華師大初等數(shù)學(xué)講義

初等數(shù)學(xué)講義

第一章走進(jìn)數(shù)學(xué)世界

§1.1與數(shù)學(xué)交朋友

1.數(shù)學(xué)伴我們成長(zhǎng)

當(dāng)你呱呱落地降臨人世的第一

天，醫(yī)生就要檢測(cè)一下你的各項(xiàng)健康

指標(biāo)，為你量量身體的長(zhǎng)度，稱(chēng)稱(chēng)你

的體重，這些都與數(shù)和量有關(guān)，這就是數(shù)學(xué)，人生到世

界上來(lái)的第一天就遇到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)哺育著你成長(zhǎng)。

隨著年齡增長(zhǎng)，你隨時(shí)隨地都在

接觸數(shù)學(xué).你開(kāi)始在大人們的指導(dǎo)下，

學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)；學(xué)習(xí)畫(huà)三角形、方塊和圓；

用剪刀剪出各種美麗的圖案，或者用

紙折出小鳥(niǎo)、小船等各種形狀的玩具;

到商店去購(gòu)買(mǎi)你喜歡吃的各種食

品；.這一切的一切，你會(huì)逐漸意

識(shí)到都和？數(shù)、數(shù)的運(yùn)算、數(shù)的比較、圖形的大小、圖

形的形狀、圖形的位置有關(guān)，這又是數(shù)學(xué).

你進(jìn)入學(xué)校，正式開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，懂得了

初步的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù)；學(xué)會(huì)了加、減、乘、

除；認(rèn)識(shí)了三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓，以及長(zhǎng)方體、

正方體、圓柱體和球等幾何圖形；了解了簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)知

識(shí).數(shù)學(xué)知識(shí)開(kāi)闊了你的視野，改變了你的思維方式，使

你變得更聰明了.

2.人類(lèi)離不開(kāi)數(shù)學(xué)

自然界中的數(shù)學(xué)不勝枚舉，如蜜蜂營(yíng)造的蜂房，就

是奇妙的數(shù)學(xué)圖形——正六邊形.

這種結(jié)構(gòu)消耗最少的材料，這里竟

還有一個(gè)節(jié)約的數(shù)學(xué)道理在里面

呢!

蜜蜂營(yíng)造的蜂房上海東方明珠電視塔

人類(lèi)從蠻荒時(shí)代的結(jié)繩計(jì)數(shù)，到如今用電子計(jì)算機(jī)

指揮宇宙航行，無(wú)時(shí)無(wú)刻不受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響.高聳

入云的建筑物、海洋石油鉆井平臺(tái)、人造地球衛(wèi)星等等，

莫不是人類(lèi)數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶.

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，成本、利潤(rùn)、投入、產(chǎn)出、

貸款、效益、股份、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等一系列經(jīng)濟(jì)

詞匯頻繁使用，買(mǎi)與賣(mài)、存款與保險(xiǎn)、股票與債券……

幾乎每天都會(huì)碰到.而這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)無(wú)一能離開(kāi)數(shù)學(xué).

股市走勢(shì)圖

在許多地方，我們常見(jiàn)到如圖1.1.1那樣圖案的地

面，它們分別是用同樣大小的正方形、正六邊形的材料

鋪成的，這樣形狀的地磚能鋪成平整、無(wú)空隙的地面.

那么除了這兩種形狀的材料外，還有哪些形狀能夠

象圖1.1.1那樣鋪滿地面呢？

我們還可以舉出如圖1.1.2,圖1.1.3,圖1.1.4所

示的各種形狀的材料，能夠鋪滿地面.

圖1.1.2圖1.1.3

圖1.1.4

請(qǐng)你說(shuō)出圖中各種形狀的名稱(chēng).你還能舉出其它的

形狀嗎？

這些形狀的材料為什么能鋪滿地面？

試一試

1.請(qǐng)舉一個(gè)你在生活中用到數(shù)學(xué)的例子.

2.用剪刀將如圖所示長(zhǎng)方形紙片沿著一條直線剪成兩

部分，要使這兩部分既能拼成平行四邊形，又能拼成三

角形和梯形，該怎么剪？

（第2題）

3.人人都能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)并不神秘，不是只有天才才能學(xué)好數(shù)學(xué)，只要

通過(guò)努力，人人都能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué).

閱讀材料一華羅庚的故事

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“聰

明在于學(xué)習(xí)，天才在于積累?！边@句話

正是他一生的真實(shí)寫(xiě)照。

華羅庚1910年出生于江蘇省金壇

縣，1924年畢業(yè)于該縣公立初級(jí)中學(xué).

以后，他又到上海中華職業(yè)中學(xué)讀書(shū)，用不到一年半的

時(shí)間讀完了兩年的課程.當(dāng)華羅庚15歲的時(shí)候，他迫于

家境困難而輟學(xué).返回家鄉(xiāng)后，他一面幫助父親在小雜貨

店里干活、記賬，一面鉆研數(shù)學(xué).

父親不愿意讓他學(xué)習(xí)，卻讓他干活.就是在這種生活

艱難、無(wú)人指導(dǎo)的境況下，在一間斗室里，他以昏暗的

油燈為伴，孜孜不倦地堅(jiān)持自學(xué).到了19歲，他的一篇

論文《蘇家駒之代數(shù)五次方程式解法不能成立的理由》

發(fā)表在上?！犊茖W(xué)》雜志上，顯示出了19歲青年的數(shù)學(xué)

才華.然而就在同一年，華羅庚患了嚴(yán)重的傷寒病和關(guān)節(jié)

炎.在與疾病斗爭(zhēng)中，他意志頑強(qiáng)，堅(jiān)忍不拔，終于戰(zhàn)勝

了病魔，但他的左腿瘠了.就在此期間，他仍然努力鉆研

數(shù)學(xué)，接連取得了許多重大科研成果.一般人從初中到大

學(xué)畢業(yè)要八年時(shí)間，而華羅庚完全靠自學(xué)，只用了六年

半的時(shí)間.華羅庚正是憑著這種刻苦鉆研的精神，終于成

為舉世公認(rèn)的大數(shù)學(xué)家.

