
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文檔簡介
關(guān)于彈性力學(xué)解題方法問題第1頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三目錄
5.1彈性力學(xué)基本方程
5.2問題的提法5.3彈性力學(xué)問題的基本解法
5.4圣維南局部影響原理
5.5
疊加原理第2頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三總結(jié)彈性力學(xué)基本理論;討論已知物理量、基本未知量;以及物理量之間的關(guān)系——基本方程和邊界條件。5.1
彈性力學(xué)基本方程第3頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三1.平衡方程:彈性體要滿足的基本方程張量表示:第4頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
2.幾何方程:彈性體要滿足的基本方程張量表示:第5頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三3.本構(gòu)方程:彈性體要滿足的基本方程廣義胡克定律的應(yīng)力表示張量表示:第6頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三廣義胡克定律的應(yīng)變表示張量表示:第7頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三4.變形協(xié)調(diào)方程位移作為基本未知量時(shí),變形協(xié)調(diào)方程自然滿足。第8頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三基本方程:平衡微分方程幾何方程本構(gòu)方程變形協(xié)調(diào)方程(應(yīng)變作為基本未知量)第9頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三若物體表面的位移已知,則位移邊界條件為
物體表面的面力分量為Tx、Ty和Tz
已知,則面力邊界條件為:5.邊界條件若物體部分表面面力和部分表面位移已知,則為混合邊界條件第10頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三5.2彈性力學(xué)問題的提法彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下,對(duì)十五個(gè)未知量求解十五個(gè)基本方程。求解彈性力學(xué)問題時(shí),并不需要同時(shí)求解十五個(gè)基本未知量,可以做必要的簡化。為簡化求解的難度,僅選取部分未知量作為基本未知量。第11頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三在給定的邊界條件下,求解偏微分方程組的問題,在數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題。按照不同的邊界條件,彈性力學(xué)有三類邊值問題。第一類邊值問題:已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量,邊界條件為位移邊界條件。第二類邊值問題:已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Tx、Ty和Tz,邊界條件為面力邊界條件。第12頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三第三類邊值問題:已知彈性體內(nèi)的體力分量,以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量,邊界條件在面力已知的部分,為面力邊界條件,位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。以上三類邊值問題,代表了一些簡化的實(shí)際工程問題。若不考慮物體的剛體位移,則三類邊值問題的解是唯一的。第13頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三基本解法(1)位移解法:以位移函數(shù)作為基本未知量(2)應(yīng)力解法以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量
(3)混合解法以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基本未知量
第14頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
5.3
彈性力學(xué)問題基本解法位移解法的主要步驟:利用位移函數(shù)u1,u2,u3表示其他未知量;推導(dǎo)由位移函數(shù)ui描述的基本方程;關(guān)鍵點(diǎn):以位移表示的平衡微分方程。位移解法的基本方程1.平衡微分方程
2.幾何方程
3.本構(gòu)方程
4.位移邊界條件,力邊界條件第15頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三由
上式稱為應(yīng)力位移表達(dá)式。將(1)代入(2)第16頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三此式稱為位移表示的平衡方程(Leme方程)將應(yīng)力位移表達(dá)式代入平衡方程轉(zhuǎn)換指標(biāo)注意到:則即得第17頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三注意有給定位移邊界條件就可由Leme方程解出ui=(u,v,w)或ui=(u1,u2,u3
)。ui=ui(x,y,z)ˉ其位移邊界條件為:第18頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三對(duì)于用面力表示的邊界條件
Ti=σij
nj此式稱為力位移邊界條件。
注意:則將應(yīng)力位移表達(dá)式代入面力邊界條件:
有第19頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三為二階線性偏微分方程組,其解為齊次解+特解。對(duì)于Leme方程齊次方程對(duì)求導(dǎo)因則或即第20頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三因所以有即體積應(yīng)力滿足調(diào)和方程。結(jié)論即體積應(yīng)變滿足調(diào)和方程。第21頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三對(duì)Leme方程進(jìn)行?2(調(diào)和算子)運(yùn)算:有所以即第22頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三這說明應(yīng)力與應(yīng)變滿足雙調(diào)和方程。有即由有及即由第23頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三結(jié)論:對(duì)于Leme方程其齊次方程有第24頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三位移分量求解后,可通過幾何方程求出應(yīng)變和通過本構(gòu)方程求出應(yīng)力。
總之,位移解法以位移為3個(gè)基本未知函數(shù)(u1,u2,u3),歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的3個(gè)平衡微分方程,即三個(gè)拉梅方程。對(duì)于位移邊界條件,位移解法是十分合適的。第25頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
至此,我們討論了彈性力學(xué)位移解法的基本方程。除無限大域外,位移解法也適用于全部邊界條件為位移邊界的情況。然而,對(duì)于力邊界條件問題,位移解法就顯得不夠簡便。一種變通的方法就是選擇應(yīng)力為求解的場變量。應(yīng)力需要滿足六個(gè)平衡方程和三個(gè)獨(dú)立的協(xié)調(diào)方程,通過這六個(gè)方程可以求解出六個(gè)應(yīng)力分量。第26頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
例設(shè)有半空間體,單位體積的質(zhì)量為,在水平邊界面上受均布?jí)毫Φ淖饔茫囉梦灰品ㄇ蟾魑灰品至亢蛻?yīng)力分量,并假設(shè)在處方向的位移受均布?jí)毫ψ饔玫陌肟臻g體解:可以假設(shè)因此體積應(yīng)變按位移解題例題第27頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三對(duì)于Leme方程第28頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三或積分上式有將代入拉梅方程:第29頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三在邊界上,得結(jié)合的表達(dá)式可得代入由位移表示的邊界條件第30頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三由條件得將常數(shù)和代入的表達(dá)式,得求應(yīng)變第31頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三由廣義胡克定律有第32頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三即第33頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三位移法其位移邊界條件為:給定位移邊界條件就可由Leme方程解出
