格尼斯堡七橋問題

格尼斯堡七橋問題131.七橋漫步格尼斯堡城是由條頓騎士團(tuán)在1308年建立，曾作為東普魯士的首府。第二次世界大戰(zhàn)后，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。現(xiàn)在的格尼斯堡位于立陶宛和波蘭之間。在第二次世界大戰(zhàn)時(shí)，法軍經(jīng)這里入侵波蘭。后來蘇軍也從這里打進(jìn)德國，所以格尼斯堡是一座名城。同時(shí)這里也誕生過許多偉大人物，其中包括18世紀(jì)著名的唯心主義哲學(xué)家康德和19世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家希爾伯特。但是，最早給這座城市帶來聲譽(yù)的橫跨布列格爾河，把格尼斯堡連成一體的七座橋梁。4這一別致的橋群，引來了眾多的游人，同時(shí)還引發(fā)了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重要的研究。5一天又一天，這七座橋上走過了無數(shù)的行人，腳下的七橋觸發(fā)了人們的靈感，一個(gè)有趣的問題在民間傳開“能否在一次散步中每座橋都走一次，而且只能走一次，最后又回到原來的出發(fā)點(diǎn)？”這個(gè)問題看似簡單，人人都樂意去測試一下自己的智力，可是把全城人的智力加在一起，也沒有找到一條合適的路線。這個(gè)問題傳開以后，許多歐洲有學(xué)問的人也參與思考，同樣是一籌莫展。就這樣，格尼斯堡這個(gè)“七橋問題”給人們提供了豐富的樂趣和數(shù)學(xué)興味，因而使得這座波羅的海的海濱古城聞名遐邇。62.歐拉與格尼斯堡七橋問題1735年有幾名大學(xué)生寫信給當(dāng)時(shí)正在俄國彼得堡科學(xué)院任職的天才數(shù)學(xué)家歐拉，請他幫助解決。歐拉并未輕視生活中的小問題，他似乎看到了其中隱藏某種新的數(shù)學(xué)方法。事實(shí)上，要走遍七座橋的所有走法有種，要想一一試驗(yàn)是不可能的，只能另找一種新方法。歐拉依靠他深厚的數(shù)學(xué)功底，運(yùn)用嫻熟的變換技巧，經(jīng)過一年的研究，于1936年，29歲的歐拉向彼得堡科學(xué)院提交了一份為《格尼斯堡七橋》的論文，圓滿的解決了這一問題。歐拉不僅解決了七橋問題，而且他提出的思想導(dǎo)致了一門新的數(shù)學(xué)分支——“圖論”的誕生。7歐拉是如何解決七橋問題的？又是如何證明要想一次走過七座橋是不可能的呢？歐拉的方法十分巧妙：

（1）不考慮4個(gè)地區(qū)的大小、形狀，不妨將它們看成是鏈接橋梁的4個(gè)點(diǎn)；（2）不考慮橋梁的曲直、長短，不妨將它們看成連接4個(gè)點(diǎn)的7條線。于是一座儀態(tài)萬千的格尼斯堡古城在歐拉筆下就變成了一個(gè)結(jié)構(gòu)簡單是幾何圖形。8于是七橋問題就變成了用筆不重復(fù)的（筆不離開紙面）畫出這個(gè)幾何圖形的問題，即“一筆畫”問題。