閱讀材料一視數(shù)學(xué)為生命的陳景潤(rùn)

在伸向數(shù)學(xué)皇冠上明珠的無(wú)數(shù)雙手中，有一雙距離

它最近，那就是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)的一雙勤奮的手，

陳景潤(rùn)視數(shù)學(xué)為生命源自他對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，陳景泗

平時(shí)少言寡語(yǔ)，但他自己說(shuō)：“只要是談?wù)摂?shù)學(xué)，我就滔

滔不絕，不再沉默寡言了。”他曾把華羅庚教授的《堆壘

素?cái)?shù)論》拆成一頁(yè)一頁(yè)的，隨時(shí)帶著讀，他坐著讀，站

著讀，躺著讀，蹲著讀，直到把一頁(yè)頁(yè)的書(shū)都讀爛了。

在實(shí)施前的病重期間，在病床上，他還手捧著數(shù)學(xué)書(shū)進(jìn)

行研究……正是憑著對(duì)數(shù)學(xué)的酷愛(ài)，他克服了重重困難，

在數(shù)學(xué)上取得了多項(xiàng)重大成就。

閱讀材料一少年高斯的速算

有一次，老師要學(xué)生計(jì)算

1+2+3+…+99+100=?

年僅十歲的高斯馬上走上講臺(tái)，在黑板

上迅速寫(xiě)下:

1+2+3+…+99+100=101X50=5050

老師和同學(xué)們都用驚奇的目光看著高斯.你知道高

斯是怎樣思考的嗎？

從上面介紹的三位數(shù)學(xué)家身上我們可以看到，學(xué)好

數(shù)學(xué)要有刻苦鉆研的精神，要善于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，要

善于獨(dú)立思考，

學(xué)好數(shù)學(xué)還要善于把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題.下面讓

我們來(lái)解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題.圖1.1.5是6級(jí)臺(tái)階側(cè)面的示

意圖，如果要在臺(tái)階上鋪地毯，那么至少要買(mǎi)地毯多少

米？

1m

H----------------------2.8m-----------------------

圖1.1.5

要在臺(tái)階上鋪地毯，實(shí)際上并不需要測(cè)出臺(tái)階的長(zhǎng)

度.我們把圖1.1.5想象為由一根繩子圍成的圖形，將它

拉成為一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為2.8米和1米的長(zhǎng)方形.因此，

臺(tái)階的長(zhǎng)就是

2.8+1=3.8?）,

也就是要買(mǎi)地毯3.8米.

試一試

到銀行了解定期儲(chǔ)蓄半年期、1年期、2年期、3年

期和5年期的月利率.如果以100元為本金分別參加這五

種儲(chǔ)蓄，那么到期所得利息各為多少？（提示：利息二本金

X月利率X儲(chǔ)存月數(shù)）

推薦問(wèn)題

1.觀察一座標(biāo)志性建筑或雕塑，指出它包含哪些幾何圖

形.

2.猜謎語(yǔ)：7/8(打一成語(yǔ)).

3.觀察本節(jié)提供的股市走勢(shì)圖，回答下列問(wèn)題：

(1)上午11點(diǎn)的綜合指數(shù)是多少？

(2)上午11點(diǎn)和下午14點(diǎn)30分的綜合指數(shù)哪一個(gè)高？

(3)用語(yǔ)言描述2001年4月3日上證綜合指數(shù)的變化

情況.

4.在光線照射下，如圖所示的圖形中，哪些可以作為立

方體的影子？

(第4題)

你知道嗎？

去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分

在歌手電視大獎(jiǎng)賽上，10個(gè)評(píng)委亮分之后，為什么

要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分？

大獎(jiǎng)賽上，常常要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，

其目的是要略去評(píng)委評(píng)分中可能出現(xiàn)的異常值，使得一

個(gè)或兩個(gè)評(píng)委的個(gè)人好惡，不致影響參賽歌手的總成績(jī).

讓我們?cè)倏匆粋€(gè)極端的例子.全班30個(gè)學(xué)生，其中

有兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為7分和90分，其余學(xué)生的

成績(jī)?yōu)?個(gè)82分，22個(gè)78分，某甲同學(xué)得77分，結(jié)果

平均值是

(7+90+5X82+22X78+77)30七76.67.

于是，某甲同學(xué)得分高于平均值76.67,以為自己是

“中上”水平，其實(shí)他是倒數(shù)第二名！

然而，如果我們把最低分7分和最高分90分去掉，

這樣的情形就不會(huì)出現(xiàn)了.

§1.2讓我們來(lái)做數(shù)學(xué)

1.跟我學(xué)

要正確地解數(shù)學(xué)題，需要掌握解數(shù)學(xué)題的方法.下面

請(qǐng)跟我學(xué)著解一道數(shù)學(xué)題.

在圖1.2.1所示的4X4的方格圖案中有多少個(gè)正方

形呢?

圖1.2.1

這個(gè)問(wèn)題初看起來(lái)，一下子無(wú)法著手.于是，我們先

設(shè)計(jì)一個(gè)解題計(jì)劃.圖中的正方形可按邊長(zhǎng)分為四類(lèi)：設(shè)

圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，則圖中包含邊長(zhǎng)分

別為1、2、3、4的四類(lèi)正方形.把這四類(lèi)正方形的個(gè)數(shù)

相加就是圖中正方形的總數(shù).

圖中邊長(zhǎng)為1的正方形有16個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形

有9個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形有4個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形

有1個(gè).所以正方形的個(gè)數(shù)為：

1+4+9+16=30.

試一試

如果是4X4的方格圖案，有多少個(gè)正方形呢？如果

是5X5的呢？

2.試試看

現(xiàn)在讓我們一起來(lái)試試看，在圖1.2.2所示的方格

中，填入1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)，使每

行、每列和對(duì)角線的和都為15.