。復(fù)習(xí):位移法第34頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三位移分量求解后,可通過幾何方程求出應(yīng)變和通過本構(gòu)方程求出應(yīng)力。
位移解法以位移為3個(gè)基本未知函數(shù)(u1,u2,u3),歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的3個(gè)平衡微分方程,即三個(gè)拉梅方程。位移解法適用于位移邊界條件。第35頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
對(duì)于位移法體力為常量時(shí):由位移法得到:體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均滿足調(diào)和(Laplace)方程;即體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。位移分量,應(yīng)力分量和應(yīng)變分量均滿足雙調(diào)和方程;位移分量,應(yīng)力分量和應(yīng)變分量為雙調(diào)和函數(shù)。第36頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三解:由幾何方程求應(yīng)變分量已知,求應(yīng)力位移法例題2lxypphh1yz第37頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三由2lxypp第38頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三力邊界條件y=+
h
:v
=
0_位移邊界條件應(yīng)力應(yīng)滿足邊界條件2lxyppy=+
h
y=-
h
第39頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三應(yīng)力解法基本步驟:以應(yīng)力分量σij作為基本未知量;
用六個(gè)應(yīng)力分量表示協(xié)調(diào)方程;關(guān)鍵點(diǎn):以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程應(yīng)力解法的方程
1.平衡微分方程
2.變形協(xié)調(diào)方程
3.本構(gòu)方程
4.面力邊界條件第40頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三由應(yīng)力表示的本構(gòu)方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程第41頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三(1)整理上面的方程,把其中l(wèi)的指標(biāo)取為k,第42頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三(2)把k=1,2,3的疊加起來,運(yùn)用第43頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三即合并有第44頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三上式對(duì)指標(biāo)i和j對(duì)稱所以只含有六個(gè)獨(dú)立方程,利用平衡方程
有同理改寫成第45頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
上兩式代入?yún)f(xié)調(diào)方程中有把上式中
i=j
的3個(gè)方程疊加起來,注意到
σii=
Θ,Θ,ii=
?2Θ
和
δii=3
可得第46頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三對(duì)上式作雙調(diào)和運(yùn)算有第47頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三由有及第48頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三上式稱為Michell方程(用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程)將上式回代到協(xié)調(diào)方程中有第49頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三還可以寫成Michell方程第50頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三對(duì)于上式當(dāng)時(shí)有第51頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三同理對(duì)于上式當(dāng)時(shí)分別有第52頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三對(duì)于上式當(dāng)時(shí)有即第53頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三展開Michell方程第54頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三體力為常數(shù)時(shí),右端項(xiàng)為零,故有上方程稱為Beltremi方程。當(dāng)滿足面力邊界條件時(shí)即得到問題的解答。解上面的方程,或下面的Michell方程第55頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三應(yīng)力法體力為零時(shí)第56頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三應(yīng)力解法的基本未知量為6個(gè)應(yīng)力分量,可以避開幾何方程;基本方程為3個(gè)平衡微分方程和6個(gè)變形協(xié)調(diào)方程和3個(gè)邊界條件,對(duì)于幾何形狀或載荷較復(fù)雜問題的求解困難。應(yīng)力解法適用于面力邊界條件與單連體。總之,在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時(shí),歸結(jié)為在給定的面力邊界條件下,求解平衡微分方程和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。
第57頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三混合解法根據(jù)問題性質(zhì)和邊界條件,選擇不同的基本未知量求解稱為混合解法。第58頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三彈性理論解的惟一性定理彈性體受已知外力的作用。在物體的邊界上,或者面力已知;或者位移已知;或者一部分面力已知,另一部分位移已知;則彈性體平衡時(shí),體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變是惟一的,對(duì)于后兩種情況,位移也是唯一的。第59頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三局部影響原理:物體在任意一個(gè)小部分作用有一個(gè)平衡力系,則該平衡力系在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力分布,僅局限于力系作用的附近區(qū)域。在距離該區(qū)域相當(dāng)遠(yuǎn)處,這種影響便急劇減小。5.4
圣維南原理第60頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三圣維南原理圖示第61頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三解的疊加原理:
小變形線彈性條件下,作用于物體的若干組載荷產(chǎn)生的總效應(yīng)(應(yīng)力和變形等),等于每組載荷單獨(dú)作用效應(yīng)的總和。5.5
疊加原理第62頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
逆解法根據(jù)問題的性質(zhì),確定基本未知量和相應(yīng)的基本方程,并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)(或位移函數(shù))。然后在確定的坐標(biāo)系下,考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體,其表面將受什么樣的面力作用或者將存在什么樣的位移。第63頁,講稿共70頁,2023年5月2日,星期三
半逆解法
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