《一元二次方程》教學(xué)PPT課件-人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

一元二次方程人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)目錄A基本概念B方程的解C方程解法D拓展訓(xùn)練E解應(yīng)用題F趣味故事A基本概念基本定義●判定條件●四種形式●基本概念之成立條件

只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程經(jīng)過(guò)整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）?！径x】ax2+bx+c=0叫作二次項(xiàng)a是二次項(xiàng)系數(shù)叫作一次項(xiàng)b是一次項(xiàng)系數(shù)叫作常數(shù)項(xiàng)1、公元前2000年左右，古巴比倫的數(shù)學(xué)家就能解一元二次方程了。古埃及的紙草文書(shū)中也涉及到最簡(jiǎn)單的二次方程。2、大約公元前480年，中國(guó)人已經(jīng)使用配方法求得了二次方程的正根。《九章算術(shù)》勾股章中的第二十題，是通過(guò)求相當(dāng)于x2+34x-71000=0

的正根而解決的。3、公元628年，印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）（約598～約660）出版了《婆羅摩修正體系》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一個(gè)求根公式。4、公元820年，阿拉伯的阿爾·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代數(shù)學(xué)》。書(shū)中討論到方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法，承認(rèn)方程有兩個(gè)根，并有無(wú)理根存在。5、法國(guó)的韋達(dá)（1540～1603）除推出一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外，還給出了根與系數(shù)的關(guān)系?！練v史】基本概念之基本定義基本概念之判定條件一元二次方程成立必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①是整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式。方程中如果有分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個(gè)方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號(hào)，且未知數(shù)在根號(hào)內(nèi)，那么這個(gè)方程也不是一元二次方程（是無(wú)理方程）。②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2?！九卸l件】基本概念之四種形式ax2+bx+c=0（a≠0）【一般形式】【變形式】ax2+bx=0（a≠0）ax2+c=0（a≠0）ax2=0（a≠0）【配方式】【兩根式】b2ax+()2=b2-4ac4a2a(x-x1)(x-x2)=0B方程的解含義特點(diǎn)●判別式●韋達(dá)定理●方程的解之含義特點(diǎn)【含義】一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解。一般情況下，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根（只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根）?！咎攸c(diǎn)】由代數(shù)基本定理，一元二次方程有且僅有兩個(gè)根（重根即為兩個(gè)相等的根），根的情況由判別式?jīng)Q定?！?b2-4ac方程的解之判別式上述結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立?！?b2-4ac【判別式與根的關(guān)系】利用一元二次方程根的判別式（）可以判斷方程的根的情況。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與判別式有如下關(guān)系：①當(dāng)△﹥0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△﹤0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。方程的解之韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，兩根x1，

x2有如下關(guān)系：【韋達(dá)定理】x1+x2=ba-x1x2=ca【推導(dǎo)過(guò)程】

待學(xué)完利用求根公式解一元二次方程后，可提示學(xué)生自己進(jìn)行推導(dǎo)（后附求根公式推導(dǎo)過(guò)程）！C方程解法基本方法●特殊方法●方程解法之基本方法?開(kāi)平方法（1）形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方法解一元二次方程。（2）如果方程化成x2=p(p≥0)的形式，那么可得x=±p。（3）如果方程能化成(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么mx+n=±p，進(jìn)而得出方程的根。①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)常數(shù)。②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方。注意方程解法之基本方法?開(kāi)平方法【例題】1、解方程x2-24=1解：移項(xiàng)得：x2=25

x=±25x=±5∴x1=5x2=-52、解方程

(3x+1)2=16解：∵（3x+1)2=16

∴3x+1=±16

∴x=（-1±4）÷3∴原方程的解為x1=-5/3,x2=1

方程解法之基本方法?因式分解法【之二因式分解法】因式分解法是通過(guò)將方程右邊化為0后，將左邊因式分解，變成兩個(gè)一元一次方程相乘的形式，從而求得方程的解的方法。（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.基本步驟方程解法之基本方法?因式分解法1.解方程x2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：

（x+1)2=0∴x=-1【例題】2.解方程x(x+1)-2(x+1)=0解：利用提公因式法解得：

（x+1)(x-2)=0

即x-2=0或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x2-4=0解：利用平方差公式因式分解得：