想一想，應(yīng)該先在那個(gè)方格中填數(shù)？填什么數(shù)？為

了平衡，你一定會(huì)想到把中間的一個(gè)數(shù)5填在中心位置

上.其它的數(shù)應(yīng)該怎么填？很顯然，1和9、2和8、4和6

應(yīng)分別與5在同一行，或同一列，或同一對(duì)角線上。試

思考

把1至16這16個(gè)數(shù)填入如圖1.2.3所示的方格中,

使每行、每列和對(duì)角線的和都為34。

試一試

1.某居民小區(qū)搞綠化，在一塊矩形空地上建花壇，先征

集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的圖案由原和正方形組成（個(gè)

數(shù)不限），并且是花壇的面積約占矩形面積的二分之一

左右。畫(huà)出你設(shè)計(jì)的方案，用一兩句話表述你的設(shè)計(jì)

思路。

2.第五次全國(guó)人口普查顯示，祖國(guó)大陸31個(gè)省、自治區(qū)、

直轄市和現(xiàn)役軍人的人口中，接受不同層次教育的人

數(shù)如下表所示：

小學(xué)初中高中（含中大學(xué)（大專(zhuān)以

專(zhuān)）上）

45191萬(wàn)42989萬(wàn)14109萬(wàn)4571萬(wàn)

請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)給出接受不同教育的人數(shù)的條形圖.

下面我們?cè)僮叱鰧W(xué)校，看看外面的數(shù)學(xué)問(wèn)題。紅旗

小學(xué)學(xué)生張勇和他的爸爸、媽媽準(zhǔn)備在國(guó)慶節(jié)外出旅游,

春光旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：大人全家、小孩半價(jià)；而華

夏旅行社不管大人小孩，一律八折。這兩家旅行社的基

本價(jià)一樣。你認(rèn)為該去哪家旅行社較為合算？

以每人基本價(jià)100元計(jì)算，春光旅行社總收費(fèi)為

100*2+100*50%=250（元）

而華夏旅行社為

100*3*80%=240（元）

看來(lái)去華夏旅行社為好。

現(xiàn)在你對(duì)數(shù)學(xué)的印象如何？你一定喜歡上它了，并希

望天天陪伴它！那么繼續(xù)學(xué)習(xí)第二章吧.從第二章開(kāi)始，

你將在小學(xué)的基礎(chǔ)上學(xué)到更多新的數(shù)學(xué)知識(shí).這些新的

數(shù)學(xué)知識(shí)一定會(huì)給你插上智慧的翅膀，使你在數(shù)學(xué)世界

里能更加自由地翱翔.

試一試

1.如圖，表示用刀切去正方體的一個(gè)角得到等邊三角形

下列圖形中，哪一個(gè)也能通過(guò)切正方體得出來(lái)?

2.下面是上海市某公司的一則有獎(jiǎng)銷(xiāo)售廣告.請(qǐng)計(jì)算獎(jiǎng)

品總金額占銷(xiāo)售總額的比例，并與該公司若實(shí)行九八折

的銷(xiāo)售方法相比較.

一、有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)起迄日：2000年4月1日起，獎(jiǎng)券

10000張發(fā)完為止。

二、凡累計(jì)批發(fā)額滿1000元或累計(jì)零售額滿400元，

發(fā)獎(jiǎng)券壹張。

三、開(kāi)獎(jiǎng)日期：詳見(jiàn)五月中旬的《新民晚報(bào)》。

四、本活動(dòng)由黃浦區(qū)公證處公證，并請(qǐng)顧客代表參加當(dāng)

天的開(kāi)獎(jiǎng)儀式。

五、獎(jiǎng)品設(shè)立：

特等獎(jiǎng)2名2000元（獎(jiǎng)品），

一等獎(jiǎng)10名800元（獎(jiǎng)品），

二等獎(jiǎng)20名200元（獎(jiǎng)品），

三等獎(jiǎng)50名100元（獎(jiǎng)品），

四等獎(jiǎng)200名50元（獎(jiǎng)品），

五等獎(jiǎng)1000名20元（獎(jiǎng)品），

獎(jiǎng)品總金額51000元，中獎(jiǎng)率12.82%。

推薦問(wèn)題

1.猜謎：2、4、6、8、10（打一成語(yǔ)）；

2.運(yùn)用加、減、乘、除四種運(yùn)算，如何由三個(gè)5和一個(gè)

1得到24（每個(gè)數(shù)只能用一次）.

3.觀察已有數(shù)的規(guī)律，在（）內(nèi)填入恰當(dāng)?shù)臄?shù).

1

11

121

1331

14641

1()())()1

6.請(qǐng)以給定的圖形“OO、△△、二”（兩個(gè)圓、兩個(gè)三

角形、兩條平行線段）為構(gòu)件，構(gòu)思盡可能多而獨(dú)特且有

意義的圖形，并寫(xiě)上一兩句貼切、詼諧的解說(shuō)詞.如下圖，

就是其中的兩個(gè)答案.你還能構(gòu)造出其它的圖形嗎？比一

比，看誰(shuí)想得多.

兩盞電燈等式

第二章有理數(shù)

在上面的天氣預(yù)報(bào)電視屏幕上，我們看到，這一天

上海的最低溫度是-5℃,讀作負(fù)5℃,表示零下5℃。這

里，出現(xiàn)了一種新數(shù)——負(fù)數(shù).

我們將會(huì)看到，除了表示溫度以外，還有許多量需

要用負(fù)數(shù)來(lái)表示.有了負(fù)數(shù)，數(shù)的家族引進(jìn)了新的成員，

將變得更加絢麗多彩，更加便于應(yīng)用.

本章將引進(jìn)負(fù)數(shù)，并研究有理數(shù)的大小比較和運(yùn)算.

