高二數(shù)學(xué)選修課件：兩個(gè)向量的數(shù)量積

1．知識(shí)與技能掌握空間兩個(gè)向量的夾角，兩個(gè)向量互相垂直的概念及表示方法．掌握異面直線，兩條異面直線所成的角，兩條異面直線互相垂直的概念．掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念，性質(zhì)和計(jì)算方法以及運(yùn)算律．能夠初步在幾何體中求兩個(gè)向量的夾角及數(shù)量積的運(yùn)算和有關(guān)簡(jiǎn)單問(wèn)題的證明．2．過(guò)程與方法培養(yǎng)學(xué)生推理論證、邏輯思維能力、空間想象和幾何直觀能力．3．情感態(tài)度與價(jià)值觀讓學(xué)生感悟推理、運(yùn)算在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣。重點(diǎn)：理解掌握兩個(gè)向量的夾角，異面直線的概念，兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念，理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)和計(jì)算方法運(yùn)算律以及應(yīng)用．難點(diǎn)：兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義以及把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題計(jì)算．由于空間任意兩個(gè)向量都可轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表明符號(hào)及向量的模的概念和表示的符號(hào)等，都與平面向量相同．要正確理解向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成失誤較多．兩個(gè)向量的夾角的注意問(wèn)題：①<a，b>＝<b，a>；②<a，b>與表示點(diǎn)的符號(hào)(a，b)不同；③<－a，b>＝<a，－b>＝π－<a，b>.空間根兩個(gè)旁向量斬的數(shù)益量積伐的意登義，風(fēng)與平車(chē)面上捷兩個(gè)篇向量喊的數(shù)勺量積溪的意甚義實(shí)坑際上霜是一唱樣的杠，只睜要能涌理解訂任意平兩個(gè)規(guī)向量夾共面隙，就礎(chǔ)可把眠空間沖兩個(gè)集向量勵(lì)的數(shù)諷量積璃轉(zhuǎn)化些為平敗面內(nèi)照兩個(gè)膨向量隸的數(shù)吉量積董．很顯葵然，付當(dāng)<a,匪b>＝0時(shí)，a·扮b＝|a|·祖|b|，當(dāng)<a，b>為銳基角時(shí)率，a·盞b>0，當(dāng)<a，b>為鈍田角時(shí)摸，a·延b<0，當(dāng)<a，b>＝π時(shí)，a·墾b＝－|a|·擦|b|.空間紙兩個(gè)拳向量獵的數(shù)搬量積貓的性率質(zhì)．與平繡面上拍兩個(gè)諒向量賀的數(shù)鐵量積唱一樣割，空捐間兩朵個(gè)向傘量的艱數(shù)量決積也妄具有陪如下山性質(zhì)蒜．a(chǎn)．a(chǎn)·董e＝|a|c投os<a，e>b．a(chǎn)⊥b?a·子b＝0c．|a|2＝a·姥a(bǔ)d．|a·拉b|≤|a||b|兩個(gè)陶向量攪數(shù)量?jī)€積的紹性質(zhì)怎的作悲用：性質(zhì)a.可以滾幫助刮我們逗求兩槐個(gè)向腎量的研夾角飛．性質(zhì)b.用于坑判斷河空間煩兩個(gè)舟向量覽的垂阻直．性質(zhì)c.主要呼用于顛對(duì)向悟量模兵的計(jì)溜算．性質(zhì)d.主要剖用于捆不等刑式的眉證明基．通常艱規(guī)定0°≤<a，b>≤18逐0°且<a，b>＝<b，a>如果<a，b>＝90竟°，則椅稱__姻__妻__冬__辨__員__傳__蝦__，記討作__友__松__佩__．2．兩揚(yáng)個(gè)向村量一負(fù)定共侄面．紗但在詢作向其量a，b時(shí)，么它們蘭的基部線可帽能不顆同在的任一卷平面庸內(nèi)，瞇我們尖把不今同在劍任一盞平面騾內(nèi)的避兩條膽直線創(chuàng)叫做__銜__股__蚊__．把飄異面旨直線海平移鏈到一詞個(gè)平夸面內(nèi)聰，這昏時(shí)兩泉條直耳線的期夾角(銳角結(jié)或直皂角)叫做__帶__申__袋__，如川果所騎成的狂角是風(fēng)直角微，則羨稱兩腫條異耀面直妨線__淺__料__割__．3．把初平面星向量面的數(shù)族量積a·片b＝|a||b|c侄os<a，b>也叫凝做兩轎個(gè)空盤(pán)間向熱量a，b的__牙__赤__殃__像__叛__士__毯__．4．兩主個(gè)向昨量的祥數(shù)量潮積是保一個(gè)陰實(shí)數(shù)恢，空攀間兩錄個(gè)向運(yùn)量的叉數(shù)量攔積也配具有危如下次性質(zhì)掃：(1塔)a·罪e＝__吼__柴__奇__艷__貸__；(2渣)a⊥b?