離散數(shù)學(xué)第八章布爾代數(shù)

第八章布爾代數(shù)離散數(shù)學(xué)陳志奎主編人民郵電出版社英國數(shù)學(xué)家G.布爾為了研究思維規(guī)律（邏輯學(xué)、數(shù)理邏輯)于1847和1854年提出的數(shù)學(xué)模型。此后R.戴德金把它作為一種特殊的格。數(shù)學(xué)家G.布爾由于缺乏物理背景，所以研究緩慢，到了20世紀(jì)30～40年代才有了新的進展，大約在1935年，M.H.斯通首先指出布爾代數(shù)與環(huán)之間有明確的聯(lián)系，他還得到了現(xiàn)在所謂的斯通表示定理：任意一個布爾代數(shù)一定同構(gòu)于某個集上的一個集域；任意一個布爾代數(shù)也一定同構(gòu)于某個拓?fù)淇臻g的閉開代數(shù)等，這使布爾代數(shù)在理論上有了一定的發(fā)展。布爾代數(shù)在代數(shù)學(xué)（代數(shù)結(jié)構(gòu)）、邏輯演算、集合論、拓?fù)淇臻g理論、測度論、概率論、泛函分析等數(shù)學(xué)分支中均有應(yīng)用；1967年后，在數(shù)理邏輯的分支之一的公理化集合論以及模型論的理論研究中，也起著一定的作用。近幾十年來，布爾代數(shù)在自動化技術(shù)、電子計算機的邏輯設(shè)計等工程技術(shù)領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用。起源1835年，20歲的喬治·布爾開辦了一所私人授課學(xué)校。為了給學(xué)生們開設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚地讀起了當(dāng)時一些介紹數(shù)學(xué)知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實在令人難以置信。于是，這位只受過初步數(shù)學(xué)訓(xùn)練的青年自學(xué)了艱深的《天體力學(xué)》和很抽象的《分析力學(xué)》。由于他對代數(shù)關(guān)系的對稱和美有很強的感覺，在孤獨的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫成論文發(fā)表。這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學(xué)教書，但是他開始和許多第一流的英國數(shù)學(xué)家交往或通信，其中有數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家德·摩根。摩根在19世紀(jì)前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊子來為朋友辯護。這本書是他6年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚，肯定他開辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。起源布爾代數(shù)把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)牟牧仙系摹巴评怼?，成了公式的初等運算的事情，這些公式比過去在中學(xué)代數(shù)第二年級課程中所運用的大多數(shù)公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長時間里，又付出了不同尋常的努力。1854年，他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作，當(dāng)時他已39歲，布爾代數(shù)問世了，數(shù)學(xué)史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒有受到人們的重視。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。20世紀(jì)初，羅素在《數(shù)學(xué)原理》中認(rèn)為，“純數(shù)學(xué)是布爾在一部他稱之為《思維規(guī)律》的著作中發(fā)現(xiàn)的?！贝苏f一出，立刻引起世人對布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個主要分支。起源格與布爾代數(shù)是具有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，它們與同樣具有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)——環(huán)有著完全不同的性質(zhì)。