§2.1正數(shù)和負(fù)數(shù)

回憶

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些數(shù)？它們是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)

的？

我們知道，為了表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序，產(chǎn)

生了數(shù)1,2,3,...；為了表示“沒(méi)有”，引入了數(shù)0;

有時(shí)分配、測(cè)量的結(jié)果不是整數(shù)，需要用分?jǐn)?shù)（小數(shù)）表

示.總之，數(shù)是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而產(chǎn)生發(fā)展

起來(lái)的.

1.相反意義的量

在日常生活中，常會(huì)遇到這樣的一些量：

例1汽車(chē)向東行駛3公里和向西行駛2公里；

例2溫度是零上10℃和零下5℃;

例3收入500元和支出237元；

例4水位升高5.5米和下降3.6米等等.

例5買(mǎi)進(jìn)100輛自行車(chē)和賣(mài)出20輛自行車(chē)。

這里出現(xiàn)的每一對(duì)量，雖然有著不同的具體內(nèi)容，

但有著一個(gè)共同特點(diǎn)，它們都是具有相反意義的量，向

東和向西、零上和零下；收入和支出；升高和下降都具有

相反的意義.

這些例子中出現(xiàn)的每一對(duì)量，有什么共同特點(diǎn)？

你能再舉出幾個(gè)日常生活中的具有相反意義的量

嗎？

2.正數(shù)與負(fù)數(shù)

只用原來(lái)的那些數(shù)很難區(qū)分量的相反意義.例如，

零上5℃用5表示，那么零下5℃就不能仍用同一個(gè)數(shù)5

來(lái)表示.

在天氣預(yù)報(bào)的電視屏幕上我們發(fā)現(xiàn)，零下5℃可以用

-5℃來(lái)表示.一般地，對(duì)于具有相反意義的量，我們可

把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)表示，

把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)（零除

外）前面放上一個(gè)“-”（讀作負(fù)）號(hào)來(lái)表示.

就拿溫度為例，通常規(guī)定零上為正，于是零下為負(fù)，

零上10℃就用10℃表示，零下5℃用-5℃來(lái)表示.

在例1中，如果規(guī)定向東為正，那么向西為負(fù).汽車(chē)

向東行駛3公里記作3公里，向西2公里應(yīng)記作-2公里.

在例3中，如果規(guī)定收入為正，收入500元記作500

元，支出237元應(yīng)記作什么？

在例4和例5中，我們?nèi)绾伪硎具@些具有相反意義

的量呢？

為了表示具有相反意義的量，我們引進(jìn)了象

-5,-2,-237,-3.6這樣的數(shù)，這是一種新數(shù)，叫做負(fù)數(shù)

（negativenumber）.過(guò)去學(xué)過(guò)的那些數(shù)（零除外），如

10,3,500,5.5等，叫做正數(shù)（positivenumber）,正數(shù)前

面有時(shí)也可放上一個(gè)"+"號(hào)，如5可以寫(xiě)成+5,+5和5是

一樣的.

注意

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).

練習(xí)

1.將你所舉出的具有相反意義的量用正數(shù)或負(fù)數(shù)來(lái)表示.

意義。海平面的高度用什么數(shù)表示？

3.下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)?哪些是負(fù)數(shù)？

22

+6;-21；54；0：V；-3.14；0.001；-999

4.“一個(gè)數(shù)，如果不是正數(shù)，必定就是負(fù)數(shù).”這句話對(duì)

不對(duì)？為什么？

3.有理數(shù)

引進(jìn)了負(fù)數(shù)以后，我們學(xué)過(guò)的數(shù)就可以分為以下幾

類(lèi)：

正整數(shù)，如1,2,3,...；

零：0;

負(fù)整數(shù)，如T,一2,-3,...；

2224J_

正分?jǐn)?shù)，如亍，4.5（即2）；

1_22__3__3

負(fù)分?jǐn)?shù)，如一2,7,-0.3（即10）,5....

正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)整數(shù)(integers),正分?jǐn)?shù)和負(fù)

分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)分?jǐn)?shù)(fractions).

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)(rationaInumbers).

我們可以作出如下的分類(lèi)表:

f正整數(shù)正整數(shù)

正有理數(shù)

［整數(shù)j零r正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

1I有理零

J正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)1負(fù)有理數(shù)

‘1負(fù)分?jǐn)?shù)

把一些數(shù)放在一起，就組成一個(gè)數(shù)的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)

集(setofnumbers).所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有

理數(shù)集.類(lèi)似地，所有的整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集，所

有的正數(shù)組成的數(shù)集叫做正數(shù)集，所有的負(fù)數(shù)組成的數(shù)

集叫做負(fù)數(shù)集，如此等等.

例6把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的圈子里：-18,

22_3

V,3.1416,0,2001,一二，-0.142857,95%

解

整數(shù)集

練習(xí)

1.請(qǐng)說(shuō)出兩個(gè)正整數(shù)，兩個(gè)負(fù)整數(shù)，兩個(gè)正分?jǐn)?shù)，兩個(gè)

負(fù)分?jǐn)?shù).它們都是有理數(shù)嗎？

2.有理數(shù)集中有沒(méi)有這樣的數(shù)，它既不是正數(shù)，也不是

負(fù)數(shù)？如有，這樣的數(shù)有幾個(gè)？

3.下面兩個(gè)圓圈分別表示正數(shù)集合和整數(shù)集合，請(qǐng)?jiān)谶@

兩個(gè)圓圈內(nèi)填入六個(gè)數(shù)，其中有三個(gè)數(shù)既在正數(shù)集合內(nèi)，

又在整數(shù)集合內(nèi).這三個(gè)數(shù)應(yīng)填在哪里？你能說(shuō)出這兩

個(gè)圓圈的重疊部分表示什么數(shù)的集合嗎？

正數(shù)集整數(shù)集

習(xí)題2.1

1.下列各數(shù)，哪些是整數(shù)，哪些是分?jǐn)?shù)？哪些是正數(shù)，哪

些是負(fù)數(shù)？

5

1,-0.10,8,-789,325,0,-20,10.10,1000.1

2.把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的圈子里：

_J_6

負(fù)數(shù)集有理數(shù)集

3.下面的大括號(hào)表示一些數(shù)的集合，把第1、2兩題中的

各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：

正整數(shù)集：{}

負(fù)整數(shù)集：（}

正分?jǐn)?shù)集：{}

負(fù)分?jǐn)?shù)集：{）

4觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律?

