知識(shí)點(diǎn)33圓的基本性質(zhì)

一、選擇題1.（2019廣西省貴港市，題號(hào)9，分值3分）如圖，是的直徑，，若，則圓周角的度數(shù)是A． B． C． D．【答案】．【解析】解：，，，，，，故選：．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系2.（2019湖北十堰，8，3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE=13，則AEA．3 B．32 C．43 D．23【答案】D【解析】連接AC，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，從而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)．解：連接AC，如圖，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE=AC2故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)3.(2019內(nèi)蒙古包頭市，8題，3分)如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=BC=22，以BC為直徑作半圓，交AB于點(diǎn)D，則陰影部分的面積是（）A.π-1 π C.2 【答案】D.【解題過(guò)程】解：連接CD，∵∠ACB=900，AC=BC，∴∠ABC=∠A=450，AB=AC2∵BC為直徑，∴∠BDC=900，即CD⊥AB，又∵AC=BC，∴AD=BD.∴∠DCB=∠DBC=450，∴CD=BD，∴CD=BD=AD=12AB∵CD=BD，∴S弓形CD=S弓形BD，∴S陰影=S△ACD=12AD·CD=12×2故選D.【知識(shí)點(diǎn)】圓的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積.4.(2019內(nèi)蒙古包頭市，6題，3分)下列說(shuō)法正確的是（）A.立方根等于它本身的數(shù)一定是1和0B.順次連接菱形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形C.在函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，y的值隨著x值的增大而增大D.如果兩個(gè)圓周角相等，那么它們所對(duì)的弧長(zhǎng)一定相等【答案】B.【解析】解：對(duì)于A，立方根等于它本身的數(shù)是0和±1，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到平行四邊形，而菱形對(duì)角線互相垂直，故順次連接菱形各邊中點(diǎn)可以得到矩形，該選項(xiàng)正確；對(duì)于C，函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)弧長(zhǎng)相等的前提是在同圓或等圓中，沒(méi)有這個(gè)前提是錯(cuò)誤的.故選B.【知識(shí)點(diǎn)】立方根，中點(diǎn)四邊形，一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，圓周角的性質(zhì).5.（2019北京市，5題，2分）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，則∠AOB=20° C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】由作圖知，,OM=OC=OD=ON；A．在⊙中，由得∠COM=∠COD；故選項(xiàng)A正確.B．由OM=MN，結(jié)合OM=ON知△OMN為等邊三角形；得∠MON=60°.又由得∠COM=∠COD=∠DON；∴∠AOB=20°.故選項(xiàng)B正確.C．由題意知OC=OD，∴.設(shè)OC與OD與MN分別交于R，S.易得△MOR≌△NOS（ASA）∴OR=OS∴∴∴MN∥CD.故選項(xiàng)C正確.D．由得CM=CD=DN=3CD；而由兩點(diǎn)之間線段最短得CM+CD+DN>MN，即MN<3CD；∴MN=3CD是錯(cuò)誤的；故選D.【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)和判定、圓的有關(guān)性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定.6.（2019年廣西柳州市，6，3分）如圖，A、B、C、D是圓上的點(diǎn)，則圖中與∠A相等的角是（）A．∠BB．∠CC．∠DEBD．∠D【答案】D【解析】：∵∠A與∠D都是弧BC所對(duì)的圓周角，∴∠D=∠A．故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理7.（2019貴州省安順市，8，3分）如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上的一點(diǎn)，則tan∠OBC＝（）A． B．2 C． D．第第8題圖【答案】D【思路分析】作直徑CD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出cos∠CDO，根據(jù)圓周角定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代換即可．【解題過(guò)程】解：作直徑CD，第第8題答圖在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，則OD＝4，cos∠CDO＝＝，由圓周角定理得，∠OBC＝∠CDO，則cos∠OBC＝，故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．8.（2019吉林省，5，2分）如圖，在⊙O中，弧AB所對(duì)的圓周角∠ACB=50°，若P為弧AB上一點(diǎn)，∠AOP=55°，則∠POB的度數(shù)為(A)30°(B)45°(C)55°(D)60°【答案】B【解析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因?yàn)椤螦OP=55°，所以∠POB的度數(shù)為45°，故選B【知識(shí)點(diǎn)】同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系9.（2019·江蘇鎮(zhèn)江，15，3）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，弧DC＝弧CB．若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°第第15題圖【答案】A．