河南省安陽市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題、含答案

2023屆高三畢業(yè)班第一次模擬考試

數(shù)學(xué)(理科)

一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={》|一24%42},3={y|y=3'-l,xeR},則AB=()

A.B.[-2,+oo)C.[-1,2]D.(-1,2]

1+2/-

2.己知復(fù)數(shù)z=二'，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()

l-2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.己知函數(shù)/1)滿足：①對任意不馬￡(°，”)且玉。電，都有/區(qū))二,3)>0；②對定義

%一々

域內(nèi)任意“，都有/(1)=/(-x),則符合上述條件的函數(shù)是()

A./(x)=x2+|x|+lB./(x)=--xC./(x)=ln|x+l|D,f(x)=cosx

X

什1+cosacmc?/x

4A.右-----=3,則cosa-2sina=()

sina

22

A.-1B.1C.——D.-1或——

55

5.已知等比數(shù)列{〃〃}中,4=1,%+。5=6,則6+%=()

A.12B.10C.12A/2D.672

6.執(zhí)行下圖所示的程序框圖，若輸入〃=0.99,則輸出的n=()

A.6B.7C.8D.9

7.如下圖所示是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()

的視用

371

A.4+27cB.4H—7ic.4+乃D.4+-

22

8.在邊長為。的正三角形內(nèi)任取一點尸,則點尸到三個頂點的距離均大于3的概率是（）

2

A.11-2B.1-<C,1D

12663-;

9.已知｛%｝為等差數(shù)列，S〃為其前幾項和,若%+7=2%，則無=（）

A.49B.91C.98D.182

】。.已知函數(shù)人般皿甘，要得到g*）=8SX的圖象，只需將函數(shù)⑺的圖象（）

A.向右平移三個單位B.向右平移工個單位

63

C.向左平移生個單位D.向左平移三個單位

36

2

X

11.已知的,鳥分別是橢圓=1（。>/?>0）的左、右焦點，P為橢圓上一點，且

PF]（OF]+OP）=0（。為坐標(biāo)原點），若|PGI=3|Pg|,則橢圓的離心率為（）

A.76-73B.星叵C.76-75D.

22

pxr<（）1

12.已知函數(shù)/（%）=<',（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)尸（幻=/[<（x）]-4/（x）-l

Jlnx|,x>0e

的零點個數(shù)為（）

A.8B.6C.4D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（X--!產(chǎn)）6展開式中的常數(shù)項為________.

2y/x

y>0

14.己知向量。=（2,3）,b=（x,y）,且變量滿足,yWx，則z=a?b的最大值

x+y-3<0

為.

15.已知43為圓C:V+y2-2y=0的直徑，點P為直線y=x—1上任意一點，則

|PA5+1P8『的最小值為.

16.在棱長為4的密封正方體容器內(nèi)有一個半徑為1的小球，晃動此正方體，則小球可以經(jīng)過

的空間的體積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知在AABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,且滿足a+2a8sB=c.

(I)求證：B=2A；

(II)若A4BC為銳角三角形，且c=2,求。的取值范圍.

18.某公司為了準(zhǔn)確把握市場，做好產(chǎn)品計劃，特對某產(chǎn)品做了市場調(diào)查：先銷售該產(chǎn)品50

天，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x分布在［50,10)內(nèi)，且銷售量x的分布頻率

。-0.5,10K10(”+1).為偶數(shù)

/?=10

------a/0〃4x<10(n+l),"為奇數(shù)

120

(I)求。的值并估計銷售量的平均數(shù)；

(H)若銷售量大于等于70,則稱該日暢銷，其余為滯銷.在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機(jī)

抽取8天，再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計，設(shè)這3天來自X個組，求隨機(jī)變量X的分

布列及數(shù)學(xué)期望(將頻率視為概率).

19.如下圖，在空間直角坐標(biāo)系。-型中，正四面體(各條棱均相等的三棱錐)ABCD的頂

點A,B,C分別在x軸，y軸，z軸上.

(I)求證：CD//平面。4B；

(II)求二面角C—AB-。的余弦值.

20.如下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線4：y=x與直線4：y=-x之間的陰影部分記為

W,區(qū)域卬中動點P(x,y)到44的距離之積為1.

(])求點P的軌跡C的方程；

(H)動直線/穿過區(qū)域w,分別交直線44于A8兩點，若直線/與軌跡c有且只有一個公

共點，求證：鋁的面積恒為定值.

2x22

21.己知函數(shù)/(x)=-+eJ,g(x)=3elnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

ex

(I)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

(II)是否存在實數(shù)a,匕，使/。)2分+82g(x)對任意xe(0,+oo)恒成立？若存在，試求出

的值；若不存在，請說明理由.

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計分.

22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

V-1_1__f

設(shè)直線/的參數(shù)方程為2，(f為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系X0V的原點。為極點，x軸

y=r+l

的正半軸為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

/?sin2，=4cosd.

(I)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線C是什么曲線；

(II)若直線/與曲線C交于A,8兩點，求|AB|.

23.【選修4-5：不等式選講】

已知函數(shù)fix')=|x+1|+a|2x-l|.

(I)當(dāng)“二』時，若/(工)2,+,(〃2,/7>0)對任意恒成立，求m+〃的最小值;

2mm

(H)若/(x)習(xí)4-2|的解集包含[-1,2],求實數(shù)。的取值范圍.