請(qǐng)接著寫(xiě)出后面的三個(gè)數(shù)，你能說(shuō)出第100個(gè)數(shù)、第2000

個(gè)數(shù)、第2001個(gè)數(shù)是什么嗎？

(1)1,-1,1,-1,1,-1,1,_1,,,,............；

(2)1,—2,3,—4,5,—6,7,—8,,,,............;

111111

(3).12.34~56-7

§2.2數(shù)軸

1.

我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，就能用直線上依次

排列的點(diǎn)來(lái)表示自然數(shù)，它幫助我們認(rèn)識(shí)了自然

數(shù)的大小關(guān)系.

如圖2.2.1,溫度計(jì)上有刻度，可以方便地

讀出溫度的度數(shù)，并且可以區(qū)分出是零上還是零

下。

與溫度計(jì)相仿，我們可以在一條直線上規(guī)定

一個(gè)正方向，就可以用這條直線上的點(diǎn)表示正數(shù)、零和

負(fù)數(shù).

（圖2-2-1）體做法如下：

畫(huà)一條直線（通常畫(huà)成水平位置），在這條直線上任

取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，用這點(diǎn)表示。.規(guī)定直線圖2-2-1上

從原點(diǎn)向右為正方向，畫(huà)上箭頭，那么相反方向?yàn)樨?fù)方向.

再選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右每隔一個(gè)

單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上1,2,3,…；從原點(diǎn)向左，

每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上-1,-2,-3,…(圖

2-2-2).

______|_______|_____II________II____Illi_______111A

-6-5-4-3-2-10123456

圖2-2-2

概括

象這樣規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做

數(shù)軸.

在數(shù)軸上畫(huà)出表示有理數(shù)的點(diǎn)，可以先由這個(gè)數(shù)的

符號(hào)確定它在數(shù)軸上原點(diǎn)的哪一個(gè)方向，再在相應(yīng)的方

向上確定它與原點(diǎn)相距幾個(gè)單位長(zhǎng)度.

例1.畫(huà)出數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫(huà)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：

1-

4,-2,-4.5,3,0.

解如圖2-2-3所示

-4.5-20歧4

IIIIIIIIIIIII」

-6-5-4-3-2-10123456

圖2-2-3

練習(xí)

1.下列各圖表示數(shù)軸是否正確？為什么？

(1)

________I_______II________I_____I________II______I______IIII_____I.

-2-1012345678910

(2)

IlliIIIII4

-4-3-2-101234.

⑶

-1-2-3-4-5-60123456

(4)

IiIIIIIIIIIII

-300-200-1000100200300

2.指出數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C、D分別表示什么數(shù).

ABCD

______IIIIIIIIIIIII

-6-5-4-3-2-10123456

3.畫(huà)出數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫(huà)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：

106」

-1.8,0,-3.5,2

再按數(shù)軸上從左到右的順序，將這些數(shù)重新排成一行.

2.在數(shù)軸上比較數(shù)的大小

在小學(xué)里，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了比較兩個(gè)正數(shù)的大小，

那么，引進(jìn)負(fù)數(shù)以后，怎樣比較任意兩個(gè)有利數(shù)的大小

呢？例如，1與-2那個(gè)大？-1與。哪個(gè)大？-3-4哪個(gè)大？

探索

(1)任意寫(xiě)出兩個(gè)正數(shù)，在數(shù)軸上畫(huà)出表示它們

的點(diǎn)，較大的數(shù)與較小的數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置

有什么關(guān)系？

(2)1°C和-2℃那個(gè)溫度高？-1℃與0℃哪個(gè)溫

度高？這個(gè)關(guān)系在溫度計(jì)上表現(xiàn)為怎樣的

情況？

把溫度計(jì)橫過(guò)來(lái)放，就像一條數(shù)軸，能否從中發(fā)現(xiàn)

在數(shù)軸上怎樣比較兩個(gè)有理數(shù)的大?。?/p>

概括

我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比

左邊的數(shù)大.

根據(jù)有理數(shù)在數(shù)軸上表示的相對(duì)位置，在應(yīng)用中我

們也常說(shuō)：正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)

數(shù).

例2將有理數(shù)3,0,12,-4按從小到大順序排列，用“V”

6

號(hào)連接起來(lái).

解正數(shù)6<3,由正、負(fù)數(shù)大小比較法則，得

-4<0<1-<3.

6

例3比較下列各數(shù)的大小：

-1.3,0.3,—3,-5.

解將這些數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來(lái)(圖2-2-4):

-5-3-1.30.3

IIIIIIIIIIIII

-6-5-4-3-2-10123456

圖2-2-4

所以-5<-3<-1.3<0,3

練習(xí)

1.判斷下列各式是否正確：

(1)2.9>-3.1;(2)0<-14；

(3)-10>-9;(4)-5.4<-4,5

2.用“V”號(hào)或號(hào)填空：

(1)3.62.5；⑵一30；

⑶一16-1.6；(4)+1-10;

(5)-2.1+2.1；(6)-9-7

習(xí)題2.2

1.指出數(shù)軸上A、B、C、D各點(diǎn)所表示的數(shù)：

DABC

IIIIIIIIIIIIII

-7-6-5-4-3-2-10123456

2.分別畫(huà)出數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫(huà)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：

4-

(1)-2.1,-3,0.5,2；

(2)-50,250,0,-400.

3.指出在數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的哪

邊，與原點(diǎn)距離多少個(gè)單位長(zhǎng)度：

-3,4.2,-1,2.

4.如下圖，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上原點(diǎn)開(kāi)始，先向右移動(dòng)3個(gè)

單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度.可以看出，終點(diǎn)

表示數(shù)-2.

5

3.

