生活中的優(yōu)化問題舉例(課件)精要

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§3.4生活中的優(yōu)化問題舉例1.通過實例了解利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題的步驟．2.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.學(xué)習(xí)目標1.求解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題．(重點)2.把實際問題轉(zhuǎn)化成抽象的數(shù)學(xué)問題．(難點)3.在解決實際問題時注意函數(shù)的定義域．(易混點)特別提醒低碳生活(low－carbonlife)可以理解為減少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低開支的生活．“低碳生活〞節(jié)能環(huán)保，勢在必行．現(xiàn)實生活中，當(dāng)汽車行駛路程一定時，我們希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽車行駛最長的路程．如何使汽油的使用效率最高？啟動思維1．最優(yōu)化問題走進教材2．求實際問題的最值，主要步驟如下：(1)建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出 ；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和在 的取值大小，確定其最大(小)者為最大(小)值．極值點極值點預(yù)習(xí)檢測答案：

D

答案：

B

3．設(shè)一個容積V固定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，高為h，底面半徑為r，單位面積鋁合金的價格是鐵的3倍，那么h∶r＝________時，造價最低．答案：

4∶1當(dāng)x∈(80,120)時，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)．故當(dāng)x＝80時，h(x)取得極小值h(80)＝11.25.因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值．故當(dāng)汽車以80千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．例1.用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器．先在四角分別截掉一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻折90°，再焊接而成．問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？典例剖析題目類型一、面積、容積的最值問題思路分析[題后感悟]

(1)解決面積，容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．(2)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟1．如圖，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影局部)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最??？變式練習(xí)∴函數(shù)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20,140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140)，當(dāng)x＝140時，y＝175，即當(dāng)x＝140，y＝175時，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最?。?.A、B兩地相距200千米，一只船從A地逆水而行到B地，水速為8千米/小時，船在靜水中的速度為v千米/小時(8<v≤v0)．假設(shè)船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比．當(dāng)v＝12千米/小時時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船在靜水中的速度為多少？題目類型二、費用最省、用料最少的問題思路分析[題后感悟]解決費用最省問題，也是導(dǎo)數(shù)的一個重要應(yīng)用．解決這類問題，首先要選取適宜的量為自變量，并確定其取值范圍，然后將費用表示為自變量的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最值，使問題得到解決．2.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元，假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？變式練習(xí)題目類型三、利潤最大問題思路分析[題后感悟]

正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題的主要思路，另外需特別注意：①合理選擇變量，正確給出函數(shù)表達式；②與實際問題相聯(lián)系；③必要時注意分類討論思想的應(yīng)用．3.某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)假設(shè)該公司將當(dāng)年的廣告費控制在300萬元之內(nèi)，那么應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？變式練習(xí)解析：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)，那么有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當(dāng)t＝2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，那么用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)，1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．(4)寫出答案．疑難突破[特別提醒]根據(jù)課程標準的規(guī)定，有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題一般指的是單峰函數(shù)，也就是說在實際問題中，如果遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0，且該函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，就可以知道這就是最大(小)值．2．解應(yīng)用題的思路和方法解應(yīng)用題首先要在閱讀材料、理解題意的根底上把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，就是從實際問題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)模型進行分析、研究，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實際問題中去，其思路如下：(1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模；將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇適宜的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對結(jié)果進行驗證評估，定性定量分析，作出正確的判斷，確定其答案．[特別提醒]在將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題時，要注意所設(shè)變量的取值范圍．◎甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，汽