人教版理科2015屆高考數(shù)學一輪細講精練第十篇計數(shù)原理

第十 計數(shù)原理第1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原[考綱會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題

N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．(5)(習題改編)三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢510(6)2,32,31．是完成這個步驟的法，簡單的說步與步之間的方法“相互獨立，分步完二是分步時，要合理設(shè)計順序、步驟，并注意元素是否可以重復選取，如(6)中2,3可重復但至少各出現(xiàn)一次.學學 第172考點一【例1】(2013·福建卷改編)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為( 解 由于a＝0

＝－2

b＝－1,0,1,24a≠0a＝－1時，滿足(*)b＝－1,0,1,24a＝1時，b＝－1,0,13a＝2時，b＝－1,02∴由分類加法計數(shù)原理，有序數(shù)對(a，b)4＋4＋3＋2＝13(個答 分類標準是運用分類計數(shù)原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關(guān)1234本給4位朋友，每位朋友1本，則不同的方法共有()．A．4 B．10 C．18種D．204 有C1種方法．442本畫冊，2422人送郵冊，C2種方法．4 答 考點二每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有()．A．12 B．18 C．24 D．3633解析A3種不同排法．再排1A3·2·1＝12(種)不同的排列方法．33答 規(guī)律方法(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按發(fā)生的過程合理分步，即【訓練2】將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共 A．1 B．3 C．6種D．9 顏色．故有3×2×1＝6種涂色方案．答 考點三【例3】(2014·濟南質(zhì)檢)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏 14523審題路 由于區(qū)域1,2,3與區(qū)域4相鄰，由條件宜采用分步處理，又相鄰區(qū)13解 按區(qū)域1與3是否同色分類3(1)131342,4,5(3種顏色)A3種方法．33134A3＝2434(2)1313A2224色方法，第三步涂區(qū)域4只有法，第四步涂區(qū)域5有3種方法4A2×2×1×3＝724答 (1)解決涂色問題，一定要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當?shù)耐课粩?shù)為凸數(shù)(120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()． 解 2×3＝6a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”3×4＝12個，…a2＝9，＋72＝240(個答 一類．(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間的方法“相互學學 第173破破【典例】(2012·卷)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．90則：(1)4位回文數(shù) 個 個結(jié)合(**)2位回文數(shù)，3位回文數(shù)，4位回文數(shù)探索求解方法，從特殊到解 (1)4位回文數(shù)相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法；109×10＝90(種)490個．9×10n種填空．答 1．(2014·揚州調(diào)研)從8名4名男生中，選出3名學生組成課外小組，如果按比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為 8 從男生中抽取1人有4種方法．從中抽取兩人，有C2＝28種方法．828×4＝112答 位數(shù)有9×9×8＝648(個)，∴有重復數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個)．答 對應學生(建議用時：40分鐘某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母D中選擇其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復)車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有( )．A．180 B．360 C．720 D．960解 法，其余三位號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種答 2．(2012·新課標卷)將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、案共有()．A．12 B．10 C．9種D．82解 24C2＝6種選派方法．2×6＝12(種)．4答 3．6位選手依次，其中選手甲不在第一個也不在最后一個，則不同的 A．240 B．360 C．480 D．720解 答 以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9；以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8；442(2＋1＋1)＝8(個答 集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上 B．14C．15 當x＝2時，x≠y，點的個數(shù)為1×7＝7(個)．當x≠2時，由P?Q，∴x＝y(tǒng).∴x3,4,5,6,7,8,977＋7＝14(個答 解 13433×4×3＝36(種答 第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32個；第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個．32＋8＝40(個答案8．8名世界網(wǎng)球頂級選手在大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3,4名，大師賽共有 44 法計數(shù)原理共有2C2＋4＝16(場)比賽．44答 解(1)幸運在甲箱中抽，選定幸運，再在兩箱內(nèi)各抽一名幸運觀眾30×29×20＝17400(2)幸運在乙箱中抽取，有20×19×30＝11400種．17400＋11400＝28800(種)．12××10．“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458)，若把四位“漸升數(shù)”按從 小到大的順序排列，求第3012××134×解6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(個)．134×13135×4個．21＋5＋4＝30(個)．301(建議用時：25分鐘A，B，C，D4要求在每塊里種1種花且相鄰的2塊種不同的花則不同的種法總數(shù)為 A．96B．84C．60 可依次種A，B，C，D四塊，當C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36種種法；當C與A所種花不同時，有4×3×2×2＝48種種法．答 4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復)010110個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 信息個數(shù)為C3；若恰有2個位置上的數(shù)字不同的信息個數(shù)為C2. 答 今發(fā)現(xiàn)A、B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有 四個焊點共有24種情況，其中使線路通的情況有：1、4都通，2和3至少有一個通時線路才通共有3種可能．故不通的情況有24－3＝13(種)可能． 用n種不同顏色為下列兩塊牌(如圖所示)，要求在A，B，C，D四(2)若為②時共有120種不同的方法，求 (1)分四步：第1步涂A有6種不同的方法，第2步涂B有5種不同的方法，第3步涂C有4種不同的方法，第4步涂D有4種不同的方法．6×5×4×4＝480學學 第173第2 排列與組能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)、組合數(shù)能解決簡單的實際問題