（x-2)(x+2)=0即x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2=2方程解法之基本方法?因式分解法十字相乘法是因式分解法解一元二次方程中一個(gè)重要的部分。一元二次方程左邊為二次三項(xiàng)式，形如x2+(p+q)x+pq=0，可化為(x+p)(x+q)=0，從而得出：x1=-p;x2=-q。十字相乘法1、解方程x2-8x+15=0解：利用十字相乘法，-8=-3-5，15=3×5∴原式可化為(x-3)(x-5)=0∴x1=3；x2=5【例題】方程解法之基本方法?配方法【之三配方法】將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解的方法。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式。配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。①把原方程化為一般形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法求出方程的解，如果右邊是非負(fù)數(shù)，則方程有兩個(gè)實(shí)根；如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則方程有一對(duì)共軛虛根?；静襟E方程解法之基本方法?配方法配方法的口訣二次系數(shù)化為一，分開(kāi)常數(shù)未知數(shù)；一次系數(shù)一半方，兩邊加上最相當(dāng)。1、解方程x2+2x－3=0解：把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)得：x2+2x=3等式兩邊同時(shí)加1（構(gòu)成完全平方式）得：x2+2x+1=4配方得：（x+1)2=4∴x1=-3,x2=1【例題】方程解法之基本方法?公式法【之四公式法】公式法是通過(guò)將方程化成一般形式后，根據(jù)判別式的三種情況，求得方程的解的方法。①把方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），確定a、b、c的值（注意符號(hào)）；②求出判別式（）的值，判斷根的情況；③當(dāng)△﹥0，方程有兩個(gè)不相等的根：

當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的根：當(dāng)△﹤0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根?；静襟E△=b2-4ac-b+b2-4ac2ax1=-b-b2-4ac2ax2=-b2ax=方程解法之基本方法?公式法【例題】1、解方程2x2-8x=-5解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=∴原方程的解為x1=

x2=2×2-(-8)±2424-624+62、解方程4x2-3x+1=0解：由原式可知：a=4，b=-3，c=1∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根．方程解法之特殊方法?賦值法【之五賦值法】賦值法是利用韋達(dá)定理中兩根關(guān)系來(lái)解部分一元二次方程的方法。①現(xiàn)將方程ax2+bx+c=0（a≠0）同時(shí)除以a，得到x2+x+=0②設(shè)x1=-+m，x2=--m(m≥0)③根據(jù)韋達(dá)定理可得：x1·x2=將第二步中的設(shè)定代入，求得m④再求得x1,x2?；静襟Ebacab2ab2aca方程解法之特殊方法?賦值法【例題】1、解方程2x2-140x+1650=0解：第一步將方程兩邊同時(shí)除以a=2

方程化為：x2-70x+825=0，此時(shí)可知：-=35

設(shè)x1=35+m，x2=35-m(m≥0)

根據(jù)韋達(dá)定理可知：x1·x2=825

則有：(35+m)(35-m)=825

解得：m=20∴方程的解為：x1=55，x2=15。b2aD拓展訓(xùn)練推導(dǎo)求根公式●幾何意義●韋達(dá)定理●拓展訓(xùn)練之求根公式推導(dǎo)第一步：約分第二步：配方第三步：通分第四步：開(kāi)平方一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式推導(dǎo)過(guò)程如下：拓展訓(xùn)練之幾何意義一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）的幾何意義一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的幾何意義是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（為一條拋物線）與x軸交點(diǎn)的x坐標(biāo)。說(shuō)明：本表只例舉a﹥0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上的情況，當(dāng)a﹤0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，但根與判別式關(guān)系不變。E解應(yīng)用題一般步驟●精選例題●解應(yīng)用題之一般步驟審讀懂題目、審清題意，明確已知與未知條件及其數(shù)量關(guān)系;設(shè)設(shè)未知數(shù)，包括直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)兩種，主要根據(jù)題目特點(diǎn)來(lái)選擇合適的設(shè)未知數(shù)方式;列根據(jù)題目給出的條件，利用等量關(guān)系，列出方程;解求出所列方程的正確解;驗(yàn)對(duì)求出的方程解進(jìn)行檢驗(yàn)，一看是否能使方程成立，二看是否符合題意和生活實(shí)際，如不符合則應(yīng)舍去;答一般遵循“問(wèn)什么答什么，怎么問(wèn)怎么答”。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟，可歸納為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”：解應(yīng)用題之精選例題1、有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?解:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人可傳染人數(shù)共傳染人數(shù)第0輪1(傳染源)1第1輪xx+1第2輪x(x+1)1+x+x(x+1)列方程1+x+x(x+1)=121化簡(jiǎn)為x2+2x-120=0解方程，得x1=10，x2=-12檢驗(yàn)可知x2=-12不符合題意，所以原方程的解是x=10

