薛定諤方程 一維勢(shì)阱

量子力學(xué)建立于1923~1927年間，兩個(gè)等價(jià)的理論—矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)。相對(duì)論量子力學(xué)（1928年，狄拉克）：描述高速運(yùn)動(dòng)的粒子的波動(dòng)方程。薛定諤（ErwinSchrodinger，1887~1961）奧地利物理學(xué)家。1926年建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué),并建立了量子力學(xué)的近似方法。薛定諤是奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定諤的波動(dòng)力學(xué)，是在德布羅意提出的物質(zhì)波的基礎(chǔ)上建立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學(xué)形式，建立了稱為薛定諤方程的量子力學(xué)波動(dòng)方程。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的價(jià)值相似。在經(jīng)典極限下，薛定諤方程可以過渡到哈密頓方程。薛定諤方程是量子力學(xué)中描述微觀粒子(如電子等)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的基本定律，在粒子運(yùn)動(dòng)速率遠(yuǎn)小于光速的條件下適用。 薛定諤對(duì)分子生物學(xué)的發(fā)展也做過工作。由于他的影響，不少物理學(xué)家參與了生物學(xué)的研究工作，使物理學(xué)和生物學(xué)相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學(xué)的最顯著的特點(diǎn)之一。薛定諤對(duì)原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，因而于1933年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎(jiǎng)金。(1887—1961)在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)來描寫；狀態(tài)隨時(shí)間的變化遵循著一定的規(guī)律。1926年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎(chǔ)上，建立了勢(shì)場(chǎng)中微觀粒子的微分方程，并提出了一系列理論體系，當(dāng)時(shí)被稱作波動(dòng)力學(xué)，現(xiàn)在統(tǒng)稱量子力學(xué)。1、薛定諤方程建立應(yīng)滿足的條件

（1）波函數(shù)應(yīng)滿足含有時(shí)間微商的微分方程。（2）要建立的方程是線性的，即如果1、2是方程的解，則1

和2的線性疊加a1+b2

也應(yīng)是方程的解（量子力學(xué)態(tài)的疊加原理）。（3）這個(gè)方程應(yīng)該是普適的，其系數(shù)不應(yīng)含有狀態(tài)參量（動(dòng)量、能量等）。

11.7薛定諤方程（4）經(jīng)典力學(xué)中自由粒子動(dòng)量與能量的關(guān)系（非相對(duì)論關(guān)系）E=p2/2m在量子力學(xué)中仍成立。

沿x方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為E和動(dòng)量為的自由粒子的波函數(shù)2、單能自由粒子（沿x方向勻速運(yùn)動(dòng)）的薛定諤方程

分別對(duì)時(shí)間和位置坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)得：這就是一維自由運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程。利用E=P2/2m整理得：3、勢(shì)場(chǎng)中單能粒子（沿x方向勻速運(yùn)動(dòng)）的薛定諤方程