nnm(m≤n)n個不m個元素的排列數(shù)．nm(m≤n)n個不同m個元素的組合數(shù)．排列數(shù)、組合數(shù)的及性 n＝n (n，m∈Nm≤n) mnCm＝Cn－m；Cm

nnCx＝Cmx＝mnn5245A5－A2A4＝725244(5)(習題改編)由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中有重復數(shù)字的四位數(shù)共3×43－A3＝168(個)．(×)4(6)(2013·卷改編)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每44[感悟·提升一個區(qū)別排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”．取出元素后學學 第174考點 排列應用1】4個男同學，3335 視排好的女同學為一整體，再與4個男同學排隊，應有A5種排法．3535A3A5＝7203545(2)A445個空檔中插入3個有A3種方法．4545A4A3＝144045425A2種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原4A2種排法．425425A4A2A2＝960425(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析1(1)(2014·濟南質(zhì)檢)93個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()． D．9!共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是( 解 (1)把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種(2)由于lga－lgb＝ ∴ lgb有多少個不同的值，只需看b

lga－lgb中任取兩個作為b55

答

考點 組合應用【例2】某課外活動小組共13人，其中男生8人，5人，并且男、各5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？58 58211C2·C3＝165(種2＝825(種)或采用排除法：C5－C5＝825(種

5858858588分兩類：第一類女隊長當選：C4474747447474744747474C4＋C1·C3＋C2·C2＋C3·C1＋C4＝790(種4747474規(guī)律方法則不同的取法共有()．A．60 B．63 C．65 D．66解 滿足題設(shè)的取法可分為三類：一是取四個奇數(shù)，在5個奇數(shù)1,3,5,7,9中5542,4,6,82C2·C2＝60(種)4 15＋60＋1＝66(種答 學學 第175考點三3(1)(2013·浙江卷)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在C的同側(cè)，則不同的排法共 種(用數(shù)字作答某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(

12

6

6 進行排列；(2)可將4名同學分成兩組(每組2人)，再分配到兩個班級．解 62233A336223C3A2C1·A3＝4806223(2)法一4人平均分成兩組有

26266

12

法 先從6個班級中選2個班級有C2種不同方法，然后安排學生有C2C2種

41264＝2A6C4答案(1)480規(guī)律方法(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行(2)【訓練3】從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三 解 根據(jù)所選偶數(shù)為0和2分類討論求解3201,3,52個數(shù)字排在個位與百位．∴排成的三位數(shù)C2A2＝6個．32321,3,52C232322C2A1A2＝1232218答 n??；(2)組合 ＝ ＝9——1 4[錯解 43443444344C1·C2C1C1＝1924344C1C1C1＝6444192＋64＝256[答案 [錯因 錯解的原因是沒有理解“3張卡片不能是同一種顏色”的含義，誤認“取出的三種顏色不同4[正解 第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法C1C2＝264(種44C3－3C3＝220－12＝208(種4 (1)準確理解題意，抓住關(guān)鍵的含義，“3張卡片不能是同一種1．(2013·大綱卷改編)有5人排成一行參觀英模事跡展覽，其中甲、乙兩人 34 先把除甲、乙外的3人全排列，有A3種，再把甲、乙兩人插入這3人形成的四個空位中的兩個，共A2種不同的方法．34 答 131,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共 個解 第一類：恰有三個相同的數(shù)字為2,3,4C1·A1 “好數(shù)”9第二類：相同的三個數(shù)字為2,3,4中的一個，這樣的四位好數(shù)2221,3331,44413由分類加法計數(shù)原理，共有“好數(shù)”9＋3＝12答 對應學生(建議用時：40分鐘844個點最多確定的圓的個數(shù)為 4484 448444484 44484解 從8個點中任選3個點有選法C3種，因為有4點共圓所以減去C3種再 1C3－C3＋1 答 若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，稱這個數(shù)為“傘“傘數(shù)”有()．A．120 B．80 C．40 D．2054解析6A2＝205544A2＝63A2＝2 40答 43解 四名學生中有兩名學生恰好分在一個班，共有C2A3種分法，而甲、乙433答