111

-6-5-4-3-2-10123456

已知A、B是數(shù)軸上的點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)A表示數(shù)-3,》號(hào)A向右移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，

那么終點(diǎn)表示數(shù)；

⑵如果點(diǎn)A表示數(shù)3,羽1A向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，再

向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，那么終點(diǎn)表示數(shù)；

⑶如果將點(diǎn)B向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)5個(gè)

單位長(zhǎng)度，終點(diǎn)表示的數(shù)是0,那么點(diǎn)B所表示的數(shù)是.

5.比較下列每對(duì)數(shù)的大小：

(1)-8,-6；(2)-5,0.1；

(3-1,0；(4)-4.2；-5.1;

23]_

(5)3,2；(6)+5,0;

6.畫(huà)出數(shù)軸，把下列各組數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來(lái)，并

按從小到大順序排列，用連接起來(lái)：

(1)1,-2,3,-4；

(2)3,0,-3,0.2.

7.下表是某年一月份我國(guó)幾個(gè)城市的平均氣溫，將各城

市按平均氣溫從高到低的順序排列.

北京上海沈陽(yáng)廣州濟(jì)南

-5.6℃2.3℃-16.8℃16.6℃-3.2℃

8.下列各數(shù)是否存在？有的話把他們找出來(lái):

(1)最小的正整數(shù);

(2)最小的負(fù)整數(shù);

(3)最大的負(fù)整數(shù);

(4)最小的整數(shù).

§2.3相反數(shù)

做一做

在數(shù)軸上，畫(huà)出表示一下兩對(duì)數(shù)的點(diǎn)：

-6和6,1.5和T.5

這兩對(duì)點(diǎn)，各有哪些相同？哪些不同？

如圖2.3.1,在數(shù)軸上在數(shù)軸上(圖2-3-1),-6和6

位于原點(diǎn)兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等，也就是說(shuō)，它們

對(duì)于原點(diǎn)的位置只有方向不同。1.5和-1.5也是這樣.

-6-1.51.56

_____?____iiii______??_____?_____??1??

-6-5-4-3-2-10123456

圖2-3-1

容易看出，每對(duì)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)，都只有符號(hào)不同。

概括

象這樣只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)互為相反數(shù)

JJJ

(oppositenumber).如2和-2互為相反數(shù).即2是

jljljl

-2的相反數(shù).-2是2的相反數(shù).

在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)

的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等.

我們還規(guī)定：0的相反數(shù)是0.

是否還有相反數(shù)等于本身的數(shù)？

例1分別寫(xiě)出下列各數(shù)的相反數(shù)：

5,-7,-2,+11.2.

解：5的相反數(shù)是-5.

-7的相反數(shù)是7.

3-3-

-2的相反數(shù)是2.

+11.2的相反數(shù)是71.2.

我們通常把在一個(gè)數(shù)前面添上”號(hào)，表示這個(gè)數(shù)

的相反數(shù).例如-(-4)=4,-(+5.5)=-5.5,-0=0.

同樣，在一個(gè)數(shù)前面添上“+”號(hào)，表示這個(gè)數(shù)本身.

例如+(-4)=-4,+(+12)=12,+0-0.

例2化簡(jiǎn)下列各數(shù)：

(1)-(+10);(2)+(-0.15);

(3)+(+3);(4)-(-20).

解⑴一(+10)=70.

(2)+(-0.15)=-0.15.

(3)+(+3)=+3=3.

⑷一(-20)=20.

練習(xí)

1.填空：

(1)2.5的相反數(shù)是；

⑵是700的相反數(shù)；

-5-

(3)5是的相反數(shù)；

(4)的相反數(shù)是7.1;

(5)8.2和互為相反數(shù).

2.化簡(jiǎn)下列各數(shù):

⑵+(+g;

(1)-(+0.78)；

(2)(3)-(-3.14)；(4)+(-10.1).

3.判斷下列語(yǔ)句是否正確，為什么？

(1)符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；

⑵互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)不一定一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)

數(shù)；

(3)相反數(shù)和我們以前學(xué)過(guò)的倒數(shù)是一樣的.

習(xí)題2.3

1.分別寫(xiě)出下列各數(shù)的相反數(shù)：

3-

-2.5,1,0,2,-(+10).

2.畫(huà)出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)及它們的相反數(shù)：

41

4,-2,0,-3.75.

3.化簡(jiǎn)下列各數(shù)：

(1)-(-16)；(2)-(+25)；

(3)+(-12)；(4)+(+2.1)；

⑸-(+33)；(6)-(--).

10

4.回答下列問(wèn)題：

(1)什么數(shù)的相反數(shù)大于本身？

(2)什么數(shù)的相反數(shù)等于本身？

(3)什么數(shù)的相反數(shù)小于本身？

§2.4絕對(duì)值

觀察

在一些量的計(jì)算中，有時(shí)并不注重其方向.例如為了

計(jì)算汽車(chē)行駛所耗汽油，起主要作用的是汽車(chē)行駛的路

程而不是行駛的方向.

在討論數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離時(shí)，只需要觀察它

與原點(diǎn)之間相隔多少個(gè)單位長(zhǎng)度，與位于原點(diǎn)何方無(wú)關(guān).

我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a

的絕對(duì)值(absoIutevaIue).記作|a|

例如，在數(shù)軸上表示數(shù)-6與表示數(shù)6的點(diǎn)與原點(diǎn)的

距離都是6,所以-6和6的絕對(duì)值都是6,記作|-61=161=6.

同樣可知|-4|=4,|+1.7|=1.7.

試一試：

(2)|0|二;

(3)|-3|=,|-0.2|=,|-8.2|二

概括

由絕對(duì)值的意義，我們可以知道：

1.一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；

2.0的絕對(duì)值是0；

3.一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù).