如果可以畫出來，則必有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，如果這兩點(diǎn)不重合，則與起點(diǎn)或終點(diǎn)相交的線必為奇數(shù)條（稱為奇點(diǎn)），如果起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，則與之相交的線必為偶數(shù)條（稱為偶點(diǎn)），而除了起點(diǎn)與終點(diǎn)外，其他點(diǎn)也必為偶點(diǎn)。據(jù)以上分析，如果一個(gè)圖形可以一筆畫出來，則必須滿足兩個(gè)條件：（1）圖形必須是連通的，即任一點(diǎn)通過一些線一定能達(dá)到其他任意點(diǎn)。（2）圖中的奇點(diǎn)數(shù)只能是0或2.回頭來看七橋問題，4個(gè)點(diǎn)全為奇點(diǎn)，故七橋問題無解。歐拉當(dāng)時(shí)發(fā)表這一結(jié)果時(shí)，震驚了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界。9

一筆畫1、一筆畫游戲：下圖是一個(gè)奧運(yùn)五環(huán)標(biāo)志，你能不能一筆畫出來？動(dòng)手試一試。（要求：筆中途不能離開紙，每條線只能畫一次不能重復(fù)。）2、你能試著用一筆把下列圖形畫出來嗎？如果可以，說說你是怎樣畫的？

3、下圖中，說一說哪些點(diǎn)是偶點(diǎn)，哪些點(diǎn)是奇點(diǎn)，再畫一畫看看它們能不能一筆畫出？104、下列艇圖形受能一瓜筆畫得成嗎覺？為堪什么炭？并酒試著烈畫一悶畫。5、下面掙的圖界形都鴨不能釣一筆抵畫成塊，你柏能否壤在圖沙中填墾上一滑條線垃段，拼使它堪能一灑筆畫跳成。6、下圖而是商殖場的槳平面倚圖，妨小明惜的媽各媽想世不重復(fù)的殘走遍漆商場銹的每舅條通抽道，放節(jié)省蒜逛街將的時(shí)俘間，她能怖做到拜嗎？傍如果搬不能奸，請掛說明飲理由愉；如鵝果能購，請你預(yù)幫她層設(shè)計(jì)司一條對行走巨路線挖（可太以從堵A、顛B、殼C、D、坦E、阿F、嫩H、驚I任陽意門匠進(jìn)出扒商場厲）。117、下圖療中的些每一鄙個(gè)圖臟形，撈最少賊需要某幾筆誼畫出雜？123.引申匪與推欺廣歐拉棵解決他七橋被問題配的方裕法并曉不深被奧，誓但他蛛的新希穎之令處不形僅在昆于另夠辟蹊南徑的委解題匪思路芒，更規(guī)在于降“一店筆畫備”問波題雖疏然是乘一個(gè)繭幾何具問題調(diào)，可鴨是這彈種幾浸何問綁題卻藏是歐填幾里醋得幾捉何里被沒有監(jiān)研究持過的民。在“兇一筆槐畫”宏問題勞里，盤長度濾、角違度、男面積咱、體尼積都遮沒有蒸了，逝四大幫塊陸偵地變呢成了話四個(gè)趁點(diǎn)；蔥連線梨的長濕短曲蜻直、董交點(diǎn)吊的方庫位都羨無關(guān)占緊要嬌，要餡緊的榴只是折點(diǎn)線燥之間擺的相齒關(guān)位競置或賣相互謠連接徒的情溪況，露如下數(shù)兩圖煎都沒穗有改固變七歌橋問名題“病一筆務(wù)畫”鉗的性再質(zhì)。13后來稍布勒省格爾打河上弟又架寬起第刪八座握橋來——鐵路淚橋，符這又杯使人殊們想森起了饞那有純?nèi)さ奶栴}恰。雖削然一積次不攀重復(fù)璃走遍錦七座宿橋不中可能蛙，那跌八座吧橋呢古？從欲圖中粒可以證已看娘出，野“奇讀點(diǎn)”縫只有裳兩個(gè)慶（D、C），聯(lián)所以添可以垃一次塌不重煎復(fù)走恨遍八緒座橋痕。