4 某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有( A．16 B．36 C．42 D．604解 若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共A3種434434C2A2A3＋C2A2＝60(種)方法．34434答 解 223答 6．(2013·大綱卷)從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3 解 依題意，所有的決賽結(jié)果有

1＝60(種答

65

×2 4解 4 436(種答 在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶 解 在1,2,3,4,5這五個數(shù)字中有3個奇數(shù)，2個偶數(shù)，要求三位數(shù)各位數(shù)字 答 又數(shù)字“9”可作“6”322C2A2＝12321,2,3,44 (1)每個盒子放一球，共有A4＝24種不同的放法4法一44種選法；C2種選法；433434×C2A3＝14443法 先分組后排列，看作分配問題44 2,1,1C4(即421)A2A233C3C2A3＝14444(建議用時：25分鐘BC在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有()．A．34 B．48C．96 D．1442解析程序A有A1＝2種結(jié)果，將程序B和C看作元素與除A外的元素排A2A4＝482×48＝9622答 2．(2014·濟南調(diào)研)A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為 33 (1)若從集合B中取元素2時，再從C中任取一個元素，則確定的不同點的個數(shù)為C1A3.3333B1C13323 2答 3．(2013·重慶卷)3名骨科、455 (用數(shù)字作答解 按選派的骨科醫(yī)生的人數(shù)分類34545451C1(C1C3＋C2C2＋C3C1)＝360(種3454545345452C2(C1C2＋C2C1)＝210(種345453453C3C1C1＝20(種3451答 x＝1，y＝xx2＋y2＝4A，B，C，D54 法 第1步，涂A區(qū)域有C1種方法；第2步，涂B區(qū)域有C1種方法；543CDCAD4種涂C區(qū)域涂A、B3C1DC1 5433C1·C1·(4＋C1·C1)＝2605433法 共可分為三類521C2A25253222C3C1C1A25322543C4A4545253225452532254學學 第176第3 二項式定[考綱會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題

的通項Tr1＝Cran－rbrr＋1 nnnn0≤k≤n時，CkCn－knnnn當

2

2

2n

2nnnnnnnn

nCran－rbr是(a＋b)nrn在(1－x)956

(4)(a＋b)na，b (6)(2013·卷改編)

n5x47a＝1[感悟·提升nnnn二項式定理(a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋…＋Cran－rbr＋…＋Cnbn(n∈N*)nnnn展開式的規(guī)律，一定牢記通項Tr1＝Cran－rbr是展開式的第r＋1項，不是 r項，如＋nnTr1＝Cran－rbr中，Cr(字母)＋nnnCrnr有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負，如(2)就是兩個概念的區(qū)別．n的二項式系數(shù)最大，如(6)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同考點 通 及其應x－11(1)(2013·浙江卷)設(shè)二項式

5AA＝ (2)(2013·新課標Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a等 1

5解 ＝Cr(

5＝0 55

3

，令55又(1＋x)5xx255 答 規(guī)律方法(1)二項式定理的是通項，求解此類問題可以分兩步完成：第【訓練1】(1)(2013·大綱卷改編)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù) a6 ——

x(a>0)

a的值 84解 84 a6

8 8r —x—x

Tr＋1＝(－a)6666由B＝4A，得(－a)4C4＝4(－a)2C2， a>0答 學學 第177考點 二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)2(1)(2014·青島模擬)設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn

33系數(shù) (1)先賦值求a0及各項系數(shù)和，進而求得n值，再運用二項式系數(shù)性 1 令x＝0，得a0＝1.又(1＋x)6的展開式二項式系數(shù)最大項的系數(shù)最大，66 8－r 當8－2r＝－2時 1

答

，∴x2的系數(shù)為 nn(1)第(1)a0n的值；第(2)小題在求解過程中，把n的等量關(guān)系表示為C3＝C7，而求錯n的值．nn1，－1.2(1)二項式