試一試

你能將上面的結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示嗎？

1.當(dāng)a>0時(shí)，|a|二

2.當(dāng)a=0時(shí)，|a|=

3.當(dāng)a<0時(shí)，|a|二

由此可以看出，不論有理數(shù)a取何值，它的絕對(duì)值總

是正數(shù)或0(通常也稱(chēng)非負(fù)數(shù)).即對(duì)任意有理數(shù)a,總

有

|a|20.

例1求下列各數(shù)的絕對(duì)值：

1

,而，-4.75,10.5

2

解

I-15I=15

22

10=10

1-4.751=4.75

|10.5|=10.5.

例2化簡(jiǎn)：

(1)-1層2)人()T3

2

解

練習(xí)

1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值:

一5,4.5,-0.5,+1,0.

2.填空:

(1)-3的符號(hào)是,絕對(duì)值是;

⑵符號(hào)是“+”號(hào)，絕對(duì)是7的數(shù)是；

(3)10.5的符號(hào)是,絕對(duì)值是;

(4)絕對(duì)值是5.1,符號(hào)是”號(hào)的數(shù)是.

3.回答下列問(wèn)題：

(1)絕對(duì)值是12的數(shù)有幾個(gè)？是什么？

(2)絕對(duì)值是0的數(shù)有幾個(gè)？是什么？

(3)有沒(méi)有絕對(duì)值是-3的數(shù)？為什么？

習(xí)題2.4

1.在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并分別寫(xiě)出它們的絕對(duì)值:

-1-

2,5,0,-2,4.2

2.化簡(jiǎn)：

⑵+H4；

(4)卜25)|.

3.計(jì)算：

⑴|+q+卜W.

⑵|-3.3|-|-2.1|.

(3)卜4.5卜|+0.2|;

4.下列判斷是否正確？為什么？

(1)有理數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù)；

(2)如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等；

(3)如果一個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；

(4)如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，那么這個(gè)數(shù)是正數(shù).

§2.5有理數(shù)的大小比較

由2.2節(jié)我們知道，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，

左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于

零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

那么，怎樣表較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小呢？

例如:-2與-5哪個(gè)大?

探索

在數(shù)軸上，畫(huà)出表示-2和-5的點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)中哪個(gè)

較大？

從中你能概括出直接比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的法則來(lái)

嗎？說(shuō)說(shuō)你的道理。

概括

我們發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.

這是因?yàn)?，在?shù)軸上表示兩個(gè)負(fù)數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)中，與

原點(diǎn)距離較大的那個(gè)點(diǎn)在左邊。

_3_2

例如，比較兩個(gè)負(fù)數(shù)4和3的大?。?/p>

①先分別求出它們的絕對(duì)值:

_33_9_

4-4=12

②比較絕對(duì)值的大?。?/p>

因?yàn)?/p>

98

---〉----

1212

所以

32

—>—

43

③得出結(jié)論：

_3_2

-4>-3

例1比較下列各對(duì)數(shù)的大小：

(1)—1與-0.01;

(2)十N與0

(3)-0.3與一§

__±

(4)(/與10

解(1)這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,

因?yàn)?-0.01>0.01,

且1>0.01,

所以-1<-0.01.

(2)化簡(jiǎn)-|-2|=-2,

因?yàn)樨?fù)數(shù)小于0,

所以-1-2|<0.

(3)這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，

因?yàn)閨-0.3|=0.3,3

且0.3<,

-0.3>--

所以3

(4)分別化簡(jiǎn)兩數(shù)，得

一記一一6

因?yàn)檎龜?shù)大于負(fù)數(shù)，所以

(1、1

I9)10

練習(xí)

1.用“<”號(hào)或“>”填空：

_5_3_5_3

(1)因?yàn)?二，所以一§-5；

(2)因?yàn)閨-10|1-1001；所以-10-100.

2.判斷下列各式是否正確：

⑴|-0.2^<|-0.3^

3.比較下列各對(duì)數(shù)的大小;

(D-之與，

45

_5

(2)一京與一0.618

4.回答下列問(wèn)題：

(1)大于-4的負(fù)整數(shù)有幾個(gè)？

(2)小于4的正整數(shù)有幾個(gè)？

(3)大于-4且小于4的整數(shù)有幾個(gè)？

習(xí)題2.5

1.比較下列每對(duì)數(shù)的大?。?/p>

_5_7

(1)日與1；

(2)-9.1與-9.099;

⑶-8與|-8|;

(4)-|-3.21與一(+3.2).

_22

2.將有理數(shù)0,-3.14,F,2.7,-4,0.14按從小

到大的順序排列，用“<”號(hào)連接起來(lái).

3.寫(xiě)出絕對(duì)值小于5的所有整數(shù)，并在數(shù)軸上表示出來(lái).

4.回答下列問(wèn)題：

(1)有沒(méi)有最小的正數(shù)？有沒(méi)有最大的負(fù)數(shù)？為什么？

(2)有沒(méi)有絕對(duì)值最小的有理數(shù)？把它寫(xiě)出來(lái).

§2.6有理數(shù)的加法

1.有理數(shù)加法法則

問(wèn)題

小明在一條東西向的跑道，先走了20米，又走了30

米，能否確定他現(xiàn)在位于原來(lái)位置的哪個(gè)方向，相距多

少米？

我們知道，求兩次運(yùn)動(dòng)的總結(jié)果，可以用加法來(lái)解

答.可是上述問(wèn)題不能得到確定答案，因?yàn)樾∶髯詈蟮奈?/p>

置與行走方向有關(guān).

試驗(yàn)

我們必須把問(wèn)題說(shuō)得明確些，并規(guī)定向東為正，向

西為負(fù).

⑴若兩次都是向東走，很明顯，一共向東走了50米，

寫(xiě)成算式就是

(+20)+(+30)=+50,

即這位同學(xué)位于原來(lái)位置的東方50米處.

這一運(yùn)算在數(shù)軸上表示如圖2-6-1.

2030

1111111111

-1001020304050

圖2-6-1

⑵若兩次都是向西走，則他現(xiàn)在位于原來(lái)位置的西方

50米處，寫(xiě)成算式就是

(-20)+(-30)=-50.