【解析】本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理、弦弧關(guān)系定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分利用圓的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想．如答圖，連接BD．第第15題答圖∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∵四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，∴∠C＋∠A＝180°．∵∠C＝110°，∴∠A＝70°．∴∠DAB＝20°．∵弧DC＝弧CB，∴DC＝CB．∴∠CBD＝∠CDB＝＝35°．∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝20°＋35°＝55°．∴本題選A．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理；弦弧關(guān)系定理；等腰三角形的性質(zhì)10.（2019廣西梧州，11，3分）如圖，在半徑為的中，弦與交于點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)是A． B． C． D．【答案】C【解析】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于，連接、，如圖所示：則，，，在中，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，；故選：C．【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；直角三角形的性質(zhì)11.（2019江蘇鎮(zhèn)江，15，3分）如圖，四邊形是半圓的內(nèi)接四邊形，是直徑，．若，則的度數(shù)等于A． B． C． D．【答案】A【解析】解：連接，四邊形是半圓的內(nèi)接四邊形，，，，是直徑，，，故選：．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)12.（2019內(nèi)蒙古赤峰，10，3分）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解析】解：如圖，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，∴AC=∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題1.（2019廣西北部灣，17，3分）《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.【答案】26.【思路分析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，則有r2=52+(r-1)2，解方程即可．【解題過(guò)程】解：設(shè)⊙O的半徑為r．

在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，

則有r2=52+(r-1)2，

解得r=13，

∴⊙O的直徑為26寸，

故答案為26．【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.2.(2019黑龍江綏化,20題,8分)半徑為5的O是銳角三角形ABC的外接圓,AB＝AC,連接OB,OC,延長(zhǎng)CO交弦AB于點(diǎn)D.若△OBD是直角三角形,則弦BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】∵△OBD為直角三角形,∴分類(lèi)討論:如圖,當(dāng)∠BOD＝90°時(shí),∠BOC＝90°,在Rt△BOC中,BO＝OC＝5,∴BC＝;當(dāng)∠ODB＝90°時(shí),∵OB＝OC,設(shè)∠OBC＝∠OCB＝x,∴∠BOD＝2x,∠BOC＝180°－2x,∴∠ABO＝90°－2x,∠ABC＝∠ACB＝90°－x,∴∠A＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x＝2×2x,∴x＝30°,∴∠BOC＝120°,∵OB＝OC＝5,∴BC＝.綜上所述,BC的長(zhǎng)度為【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角,勾股定理,圓周角定理3.（2019寧夏，14，3分）如圖，是的弦，，垂足為點(diǎn)C，將劣弧沿弦AB折疊交于OC的中點(diǎn)D，若，則的半徑為．【答案】【解析】設(shè)的半徑為，因?yàn)?，所以，因?yàn)榱踊⊙叵褹B折疊交OC的中點(diǎn)D，所以，連接OB，在Rt△OBC中，由勾股定理得，即，解得，所以的半徑為．【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理、勾股定理、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．4.（2019山東東營(yíng)，16，4分）如圖，AC是⊙O的弦，AC=5，點(diǎn)B是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=45°，若點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則MN的最大值是____________．【答案】【解析】∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴MN=AB．當(dāng)AB為⊙O的直徑時(shí)，AB有最大值，則MN有最大值．當(dāng)AB為直徑時(shí)，∠ACB=90°，∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=，∴MN=．【知識(shí)點(diǎn)】中位線定理；圓周角定理及其推論5.（2019黑龍江省龍東地區(qū)，6，3）如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，點(diǎn)D在圓上，且∠ADC＝30°，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】60°.【解析】∵OA⊥BC，∴，∴∠AOB＝2∠ADC,∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理；圓周角與圓心角關(guān)系定理6.（2019·江蘇常州，16，2）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOC＝120°，則∠CDB＝__________°．第第16題圖【答案】30【解析】本題考查了圓周角定理，∵AB是⊙O的直徑，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB＝30°．