__粱__店__布__；(3陜)|a|2＝__倉(cāng)__棍__豪__；(4檔)|a·點(diǎn)b|≤|a||b|.空間傭兩個(gè)棍向量割的數(shù)緩量積紋同樣既滿足海如下蹄運(yùn)算栗律：(1河)(λa)·b＝__失__銜__串__及__死__膜__皺__(2態(tài))a·味b＝__耍__駁__館__；(交換序律)(3督)(a＋b)·c＝__節(jié)__堡__渠__跌__鄰__余__遲__泡(分配辭律)．[答案]1.向量a與b的夾桌角<a，b>a與b互相鋤垂直a⊥b2．異康面直蔬線趴?jī)蓷l找異面櫻直線秘所成譽(yù)的角閑互極相垂危直3．?dāng)?shù)蝕量積(或內(nèi)葛積)4．(1瓣)|a|c旬os秤<a，e>(2百)a·多b＝0(3常)a·壯a(bǔ)(1崗)λ(a·辮b)(2撕)b·赤a(3述)a·訂c＋b·替c[例1]設(shè)θ＝〈a，b〉＝12穩(wěn)0°，|a|＝3，|b|＝4，求撒：(1秒)a·餐b；(2灑)(汁3a－2b)·作(a＋2b)．[分析]利用投數(shù)量績(jī)積公眉式進(jìn)瞧行運(yùn)舉算．[解析](1誓)∵a·保b＝|a||b|c載os〈a，b〉，∴a·糾b＝3×4×co次s1傘20腿°＝－6.(2庭)∵(3a－2b)·蜻(a＋2b)＝3|a|2＋4a·牽b－4|b|2＝3|a|2＋4|a||b|c丑os維12尖0°－4|b|2，向量a、b之間除的夾賤角為30藏°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·貓b，a2，b2，(a＋2b)·局(a－b)．[例2]如圖戚所示舉，已失知空煉間四柱邊形AB汗CD的每畏條邊術(shù)和對(duì)奔角線欄長(zhǎng)都炮等于a，點(diǎn)E、F、G分別扇是AB、AD、DC的中窄點(diǎn)．濫求下拒列向斧量的諷數(shù)量翅積：將本竹例中象每條扣邊和屋對(duì)角效線長(zhǎng)泡都等籃于a改為1，去胖掉中負(fù)點(diǎn)G，計(jì)蛾算：[例3]如圖辜所示航，在虜正方棵體AB雷CD－A1B1C1D1中，板求異詞面直扭線A1B與AC所成古的角肅．[說(shuō)明]求異家面直錫線所盲成的拾角的澤關(guān)鍵頌是求雁異面蔬直線贊上兩困向量透的數(shù)脆量積塔，而柏要求省兩向持量的毒數(shù)量委積，毯必須呼把所嶼求向建量用罪空間刪的一涂組基孩向量嗽來(lái)表架示．[例4]已知秤空間藝四邊榆形OA貍BC中，∠AO份B＝∠BO丹C＝∠AO售C，且OA＝OB＝OC.M、N分別鄰是OA、BC的中床點(diǎn)，G是MN的中付點(diǎn)，場(chǎng)求證必：OG⊥BC.[說(shuō)明]a⊥b?a·說(shuō)b＝0，事劇實(shí)上歷，用向往量法就證線揭線垂冬直問(wèn)匙題是規(guī)向量覆的數(shù)留量積蹄的應(yīng)披用．已知渠：在劫空間妖四邊碰形OA桶BC中(如圖)，OA⊥BC，OB⊥AC，求護(hù)證：OC⊥AB.[分析]可直重接運(yùn)過(guò)用|a|2＝a·絮a.[解析]|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·呈b＋a·高c＋b·喜c)[說(shuō)明]公式圈：(a＋b＋c)·嗎(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b2|＋|c2|＋2a·c＋2a·b＋2b·性c，應(yīng)帥牢記束并能險(xiǎn)熟練嗽的應(yīng)前用．已知是平行重六面禿體AB均CD－A1B1C1D1中，敗以頂崇點(diǎn)A為端諸點(diǎn)的貞三條枝棱長(zhǎng)踐都是1，且鞏兩兩砌夾角償為60消°，則AC1的長(zhǎng)膚是多倚少？[例6]如圖爪，在械平行倚四邊敢形AB口CD中，AB＝AC＝1，∠AC淹D＝90們°，將析它沿僻對(duì)角統(tǒng)線AC折起泳，使AB與CD成60喉°角，革求B、D間的灣距離討．[辨析]把兩婚點(diǎn)間要距離訊表示線出來(lái)誤，由a2＝|a|2求距德離，中但應(yīng)胖注意偽向量抓的角末，三強(qiáng)角形婆內(nèi)角填的區(qū)守別．一、爸選擇卵題1．下回列式搞子中屢正確傷的是()A．|a|·a＝a2B．(a·仇b)2＝a2·b2C．(a·纏b)c＝a(b·所c)D．|a·神b|≤|a高||態(tài)b|[答案]D[解析]∵a·曬b＝|a||b|c岸osθ，∴|a·追b|＝|a||b||英co珍sθ|≤|a|·玻|b|.故選D.[答案]B[解析]由向退量夾王角定寬義知距選B.3．已漂知向肉量a，b，c，兩落兩夾懷角為60屈°，其蛾模都旋為1，則|a－b＋2c|＝()[答案]A[解析]∵|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60士°，二、侵填空