14下圖鑼是國吐際奧晴林匹未克運(yùn)卸動(dòng)會(huì)秤的會(huì)指標(biāo)，程也可錘以“咽一筆輔畫”紫。其中陳一條郊線路肉可以動(dòng)是:A-御>B雨->話A-但>B黑C-稱>D衰->侮C-彈>E隙->命F-舉>E繁->建G-爭>H竟->妥G-驗(yàn)>H銹->缸F-察>D蘆->賣A154.新學(xué)購科的手形成歐拉脖對七遭橋問紅題的陰解決太之所捐以著朱名，激不僅毯是因憐為它歐的然趣味結(jié)性和君歐拉蟻解題隔思路愉的巧寇妙，頃更重雀要的威是這仙個(gè)問雅題的對解決左開創(chuàng)析了一鵲個(gè)新愈的數(shù)赴學(xué)分龜支——圖論番。圖論該就是浴運(yùn)用列直觀金的圖劍形和京數(shù)學(xué)冊方法賴來研付究組睜和關(guān)歉系的革一門店新興央學(xué)科堡，由頂于發(fā)尸展迅桿速，卷現(xiàn)已側(cè)成為伙一個(gè)碗獨(dú)立唇的數(shù)哈學(xué)分般支。粥它把端被研皇究系縫統(tǒng)中漢的各墨個(gè)元慨素作午為點(diǎn)瞇，元社素之鉗間的河關(guān)系傷作為傻線，平然后獄畫成頂圖，哪通過寨對圖愁形的筋研究條，找殃出解賠決問庫題的音辦法熔。16圖論鋒為研介究任誰何一血類離帶散事出物的圈關(guān)系趟結(jié)構(gòu)蝦提供簡了一故種本銹質(zhì)的河框架翼，在紫經(jīng)濟(jì)半、心鄰理、蔑社會(huì)承、遺貴傳、耐運(yùn)籌煌、計(jì)耽算機(jī)朽、網(wǎng)械絡(luò)、柿信息吸論、胸控制己論、長邏輯外學(xué)、盼語言掏學(xué)、紛物理握學(xué)、餓化學(xué)賺、微好電子扮技術(shù)鋼、通鋪訊科嫌學(xué)、須系統(tǒng)冷科學(xué)箭等方吩面都宣有廣瓜泛的迅應(yīng)用景。值得龍一提將的是會(huì)，對欣七橋藝問題龍的研嫁究后兼來演籠變?yōu)橹鶎Χ鄤⒚骟w剩的研巧究，學(xué)得到虜了著翼名的輝歐拉喪公式昨：V+鉆F=紐奉E+傘2，其億中V、E、F分布亭是多搬面體甩的定糾點(diǎn)數(shù)血、棱閱數(shù)和等面數(shù)工。這院就是籌高中就關(guān)于劃凸多塵面體稼的歐后拉定包理。卻這個(gè)閥定理為是拓仍撲學(xué)鄉(xiāng)豐的第穗一個(gè)朱定理列，其肌使我耍們看墓到了衣幾何按問題休更深軋刻的躲內(nèi)涵味性質(zhì)芒。拓渣撲學(xué)帆已成碰為當(dāng)勒前最憤為豐壟富多醒彩的臟一個(gè)博數(shù)學(xué)摧分支父。175.最短墨郵路筒問題最短雄郵路祖問題——郵遞秋員每贏天要醒走遍齡自己瓣投遞糖范圍僅的大棵街小垃巷，市怎樣中選擇鍋路線模才能杜使郵驚路最噸短？昆我們核把投住遞單鉗位看觸做點(diǎn)粱，路革線化鍛作線俱，就皆可以攔用圖罩論來版解決修了。右圖服為投擊遞街已道圖隱，如誼果能抬一筆毀畫，掩就能卷找到蘇最短邊投遞覺路線宗；如料果一牙筆畫派不出址來，都問題休就變富成在逼不得釋不重匠復(fù)的生情況君下，瘦尋找動(dòng)最短烈路線廟，這選比一眨筆畫錢問題扯更深心入了強(qiáng)。18如果糠一張悶圖中到奇點(diǎn)馬數(shù)大尼于2，并敘且是2的n倍，何則該標(biāo)圖至私少需表要n筆才廈能畫缺成。犯如下掛圖所鴉示。19最短朱郵路班問題圣是19存60年由系