因此本題答案為30．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理7.（2019江蘇常州，16，2分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOC＝120°，則∠CDB＝°．【答案】30【解析】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB=12∠BOC＝30°．故答案為【知識(shí)點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理8.（2019四川省雅安市，15，3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠CBD=21°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)__________.【答案】69°【解析】∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°，故答案為69°．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答題1.（2019廣西河池，T21，F(xiàn)8分）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線，與交于點(diǎn)；連接，交于點(diǎn)（不寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡，且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑）；（2）探究與的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路分析】（1）利用基本作圖作平分，然后連接得到點(diǎn)；（2）由平分得到，由圓周角定理得到，則，再證明為的中位線，從而得到，．【解題過(guò)程】解：（1）如圖所示；（2），．理由如下：平分，，，，，，為的中位線，，．【知識(shí)點(diǎn)】作圖基本作圖；圓周角定理2.（2019黑龍江哈爾濱，26，10分）已知:MN為⊙O的直徑,OE為⊙O的半徑,AB、CH是⊙O的兩條弦,AB⊥OE于點(diǎn)D,CH⊥MN于點(diǎn)K,連接HN、HE,HE與MN交于點(diǎn)P；(1)如圖1,若AB與CH交于點(diǎn)F,求證:∠HFB=2∠EHN；(2)如圖2,連接ME、OA,OA與ME交于點(diǎn)Q,若OA⊥ME,∠EON=4∠CHN,求證:MP=AB；(3)如圖3,在(2)的條件下,連接OC、BC、AH,OC與EH交于點(diǎn)G,AH與MN交于點(diǎn)R,連接RG,若HK：ME=2：3,BC=,求RG的長(zhǎng)。【思路分析】（1）利用“四邊形內(nèi)角和為360°”、“同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半”即可；（2）根據(jù)同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，先證AB＝MB，再根據(jù)“等角對(duì)等邊”，證明MP＝ME；（3）由全等三角形性質(zhì)和垂徑定理可將HK：ME＝2：3轉(zhuǎn)化為OQ：MQ＝4：3；可設(shè)Rt△OMQ兩直角邊為：OQ＝4k，MQ＝3k，再構(gòu)造直角三角形利用BC＝，求出k的值；求得OP＝OR＝OG，得△PGR為直角三角形，應(yīng)用勾股定理求RG．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，∵AB⊥OE于點(diǎn)D，CH⊥MN于點(diǎn)K∴∠ODB＝∠OKC＝90°∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°∴∠DFK+∠EON＝180°∵∠DFK+∠HFB＝180°∴∠HFB＝∠EON∵∠EON＝2∠EHN∴∠HFB＝2∠EHN（2）如圖2，連接OB，∵OA⊥ME，∴∠AOM＝∠AOE∵AB⊥OE∴∠AOE＝∠BOE∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，即：∠MOE＝∠AOB∴ME＝AB∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN∴∠EHN＝2∠CHN∴∠EHC＝∠CHN∵CH⊥MN∴∠HPN＝∠HNM∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM∴∠EPM＝∠HEM∴MP＝ME∴MP＝AB（3）如圖3，連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)A作AL⊥MN于L，連接AM，AC，由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE∴∠EOC＝∠CON∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°∵OA⊥ME，CH⊥MN∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，∴∠AOM+∠OMQ＝90°∴∠CON＝∠OMQ∵OC＝OA∴△OCK≌△MOQ（AAS）∴CK＝OQ＝HK∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3∴OQ：MQ＝4：3∴設(shè)OQ＝4k，MQ＝3k，則OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k在Rt△OAC中，AC＝＝＝5k∵四邊形ABCH內(nèi)接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°∴AF＝BF＝AB?cos∠ABF＝6k?cos45°＝3k在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2即：（3k）2＋（3k＋）2＝（5k）2，解得：k1＝1，k1＝－（不符合題意，舍去）∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1∴RK＝HK＝4∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1∵∠CON＝∠OMQ∴OC∥ME∴∠PGO＝∠HEM∵∠EPM＝∠HEM∴∠PGO＝∠EPM∴OG＝OP＝OR＝1∴∠PGR＝90°在Rt△HPK中，PH＝＝＝2∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN∴△POG∽△PHN∴＝，即＝，PG＝∴RG＝＝＝．【知識(shí)點(diǎn)】3.