答:每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人?！緜鞑?wèn)題】【例題】解應(yīng)用題之精選例題2、某電腦公司2000年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為600萬(wàn)元，占全年經(jīng)營(yíng)總收入的40%，該公司預(yù)計(jì)2002年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到2160萬(wàn)元，且計(jì)劃從2000年到2002年，每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率相同，問(wèn)2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為多少萬(wàn)元?解:設(shè)每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為x.列方程，600÷40%×(1+x)2=2160解方程得：

x1=0.2x2=-2.2，(不符合題意，舍去)∴每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為0.2則2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為:600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800

答:2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為1800萬(wàn)元?！酒骄蕟?wèn)題】解應(yīng)用題之精選例題3、王明同學(xué)將100元第一次按一年定期儲(chǔ)蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的50元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的一半，這樣到期后可得本金利息共63元，求第一次存款時(shí)的年利率.解:設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x，根據(jù)題意，得[100(1+x)-50](1+x)=63.整理，得50x2+125x-13=0.解得x1=0.1，x2=-2.6.∵x2=-2.6不合題意，∴x=10%.

答:第一次存款時(shí)的年利率為10%。【銀行問(wèn)題】【例題】解應(yīng)用題之精選例題4、在寬20米，長(zhǎng)32米的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條路(兩條縱向，一條橫向，并且橫向與縱向互相垂直)，把這塊耕地分成大小相等的六塊試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田的面積是570平方米，問(wèn)道路應(yīng)該多寬?解：設(shè)路寬為x米，則兩條縱路面積為2?x?20=40x(米2)，一條橫路所占的面積為32x(米2).縱路與橫路所占的面積都包括兩個(gè)小正方形ABCD、EFGH的面積，所以三條路所占耕地面積應(yīng)當(dāng)是(40x+32x-2x2)米2，根據(jù)題意可列出方程32×20-(40x+32x-2x2)=570.整理，得x2-36x+35=0.解方程，得x1=1，x2=35.x2=35不合題意舍去，所以x=1.

答:道路寬為1米.【面積問(wèn)題】ABCDEFGH解應(yīng)用題之精選例題5、一個(gè)兩位數(shù)，十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字之和為5;把十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字互換后再乘以原數(shù)得736，求原來(lái)兩位數(shù).解:設(shè)原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為(5-x)，原來(lái)的兩位數(shù)就是:10(5-x)+x，新的兩位數(shù)就是:10x+(5-x).可列出方程:[10(5-x)+x][10x+(5-x)]=736.整理，得：x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.當(dāng)x=2時(shí)，5-x=5-2=3;當(dāng)x=3時(shí)，5-x=5-3=2.

答:原來(lái)的兩位數(shù)是32或23.【數(shù)學(xué)問(wèn)題】解應(yīng)用題之精選例題6、如圖，在△ABC中，∠B=90o,,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)。如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒，△PBQ的面積等于8cm2?解:設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，得:BP=6-x，BQ=2x∵S△PBQ=BP×BQ÷2∴(6-x)×2x÷2=8整理得：x2-6x=8解得:x1=2，x2=4

答：經(jīng)過(guò)2秒或4秒后，△PBQ的面積等于8cm2?！緞?dòng)態(tài)幾何問(wèn)題】ABCPQF趣味故事之一●之二●之三●趣味故事之一

一元二次方程（quadraticequationofonevariable）是指含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次項(xiàng)是二次的整式方程．

在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現(xiàn)于古巴比倫人的泥板文書(shū)中：求出一個(gè)數(shù)使它與它的倒數(shù)之和等于一個(gè)已給數(shù).可見(jiàn)巴比倫人已知道一元二次方程并知道了求根公式．但他們當(dāng)時(shí)并不接受負(fù)數(shù)，所以負(fù)根是略而不提的．

埃及的紙草文書(shū)中也涉及到最簡(jiǎn)單的二次方程，在公元前4、5世紀(jì)時(shí)，古中國(guó)也已掌握了一元二次方程的求根公式．

在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種不同的形式，令

a、b、c為正數(shù)．把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法．阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出二次方程的一般解法，承認(rèn)方程有兩個(gè)根，并有無(wú)理根存在，但卻未有虛根的認(rèn)識(shí)．十六世紀(jì)意大