南航戴華《矩陣論》第四章l矩陣的因子分解

第4章矩陣的因子分解4.1初等矩陣4.2滿秩分解4.3三角分解4.4QR分解4.5Schur定理與正規(guī)矩陣4.6奇異值分解4.1初等矩陣4.1.1初等矩陣4.1.2初等下三角矩陣4.1.3Householder矩陣4.1.1初等矩陣設(shè)，σ為一復(fù)數(shù)，如下形式的矩陣稱為初等矩陣.初等矩陣E(u,v,σ)具有如下性質(zhì)：4.1.2初等下三角矩陣稱為初等下三角矩陣,即對初等下三角矩陣，當(dāng)i<j時，有用初等下三角矩陣Li左乘一個矩陣A，等于從A的第k行減去第i行乘以。對于，如果，取4.1.3Householder矩陣取u=v=w,σ=2，并且w是單位向量，即||w||=1，初等矩陣稱為Householder矩陣或初等Hermite矩陣。并且若上述條件成立，則使H(w)a=b成立的單位向量w可取為其中θ為任一實(shí)數(shù)。Householder矩陣H(w)具有如下性質(zhì)：4.2滿秩分解定理4.2.1（滿秩分解定理）設(shè)m×n矩陣A的秩為r>0,則存在m×r矩陣B和r×n矩陣C使得并且rank(B)=rank(C)=r.什么是矩陣的滿秩分解？矩陣的滿秩分解是否存在？如果存在，滿秩分解是否唯一？如何計算矩陣的滿秩分解？滿秩分解有什么應(yīng)用？滿秩分解的應(yīng)用：有關(guān)結(jié)論的證明。計算廣義逆矩陣。4.祖3閘三融角分性解設(shè)A=腦(aij)是n階矩剩陣，拖如果A的對細(xì)角線仔下(善上)鳳方的元惹素全梁為零勻，即冶對i>j,aij=她0（盜對i<j,aij=務(wù)0）勇，則稱矩盒陣A為上（裳下）長三角嶺矩陣。上搜三角數(shù)矩陣新和下緒三角矩陣條統(tǒng)稱漠為三角喂矩陣。對薯角元冷全為蓬1的緩上（森下）灑三角矩陣迅稱為單位懲上（理下）除三角愉矩陣。什么蜘是矩散陣的LU分解萄？矩陣頓的LU分解稠是否瞞存在情？如統(tǒng)果存原在，LU分解是否燥唯一橋？如何波計算播矩陣漆的LU分解摸？LU分解保有什織么應(yīng)肯用？上（謀下）悠三角階矩陣罰的性匆質(zhì)（LU老分解淹定理）設(shè)A是n階非凱奇異腎矩陣，心則自存在須唯一透的單副位下負(fù)三角賊矩陣L和上兇三角嘆矩陣U使得的充尖分必唉要條載件是A的所雜有順沃序主能子式殃均非按零,倍即（LD博U分過解定紛理）設(shè)A是n階非賢奇異葉矩陣判,則存堂在唯嬸一的料單位或下三貨角矩哄陣L，對謀角矩音陣D=di菜ag(d1,d2,…澡,dn)和冬單位勢上三旺角矩腿陣U使得的充秋分必夫要條棒件是A的所年有順痰序主繡子式語均非眾零，封即，并震且分解險式旋稱緞為矩喬陣A的LD防U分地解。一般賠說來串，即抽使A是n階非級奇異塊矩陣裁，A未必能作動LU海分解霉和L談DU無分解晨。設(shè)ei是n階單妻位矩騎陣的勵第i列(i=1朝,2委,…眠n)廁，以簽為謎列作漠成的頌矩陣際稱姜為n階排列鹽矩陣，其雖中謠是1尖,2傘,…組n的求一個沫排列遵。設(shè)A是n階非勁奇異譽(yù)矩陣阿，則兵存在跟排列矩陣P使得其中L是單尖位下海三角嶺矩陣深,黎是上減三角陸矩陣啟，U是單位全上三趨角矩劇陣，D是對騰角矩觸陣。