試卷答案

一、選擇題

1-5:DCACA6-10:CDBBD11、12：AB

二、填空題

15_IS___22%

13.—14.—15.616.32H----

1623

三、解答題

17.(I)a+2acosB=c,由正弦定理知

sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

即sinA=cossinB-sinAcosB=sin(B-A).

因為AIKO/),

所以B—Ac(—肛乃)，且A+(g—A)=Be(0,i),所以A+(3—4)。乃，

所以A=B—A,B=2A.

(II)由(I)知/4=巨，C=7T—A—B=7C-^-.

22

BTV

0<—<—

22

由AABC為銳角三角形得,o<B〈工，

2

八3B冗

22

得三<Bv三.

32

,2

由。+加cos3=2得。=---------￡(1,2).

l+2cosB

18.【解析】(I)由題知P°〃*50解得54〃49〃，

10(?+1)<100

〃可取5,6,7,8,9,

--0.5,10〃Vx<10(〃+1),〃為偶數(shù)

代入〃x)=[l°中，得

—-1On<x<10(??+1),〃為奇數(shù)

(---0.5)+(----0.5)+(—―〃)+(----〃)+(----〃)=1,6Z=0.15.

1010202020

銷售量在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)內(nèi)的頻率分別是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,

銷售量的平均數(shù)為55x0.1+65x0.1+75x0.2+85x0.3+95x0.3=81.

(II)銷售量在[70,80),[80,90),[90,100)內(nèi)的頻率之比為2:3:3,所以各組抽取的天數(shù)分別為

2,3,3.

X的所有可能值為1,2,3,且

P(X=3)=^^=!|￡，

199

P(X=2)=1---------.

282814

X的分布列為

X123

P199

281428

19916

數(shù)學(xué)期望￡X=]J+2x=+3x=—

2814287

19.【解析】(I)由AB=3C=C4,易知。4=O3=OC.

設(shè)Q4=a,則AB=&“，A(a,O,O),8(0,〃,0),C(0,0,a),

設(shè)D點的坐標(biāo)為(x,y,z),則由ZM=O3=￡)C=0a,

可得。一々)2+y2+z2=尢2+(y_〃)2+z2=/+丁2+Q—々)2=2",

余舉得x=y=2=a

所以CO=(aM,0).

又平面。鉆的一個法向量為OC=(0,0,4),

所以CO-OC=0,所以CD//平面Q4B.

(II)設(shè)尸為AB的中點，連接CQOF,

則C戶，AB,DF±AB,NCFD為二面角C—AB—。的平面角.

由(I)知，在△CTO中，CF=DF=42ax—=—a,CD=?,

22

222

則由余弦定理知cosZCFD=C-F---+--D--F----C-D-=一I，即二面角C一AB-。的余弦值為L1

2CFDF33

D

20?【解析】(I)由題意得與亞.叵/=1,|(x+y)(x—y)|=2.

J25/2

因為點尸在區(qū)域W內(nèi)，所以x+y與同號，得(x+y)(x-y)=x2一J?=2,

9?

即點P的軌跡C的方程為三-匕=1.

22

(H)設(shè)直線/與x軸相交于點。，當(dāng)直線/的斜率不存在時，|0。|二五，\AB\=2V2,得

SAOAB-^\AB\-\OD\^2.

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為y=卮+m,顯然左片0,則。(-',0),

k

把直線/的方程與。:一一丁=2聯(lián)立得伏2一］口2一2A如+/+2=0,

由直線/與軌跡C有且只有一個公共點，知△=4A：2加-4(產(chǎn)-1)(*+2)=0,

得〃/=2(公一］)>。，得2>1或女〈一1.

If同i與

設(shè)5(%,火)，由，

LilcL八?，,1,m?inm,,m2,公

所以邑0鉆=3l00ly-%I=TIvll-j―r-77rl=l--RI=2.

22k\-k1+K\-k

綜上，八。3的面積恒為定值2.

21.【解析】(I)/(幻=蟲—￡■=￡?,令/(力=0得x=4.

ex'ex~v4

當(dāng)x<=且xwO時，/'(x)<0；當(dāng)時，/'(x)>0.

x/4V4

所以/(X)在(YO,0)上單調(diào)遞減，在(()，,)上單調(diào)遞減，在(京,+00)上單調(diào)遞增.

(II)注意到/(e)=g(e)=3e,則ae+/?=3e,b=3e-ae?.

于是,ax+h>g(x)即a(x—e)-3e(l—\nx)>0,iCh(x)=a(x—e)+3e(l—Inx),

h\x)=a--(x>0),

x

若a?0,則"(x)<0,得"(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,則當(dāng)時，Wh(x)<h(e)=0,不合

題意；

若a>0,易知林r)在(0,年)上單調(diào)遞減，在(應(yīng),+00)上單調(diào)遞增，

aa

得h(x)在(0,4w)上的最小值/?(—)=3e(2-In—)-^e>0.

aa

記m(a)=3e(2-In—)-ae,則m\a)=-----e,得m(a)有最大值m(3)=0,即m(a)<m(3)=0，

aa

又tn{a}>0,故a=3,代入①得匕=0.

當(dāng)a=3/=0時，f(x)>ax+h即

2x2/2x3—3ex2+/~__3、八

------1—23x------------------N0(x>0)2x3—3er2+cN0.

3xex

記夕(x)=2/一3ex?+/,則夕(x)=6x(x-e),得以x)在(0,+oo)上有最小值°(e)=0,即

(p(x)>0,符合題意.

綜上，存在Q=3,Z?=0,使/'(幻20￥+〃2抵工)對任意工￡(0,+00)恒成立.

22.【解