即：(y-1)/(x-2)=(4-3)/(3-(-1))解得y=x+3。又因為AD=BC，因此它們的長度相等，即：√((x-2)^2+(y-1)^2)=√((-1-x)^2+(3-y)^2)解得x=4/3，y=7/3。因此，點D的坐標為(4/3,7/3)。14.一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度與船的實際速度。設水流速度為v，船的實際速度為u。由于船實際航行方向與水流方向成30°角，因此有：|u|sin30°=|v||u|cos30°=5解得|u|=10，|v|=5√3。因此，水流速度與船的實際速度分別為5√3km/h和10km/h。15.已知ΔABC三個頂點的坐標分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)。(1)若AB·AC=0，求c的值。AB的坐標為(-3,-4)，AC的坐標為(c-3,-4)。由于AB·AC=0，因此有：(-3,-4)·(c-3,-4)=0解得c=9/2。因此，c的值為9/2。(2)若c=5，求sinA的值。由于AB=√(3^2+4^2)=5，AC=√((5-3)^2+4^2)=2√5，因此有：AB·AC=5×2√5×sinA解得sinA=2/√5。因此，sinA的值為2/√5?！緜溆谩?.