(3)若第一次向東走20米，第二次向西走30米，我們

先在數(shù)軸上表示如圖2-6-2.

r30______________

20.

-20-10010203040

圖2-6-2

寫(xiě)成算式是(+20)+(-30)二70,

即這位同學(xué)位于原來(lái)位置的西方10米處.

(4)若第一次向西走20米，第二次向東走30米，寫(xiě)成

算式是

(-20)+(+30)=().

即這位同學(xué)位于原來(lái)位置的()方()米處.

后兩種情形中兩個(gè)加數(shù)符號(hào)不同(通?？煞Q(chēng)異號(hào))，

所得和的符號(hào)似乎不能確定，讓我們?cè)僭噹状?下式中的

加數(shù)不仿仍可看作運(yùn)動(dòng)的方向和路程):

(+4)+(-3)=();

(+3)+(-10)=()；

(-5)+(+7)=()；

(-6)+2=().

再看兩種特殊情形：

(5)第一次向西走了30米，第二次向東走了30米.寫(xiě)成

算式是

(-30)+(+30)=().

(6)第一次向西走了30米，第二次沒(méi)走.寫(xiě)成算式是

(-30)+0=().

探索

從上述(1)-(6)中所寫(xiě)出的算式，你能總結(jié)出一

些規(guī)律？

概括

綜合以上情形，我們得到有理數(shù)的加法法則：

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

2.絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大加數(shù)的符

號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；

3.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；

4.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

注意

一個(gè)有理數(shù)由符號(hào)和絕對(duì)值兩部分組成，所以進(jìn)行

加法運(yùn)算時(shí)，必須分別確定和的符號(hào)和絕對(duì)值.這與小學(xué)

階段學(xué)習(xí)加法運(yùn)算不同.

例1計(jì)算:

(1)(+2)+(—11)；

(2)(+20)+(+12)；

(4)(-3.4)+4.3

解

(1)(+2)+(-11)=-(11-2)=-9；

(2)(+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32；

(4)(-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9

練習(xí)

1.填表:

和的組成

加數(shù)加數(shù)和

符號(hào)絕對(duì)值

-123-12-3-9

188

-916

一9-5

2.計(jì)算:

(1)10+(-4);

(2)(+9)+7；

(3)(-15)+(-32);

(4)(-9)+0;

(5)100+(-199);

(6)(-0.5)+4.4；

(7)(4幾(1.25)；

(8)卜分用

3.填空：

(1)()+(-3)=-8;

(2)()+(-3)=8;

⑶(-3)+()=-1;

(4)(-3)+()=0.

4.兩個(gè)有理數(shù)相加，和是否一定大于每個(gè)加數(shù)？

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

在小學(xué)里我們知道，數(shù)的加法滿足交換率，例如有

5+3.5=3.5+5

還滿足結(jié)合律，例如有

(5+3.5)+2.5=5+(3.5+2.5)

引進(jìn)了負(fù)數(shù)以后，這些運(yùn)算率是否還成立？也就是說(shuō)，

上面兩個(gè)等式中，將5、3.5和2.5換成任意的有理數(shù)，

是否依然成立？

探索

(1)任意選擇兩個(gè)有理數(shù)(至少有一個(gè)是負(fù)數(shù))，

分別填入下列□和o內(nèi)，并比較兩個(gè)運(yùn)算結(jié)

果：

□+O和O+□

(2)任意選擇三個(gè)有理數(shù)(至少有一個(gè)是負(fù)數(shù))，

分別填入下列□、。和?內(nèi)，并比較兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果：

(口+O)+?和口+(O+?).

概括

有理數(shù)的加法仍滿足加法交換率和結(jié)合律。

加法交換率：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不

變。

a+b-b+a

加法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者

先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變.

(a+b)+c-a+(b+c)

這樣，多個(gè)有理數(shù)相加，可以任意交換加數(shù)的位置，

也可先把其中的幾個(gè)數(shù)相加，使計(jì)算簡(jiǎn)化.

例2計(jì)算：

(1)(+26)+(78)+5+(76)

解(1)(+26)+(78)+5+(76)

-(26+5)+[(-18)+(-16)]

=31+(-34)=-(34-31)=-3.

_(-4)+(一7)+7；

(一4)+(-7)+7；

(—4)+；

例310筐蘋(píng)果，以每筐30千克為準(zhǔn)，超過(guò)的千克數(shù)

記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，記錄如下：

2,一4,2.5,3,一0.5,1.5,3,一1,0,-2.5.

求這10筐蘋(píng)果的總重量.

解2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)

二(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]

=8+(-4)=4.

30X10+4=304.

答：10筐蘋(píng)果總重量是304千克.

練習(xí)

1.計(jì)算：

(1)(-7)+(+10)+(-11)+(-2)；

(2)2+(-3)+(+4)+(-5)+6;

(3)(-9.6)+1.5+(-0.4)+(-0.3)+8.5

2.某天氣溫從早晨-3°C到中午升高了5℃,到晚上降低

了3℃,到午夜又降低了4℃.求午夜時(shí)的溫度.

習(xí)題2.6

1.計(jì)算：

(1)(-12)+(+3)；(2)(+15)+(-4)；

(3)(-16)+(-8);(4)(+23)+(+24)；

(5)(-102)+132；(6)(-32)+(-11);

(7)(-35)+0；(8)78+(-85).

2.計(jì)算：

(1)(-0.9)+(+1.5);

(2)(+6.5)+3.7；

(3)1.5+(-8.5)；

(4)(-4.1)+(-1.9);

(6)(-4.2)+4.25

3.計(jì)算：

(1)(+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);

(2)(-83)+(+26)+(-41)+(+15);

(3)(-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2)；

(4)%卜哈+(+4訊考.

4.列式并計(jì)算：

(1)求+1.2的相反數(shù)與-3.1的絕對(duì)值的和；

4-1

(2)3與的和的相反數(shù)是多少？

3

5.利用有理數(shù)加法解下列各題：

(1)存折中原有