此時(shí)粒子具有的能量：

同樣導(dǎo)出：

這就是勢(shì)場(chǎng)中單能粒子的薛定諤方程

利用E=P2/2m得：對(duì)勢(shì)場(chǎng)中三維運(yùn)動(dòng)的粒子

引入拉普拉斯算符：則有

再引入哈密頓算符：則有

一般的薛定諤方程

4、定態(tài)薛定諤方程（即V(x,y,z)是不隨時(shí)間變化）若作用在粒子上的勢(shì)場(chǎng)不顯含時(shí)間

t，在經(jīng)典力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情況，可用分離變量法求薛定諤方程的特解。兩邊除以可得：由于跌空間窄變量光與時(shí)既間變憶量相著互獨(dú)循立，深所以僑等式估兩邊奏必須終等于敘同一應(yīng)個(gè)常溉數(shù)，該設(shè)為E則有欲：（定持態(tài)薛貌定諤防方程捐）與自波由粒鄭子波陸函數(shù)賣類比騰，E具有間能量掘的量來綱，騎它代禮表粒冠子的由能量族。把常敞數(shù)A歸到宣空間兩部分到，薛槐定諤邪方程完的特勵(lì)解可逗寫為佳：（定糾態(tài)波塌函數(shù)睛）對(duì)應(yīng)綁的幾桐率密蜻度與岡時(shí)間教無關(guān)格。即澤：處于院定態(tài)月下的螞粒子喪具有竭確定疼的能薄量E、粒子臘在空麗間的米概率予密度讀分布侍不隨霞時(shí)間麥變化困，而趴且力逮學(xué)量呼的測(cè)病量值嚷的幾籌率分積布和細(xì)平均尋值都軍不隨絕時(shí)間西變化追。量子幟力學(xué)維的處抵理方儲(chǔ)法（1）已零知粒越子的m，勢(shì)能氣函數(shù)V，即可椒給出每薛定挪諤方逗程（2）由暗給定灘的初念、邊絨值條由件，廈求出扇波函頁數(shù)（3）由把波函較數(shù)給券出不紛同地日點(diǎn)、強(qiáng)時(shí)刻曲粒子液的幾軌率密害度|蔑|2下面貸以一挨維無弟限深拌勢(shì)阱款為例貨，求喪解定匙態(tài)薛淺定諤隊(duì)方程11隱.8一維盜無限曬深方礎(chǔ)勢(shì)阱1、以一艱維定皆態(tài)為瓶例，滅求解箏已知傅勢(shì)場(chǎng)咬的定襖態(tài)薛趨定諤簽方程到。了解灣怎樣翁確定纖定態(tài)凳的能課量E，從而躍看出瘋能量附量子溝化是昂薛定諤狀方程贊的自合然結(jié)遍果。已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為：粒子嗎在勢(shì)扔阱內(nèi)充受力匯為零骨，勢(shì)筑能為部零。在阱筆外勢(shì)熔能為末無窮惜大，重在阱杜壁上甚受極大澆的斥射力。豪稱為郊一維殿無限趕深勢(shì)問阱。其定拿態(tài)薛店定諤眉方程：在阱袖內(nèi)粒服子勢(shì)賺能為陪零，乖滿足鳥：在阱聲外粒造子勢(shì)告能為開無窮腰大，歉滿足栗：方程助的解揪必處葬處為耍零：根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上粒子棕被束艇縛在龍阱內(nèi)城運(yùn)動(dòng)鵲。在阱邊內(nèi)的啞薛定析諤方照程可弊寫為怖：類似于簡諧振子的方程，其通解：代入篇邊界句條件江得：解得茶：n不能城取零頌，否拴則無剛意義往。因?yàn)榇私Y(jié)驅(qū)果說當(dāng)明粒喪子被伙束縛槳在勢(shì)憶阱中熱時(shí)，莫能量絡(luò)只能帶取一稻系列泳分立橫值，猴其能藝量是洞量子少化的稿。由歸一化條件一維冒無限穗深方期勢(shì)阱盯中運(yùn)踏動(dòng)的漢粒子搖其定戰(zhàn)態(tài)波映函數(shù)匯：稱為量子數(shù)；為本征態(tài)；為本征能量。1、存在順最小框能級(jí)遵，稱丘為基底態(tài)能杠量。2、能量折是量勁子化阻的。當(dāng)艙能補(bǔ)級(jí)分寶布可是視為連連續(xù)累的，能量掩可視吼為連匠續(xù)變多化。討論3、能餓級(jí)間擺隔：若岡，池同理冷可得例：挪電子嫌在的一抓維無禾限深賞勢(shì)阱辱中（近債似于表連續(xù)舒）（能蚊量分租立）在某吊些極央限的搜條件瓶下，眨量子辰規(guī)律默可以抗轉(zhuǎn)化填為經(jīng)約典規(guī)紹律.勢(shì)阱中相鄰能級(jí)之差能量能級(jí)相對(duì)間隔當(dāng)時(shí)，，能量視為連續(xù)變化.例：電子在的勢(shì)阱中.（近似于連續(xù)）若時(shí),（能量分立）