排列瞧矩陣氣的性費(fèi)質(zhì)。排列惠矩陣錄的作核用。LU嚴(yán)分解厚的應(yīng)鵲用：求解努線性膛方程奔組。求解扛矩陣炭特征臨值問命題。4.辭4冤Q塊R床分解設(shè)A是n階非薯奇異步實(shí)（窄復(fù)）灶矩陣揚(yáng)，則存在孩正交撤（酉何）矩肅陣Q和非姥奇異磚實(shí)（涌復(fù)）為上三角矩扮陣R使得且除威去相致差一壯個對繳角元擱絕對價值(弱模)膀全等壁于1仰的對馳角矩陣告因子較外分津解式謎（4刑.4畜.1泄）是級唯一癥的。什么洞是矩輩陣的QR分解錘？矩陣減的QR分解朝是否武存在鞭？如污果存但在，QR分解是否監(jiān)唯一暑？如何哭計算鉤矩陣爽的QR分解侮？QR分解咱有什籍么應(yīng)本用？設(shè)A是油矩陣旨，且良，則存排在m階正博交（流酉）毯矩陣Q和擴(kuò)行滿棟秩矩陣R使得或A您有分誦解設(shè)A是霸實(shí)港（復(fù)導(dǎo)）矩肉陣，眠且其n個列向罰量線噴性無針關(guān)，惰則存腥在m階正配交（滑酉）駕矩陣Q和n階非饅奇異躺實(shí)（世復(fù)）仍上三比角矩?zé)╆嘡使得QR償分解妻的應(yīng)穩(wěn)用：求解沃線性始方程驅(qū)組。求解森矩陣聽特征怎值問睡題。求解增線性因最小勻二乘摧問題。4.皮5澡S海ch沈ur艇定理拒與正宏規(guī)矩毅陣則稱A正交古（酉作）相猴似于B。定理叨4.莖5.輕1(師Sc經(jīng)hu長r定御理)任何撤一個n階復(fù)蕉矩陣A都酉岸相似于競一個脹上三老角矩叼陣，烘即存恰在一猜個n階酉康矩陣U和一個n階上窄三角銜矩陣R使得其中R的對拖角元除是A的特姨征值老，它披們可棍以按義要求踢的次序露排列籠。則稱A為正銹規(guī)矩綱陣。n階矩盼陣A酉相碗似于潔一個預(yù)對角駱矩陣蔽的充義分必要變條件溉為A是正定規(guī)矩伏陣。若A是n階H藝er憐mi蚊te項(xiàng)矩陣協(xié)，則A必酉馬相似忍于實(shí)對譽(yù)角矩怨陣，征即存米在n階酉鼓矩陣U使得(4槳.5蒙.6負(fù))式碰稱為愚He垃rm季it你e矩陣A的譜宿分解難式。設(shè)A，B均為n階正僅規(guī)矩濾陣，巷并且AB=BA，則存焦在n階酉矩遠(yuǎn)陣U使得與妨同略時為揀對角矩陣矛。定理4.補(bǔ)5.4任何n階實(shí)褲矩陣A都正瘡交相母似于寄一個滴擬上棒三角矩悲陣，某即存躲在一榮個n階正指交矩劑陣Q和一世個n階擬矮上三升角矩陣R使得其中R是塊推上三紗角矩尚陣（戲或稱擬上項(xiàng)三角平矩陣）,誰其對趕角塊為漲1階面塊或尾2階申塊,匠每個州1階奔塊是A的實(shí)朱特征醒值,片而每體個2階俘塊的揭兩個張?zhí)卣魈咧凳茿的一份對共蟲軛復(fù)嘆特征光值,老且R的對角塊謝可以閘按要囑求的春次序電排列毛。若A是n階實(shí)宜對稱滅矩陣坊，則A正交婚相似則于實(shí)對角庭矩陣拒，即菠存在n階正茄交矩趨陣Q使得4.掉6幼奇垃異值盆分解則稱σ為A的奇異徒值，u和v分別凳稱為A對應(yīng)執(zhí)于奇肚異值σ的右奇監(jiān)異向嗽量和左奇虧異向憶量。由(象4.屋6.候2)挺可得若A是正