（2019湖北仙桃，23，10分）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系式：；（2）如圖②，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若BC＝5，BD＝4，求ADAB+AC【思路分析】（1）在AD上截取AE＝AB，連接BE，由條件可知△ABE和△BCD都是等邊三角形，可證明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，則AB+AC＝AD；（2）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M，使BM＝AC，連接DM，證明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，證得AB+AC=2（3）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN＝AC，連接DN，證明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，證△NAD∽△CBD，可得ANBC=ADBD，可由AN＝AB+【解題過(guò)程】解：（1）如圖①在AD上截取AE＝AB，連接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等邊三角形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案為：AB+AC＝AD．（2）AB+AC=2AD如圖②，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M，使BM＝AC，連接DM，∵四邊形ABDC內(nèi)接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM=2AD，即AB+BM∴AB+AC=2（3）如圖③，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN＝AC，連接DN，∵四邊形ABDC內(nèi)接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴ANBC∴ADAN又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴ADAB+AC【知識(shí)點(diǎn)】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)4.(2019內(nèi)蒙古包頭市，24題，10分)如圖12，在圓O中，B是圓O上一點(diǎn)，∠ABC=1200，弦AC=23，弦BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，連接MA，MC（1）求圓O半徑的長(zhǎng)；（2）求證：AB+BC=BM.【思路分析】（1）先根據(jù)條件“∠ABC=1200，BM平分∠ABC”判定△ACM是等邊三角形；過(guò)O作OE⊥AC于E，連接OA，再根據(jù)AC=23，∠AOE=600,計(jì)算出AO的長(zhǎng)即可；（2）在BM上截取BF，使BF=BC，由∠CBF=600可知△BCF為等邊三角形，得到BF=BC；再判定△ABC≌△MFC，得到MF=AB；最后根據(jù)MF=AB，BM=MF+BF，BF=BC即可得出結(jié)論.【解題過(guò)程】解：（1）過(guò)O作OE⊥AC于E，連接OA，∵∠ABC=1200，BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM=600，∵弧AM=弧AM，∴∠ACM=∠ABM=600，同理，∠MAC=∠MBC=600,∴∠MAC=∠MCA=∠AMC=600，∴△ACM為的等邊三角形，∵OE⊥AC，O為圓心，∴AE=12AC=3∵△ACM為圓內(nèi)接正三角形，∴∠AOE=600，在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEOA∴OA=AEs∴圓O的半徑長(zhǎng)為2.（2）在BM上截取BF，使BF=BC，又∵∠CBF=600，∴△BCF為等邊三角形，∴∠BFC=600，BF=BC=FC，∴∠CFM=1800-∠BFC=1200，又∵∠ABC=1200，∴∠ABC=∠MFC,∵弧BC=弧BC，∴∠BAC=∠FMC，∴△ABC≌△MFC(AAS).∴MF=AB，又∵BM=MF+BF，BF=BC,∴BM=AB+BC.【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定，正多邊形的計(jì)算，全等三角形的判定，特殊角三角函數(shù).5.（2019年陜西省，25，12分）（本題12分）問(wèn)題探究：（1）如圖①，四邊形ABCD為正方形，請(qǐng)?jiān)谏渚€CD上找一點(diǎn)P，使△BCP的面積恰好等于正方形ABCD的面積；（2）如圖②，在矩形ABCD中，，，請(qǐng)?jiān)谥本€BC上方找一點(diǎn)Q，使得△BQC是以BC為底的等腰三角形，且它的面積等于矩形ABCD的面積，求出此時(shí)的度數(shù)；問(wèn)題解決：（3）如圖③，在△ABC中，，，在△ABC所在的平面上是否存在點(diǎn)M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，且？若存在，畫(huà)出該點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第第25題圖【思路分析】第（1）問(wèn)中，因?yàn)檎叫蜛BCD與△BCP的面積相等，而它們有相同的底BC，所以，即可作出點(diǎn)P；第（2）問(wèn)中，利用△BQC的面積等于矩形ABCD的面積，可以求出等于三角形的高，利用銳角三角函數(shù)即可求出的度數(shù)；第（3）問(wèn)中，因?yàn)椤鰽BM的面積等于△ABC的面積，而它們有相同的底AB，所以這兩個(gè)三角形的高相等，因?yàn)?，，所以，所以利用三角形的外接圓的性質(zhì)及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，可以作出點(diǎn)P的位置．【解題過(guò)程】（1）本題的答案是因?yàn)檎叫蜛BCD與△BCP的面積相等，而它們有相同的底BC，所以，所以將CD延長(zhǎng)一倍，即可找到點(diǎn)P的位置，如下圖：第2第25題答圖（1）（2）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以，因?yàn)椤鰾QC的面積等于矩形ABCD的面積，所以，設(shè)△BQC的底邊BC上的高為x，則，所以，此時(shí)，點(diǎn)Q在BC的垂直平分線上，并且點(diǎn)Q到BC的距離為，點(diǎn)Q的位置，如下圖所示：第2第25題答圖（2）由圖，可知因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以，，，所以在Rt△QBE中，，所以，所以．（3）解：存在點(diǎn)M