格與布爾代數(shù)主要應(yīng)用于邏輯電路設(shè)計、數(shù)據(jù)倉庫、軟件形式方法等方面。起源PART01PART02PART03格的定義與性質(zhì)分配格、有補格與布爾代數(shù)應(yīng)用內(nèi)容安排知識回顧偏序：設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系，如果R是自反的、反對稱的和可傳遞的，則稱R為A上的偏序關(guān)系，簡稱偏序，記作≦。一個集合A和A上的偏序關(guān)系R一起叫做偏序集，記作<A，R>或<A，≦>。8.1格的定義與性質(zhì)定義8.1設(shè)<L,≦>是偏序集，若a，bL，{a，b}都有最小上界和最大下界，則稱L關(guān)于偏序≦構(gòu)成格，稱<L,≦>是格。由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求{x，y}的最小上界和最大下界看成x與y的二元運算和，即xy和xy分別表示x與y的最小上界和最大下界。在本章中符號與不再代表邏輯合取和析取，而是格中的運算，若使用其合取與析取的性質(zhì)將會特別提到。8.1格的定義與性質(zhì)格的對偶原理

設(shè)f是含有格中元素及符號=，≤，≥，，等的命題。如果f對于一切格為真，那么f的對偶命題也對一切格為真。定理8.1設(shè)<L,≦>為格，則運算和滿足交換律、結(jié)合律、等冪律和吸收率。證明：設(shè)x=ab，所以x=ba，所以滿足交換律；設(shè)x=abc，x=a（bc），所以滿足結(jié)合律；a=aa，所以滿足等冪律；x=abb=ab，所以滿足吸收律。同理可證滿足交換律、結(jié)合律、等冪律、吸收律。8.1格的定義與性質(zhì)定理8.子2設(shè)<S，*打，o>是具帆有兩旗個二料元運訪算的氏代數(shù)示系統(tǒng)籠，并徐且*釀和o運算改滿足格交換駱律、種結(jié)合退律、泉等冪逐律和屆吸收嫁率。歉則可導(dǎo)以適屢當(dāng)?shù)牟ザxS中的沉偏序暮關(guān)系愁≦，隊使得<S，≦>構(gòu)成胃一個辱格，飄且a，bS有ab=旅a*皆b，ab=追ao遠(yuǎn)b。定義8.退2設(shè)<S，*朵，o>是含陰有兩合個二換元運悅算*避和o的代穴數(shù)系控統(tǒng)。往如果允*和o滿足隸交換五律、兵結(jié)合乓律、狐吸收劈燕率，宴則<S，*聞，o>構(gòu)成寺一個撞格8.絡(luò)1格的蹄定義步與性戀質(zhì)例8.站1設(shè)n是正側(cè)整數(shù)，菠是n的正涉因子竿的集享合，D為整冰除關(guān)魄系，航則偏容序集<，D>構(gòu)成眼格。x，y∈，xy是lc講m（x，y），未即x與y的最己小公題倍數(shù)沈。xy是gc梨d（x，y），悅即x與y的最薦大公鞭約數(shù)聰。圖8.痰1給出居了個<，D>和<，D>格中緊滿足巷四條嗽運算搭定律怎（定麥理8.烤1），胳但等敲冪律栗可由目吸收成率推鑼出，伸故上脫述定孔義只伸需滿孩足三無條運繪算定蘭律即蔥可。8.站1格的坑定義尤與性碰質(zhì)例8.孔2判斷丟下列連偏序脆集是姻否構(gòu)覺成格縱，并珍說明銹理由及。（1）<P焰(B蝦)，>，其材中P(辮B)是集概合B的冪賞集。（2）<Z，≤>，其冠中Z是整圣數(shù)集很，≤略為小投于或鋪等于四關(guān)系鐵。解：（1）是羨格，x，y∈愿P(溜B)，xy就是x∪歷y，xy就是x∩嘆y。由缸于∪國和∩蓋運算窩在集繭合P(漠B)上是趟封閉勵的，纖所以x∪暈y，x∩帶y∈粗P(晴B)，稱<P密(B晨)，>為B的冪倡集格楊。（2）是統(tǒng)格，x，y∈瞞Z，xy往=記ma腸x（x，y），xy魂=慌mi眠n（x，y），煩他們勢都是繡整數(shù)蛋。8.獅1格的線定義鄰與性宿質(zhì)例8.奇3設(shè)G是群竄，L(原G)是G的所裳有子粗群的弱集合末，即L(霉G)匙={白H|臘H≤鬼G}對任堂意的H1，H2洗∈L疏(G隸)，H1鴿∩H池2也是G的子微群，瞞而<H姿1∪確H2運>是由H1譽∪H目2生成坑的子夫群。毀在L(持G)上定徹義包屋含關(guān)豪系，則L(麻G)關(guān)于權(quán)包含遵關(guān)系夠構(gòu)成超一個熱格?；j稱為G的子言群格收。易傻見在L(仁G)中，H1H2就是H1域∪H絕2，H1H2就是<H遙1∪梨H2跟>。8.家1格的在定義詢與性張質(zhì)定理8.雙3設(shè)S是格色，則a，bS均有歪：a≤建bab=稠aab=附b證明天：因為S是格化，a，bS，a≤撇b，a與b有下典界且無最大窄下界賭為a，所父以ab=職a。同競理可褲得：ab=番b。8.杯1格