當(dāng)很大時(shí)，，量子效應(yīng)不明顯，能量可視為連續(xù)變化。物理意義一維掏無限垮深方留勢(shì)阱刑中粒聯(lián)子的量能級(jí)梁、波泡函數(shù)喬和幾僻率密琴度2、梨勢(shì)壘棄貫穿墻（隧道買效應(yīng)）在經(jīng)毯典力車學(xué)中臘,若粒子潛的動(dòng)歲能,它只椒能在I區(qū)中秋運(yùn)動(dòng)持。OIIIIII在量蛋子物老理學(xué)濱中其煉定態(tài)展薛定體諤方涌程為蜻：令：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：若考繼慮粒散子是能從I區(qū)入拳射，幼在I區(qū)中壁有入迅射波董和反判射波蹦；粒咽子從I區(qū)經(jīng)設(shè)過II區(qū)穿怨過勢(shì)民壘到II蟻I區(qū)，巷在II牧I區(qū)只菠有透舍射波圖。粒和子在禍處匹的幾圣率要殃大于瀉在靈處出哲現(xiàn)的龜幾率毛。其解為：邊界便條件IIIIII求出溝解的沈形式善如圖IIIIII隧道效應(yīng)量子認(rèn)力學(xué)至結(jié)果致分析租：（1）E>屆V0情況在經(jīng)被典力饑學(xué)中然，該昂情況遺的粒射子可以桶越過面勢(shì)壘政運(yùn)動(dòng)諸到x>謊a區(qū)域榮，而在量特子力岡學(xué)中毅有一懂部分高被反朋彈回菊去，即粒敞子具嘉有波饞動(dòng)性劃的具圍體體肝現(xiàn)。（2）E<鋒V0情況在經(jīng)異典力糠學(xué)中屯，該未情況戶的粒堵子將唉完全先被勢(shì)女壘擋盯回，在x<秩0的區(qū)書域內(nèi)執(zhí)運(yùn)動(dòng)軍；而偷在量歌子力喪學(xué)中趟結(jié)果遷卻完嗽全不嬌同，此僚時(shí)，邁雖然會(huì)粒子光被勢(shì)賽壘反樓射回版來，煉但它淹們?nèi)愿斡辛：碜哟┩竸?shì)數(shù)壘運(yùn)漏動(dòng)到尖勢(shì)壘顫里面宜去，爹所以風(fēng)我們蒙將這辯種量若子力添學(xué)特有的氣現(xiàn)象遼稱“閥隧道群效應(yīng)勝”。隧道蓬效應(yīng)醬和掃恰描隧靈道顯票微鏡ST眼M19樂81年在IB名M公司恢瑞士揀蘇黎頁士實(shí)宿驗(yàn)室桶工作唱的賓痰尼希銅和羅雷調(diào)爾利采用針紫尖與蛙表面呈間的常隧道尼電流奴隨間指距變圍化的猛性質(zhì)來探誕測(cè)表鑒面的綁結(jié)構(gòu)友，獲其得了半實(shí)空摧間的殃原子黎級(jí)分幅辨圖郵象，為此逢獲得19棉86年諾毒貝爾端物理行獎(jiǎng)。由于積電子峽的隧參道效袍應(yīng)，賄金屬稱中的榨電子劉并不魯完全踢局限危于表拾面邊榆界之被內(nèi)，甩電子叫密度絕并不助在表劃面邊福界處建突變垃為零汁，而湖是在攝表面腐以外縫呈指躲數(shù)形覆式衰閱減，盞衰減策長度憤約為1nm。只要駕將原附子線啄度的羨極細(xì)失探針矩以及損被研件究物磨質(zhì)的娛表面飼作為軟兩個(gè)酬電極瞇，當(dāng)遞樣品撲與針覺尖的爛距離京非常遙接近妨?xí)r，燒它們紫的表囑面電達(dá)子云魂就可機(jī)能重友疊。若在謝樣品結(jié)與針禁尖之登間加提一微餡小電胳壓Ub電子濟(jì)就會(huì)穿穿過納電極跟間的督勢(shì)壘倚形成脂隧道場(chǎng)電流頃。隧道尖電流斷對(duì)針裁尖與育樣品吃間的學(xué)距離呆十分黎敏感低。若旨控制也隧道賞電流蜂不變抽，則粘探針格在垂椒直于駕樣品堅(jiān)方向零上的第高度緞變化悠就能農(nóng)反映美樣品枝表面點(diǎn)的起浪伏。因?yàn)橛克淼纻汶娏鳉?duì)針糞尖與固樣品間的棄距離斤十分目敏感聽?？貙氈漆橁嚰飧叨炔蛔献?，嘆通過淋隧道爐電流湊的變情化可得到激表面烏態(tài)密蔥度的請(qǐng)分布份；空氣隙STM工作示意圖樣品探針利用ST滲M可以箱分辨卵表面篩上原鵝子的水臺(tái)階躺、平著臺(tái)和埋原子煮陣列擊。可同以直等接繪化出表耍面的鑄三維莊圖象使人出類第陪一次騎能夠索實(shí)時(shí)吵地觀遙測(cè)到肢單個(gè)嫩原子逝在物而質(zhì)表離面上股的排簽列狀抗態(tài)以裁及與閃表面逆電子像行為暮有關(guān)中的性脾質(zhì)?；镌诒頌E面科掙學(xué)、朗材料池科學(xué)哲和生擦命科抱學(xué)等撈領(lǐng)域社中有完著重睬大的劈燕意義尸和廣餅闊的沸應(yīng)用盛前景陪。利用洲光學(xué)黃中的撲受抑粘全反叢射理惹論，秩研制嘉成功嚇光子腎掃描就隧道濾顯微脆鏡（PS姿TM英)。19位89年提楊出成敲象技熟術(shù)。它可絕用于恩不導(dǎo)曉電樣溪品的魄觀察乎。ST主M樣品必須菊具有言一定腫程度開的導(dǎo)膚電性滔；在件恒流匹工作稻模式孟下有米時(shí)對(duì)構(gòu)表面抵某些落溝槽克不能予準(zhǔn)確才探測(cè)抖。任猜何一男種技無術(shù)都危有其厘局限紐奉性。下面滅是用貧掃描交隧道巖顯微屈鏡觀巷察到原的一癢些結(jié)下果這是塔用掃隊(duì)描隧根道顯亮微鏡綿搬動(dòng)48個(gè)Fe原子到Cu表面立上構(gòu)躬成的緞量子甚圍欄嘴。19夫91年IB草M公司惰的“灘拼字逢”科妻研小另組創(chuàng)鋤造出鄰了“站分子誼繪畫此”藝投術(shù)。顏這是躍他們匯利用ST倡M把一仗氧化摸碳分凈子豎合立在釀鉑表霸面上來、分制子間零距約0.暴5納米螞的“燙分子鋒人”饑。這泄個(gè)“市分子脈人”心從頭灰到腳購只有5納米莖，堪豈稱世柄界上隱最小姥的人趟形圖誘案。19遞94年初政，中扔國科頸學(xué)院熟真空切物理躁實(shí)驗(yàn)室錦的研柴究人構(gòu)員成瓜功地艘利用涂一種鑄新的表顧面原樂子操朗縱