開式中常數(shù)項是 2

值

2 r

55解

令 5＝0，則r＝2，從而T3＝4C2 令

∴2答 考點三【例3】(2012·卷)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則 解 22

·522

2222222

·522

22512012＋a222∴C2012·(－1)2012＋a＝1＋a13整除．a(chǎn)2答 (1)512012變形為(52－1)201213a＝cr＋bb∈[0，r)，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負，二是二項式定理【訓練3】1－90C1＋902C2－903C3＋…＋(－1)k90kCk＋…＋9010C10除以的余數(shù)是

解析1－90C1＋902C2＋…＋(－1)k90kCk＋1)10＝8810＋C1889＋…＋C988＋1，∵前10能被88整除，∴余數(shù)是 答 ＋nTk1＝Ckan－kbkk＋1＋n理有關(guān)問題的基礎(chǔ)在利用通項求指定項或指定項的系數(shù)要根據(jù)通項討k的限制．的特點和式子間的聯(lián)系 10——

a

展開式中含x 乘；②x與 解

x＝1

展開式的通項 555－2r＝12r＝4

2 因此

展開式中x的系數(shù)為 ·(－1)5－2r＝－12r＝6

3 因此

·(－1)

答 [感悟]對于求多個二項式的和或積的展開式中某項的系數(shù)問題，要注意排(1＋2x)3(1－x)4展開式中x項的系數(shù) 解析(1＋2x)3(1－x)4x項的系數(shù)為兩個因式相乘而得到，即第一個 答

對應學生

(建議用時：40分鐘1．(2014·西安調(diào)研)若(1＋3)4＝a＋b3(a，b為有理數(shù))，則 解 (1＋3)4＝1＋C1·3＋C2·(3)2＋C3(3)3＋(3)4＝28＋163，由題設(shè) 28，b＝16答 1n ＋2．(2013·遼寧卷)使＋

xx(n∈N)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n n－r1 r 解 xx xn－2r，當Tr＋1是常數(shù)項時，n－2r＝0， r＝2，n＝5答 3．已知

1120a系數(shù)的和是 C．1或 D．1或8 由題意知C4·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項系數(shù)和為(1－a)8＝1或38.8答 已知(＋1)10＝a＋a2x＋a3x＋…＋a1x0.若數(shù)列aa2a3…a(1≤≤1，k∈)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是( )． 解 6∴a6＝C5k答 若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實數(shù)m的 A．1或 D．1 又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.答 6．(2013·卷)二項式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是 ＋5＝解 Tr1＝Crx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，依題意＋5＝

答 ＋44解 ＋44答 1n—x—x

MN＝240，則展開式中含x的項 解 1r r4－r — —

x＝(－1)

令 2＝1答 9．已知二項式

＋x) r＋1r 8－r

2令 ＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項為2

10．若(2＋x＋x

a，求(3x

3 1 2

∴(2＋x＋x

因此

(建議用時：25分鐘

則當x>0時，f[f(x)]表達式的展開式中常數(shù)項為( 解 當x>0時，f(x)＝－x1－x所以f[f(x)]＝f(－ Tr

6

r－3＝066答 a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝( 解 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5r 答 令x＝－1，則a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝

x＝0答

16 15x已知(ax

展開式中的各項系數(shù)之和等于5x

而(a2＋1)n54a16

1

25－r1

r5x x5x

Tr＋1＝C55x

·x＝5

20－5r＝0，得r＝4，故常數(shù)項 5×54∴(a2＋1)4T3C2(a2)2＝54a＝4 (對應學生P363)(建議用時：60分鐘) A．24 B．60 C．90 D．12055 可先排C，D，E三人，共A3種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步乘法計數(shù)原理滿足條件的排法共A3＝60種．55答 2．(2014·重慶質(zhì)檢)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n等于( 解 (1＋3x)n的展開式中含x5的項為C5(3x)5＝C535x5，展開式中含x6的項 nn 答 A．6 B．9 C．18個D．36解 有32個數(shù)放在四位數(shù)余下的223×3×2＝18個不同的四位數(shù)．答 nnnnn nnnnn 解 x＝－2答

若

為 1 1

CC

1

解 由題意知 1答 A．3 B．6 C．9種D．1233解 339－3＝6(種答 8解 888答

8．(2014·長沙模擬)x，y滿足

(x，y)對應平面上一個點，則過這些點中的其中3