七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《生活中的軸對(duì)稱》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

《生活中的軸對(duì)稱》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識(shí)和欣賞身邊的軸對(duì)稱圖形，增進(jìn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.了解軸對(duì)稱的概念，探索軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.探索線段的垂直平分線、角平分線和等腰三角形的性質(zhì)以及判定方法.4.能按照要求，畫出一些軸對(duì)稱圖形.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對(duì)稱【高清課堂：389304軸對(duì)稱復(fù)習(xí)，本章概述】1.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.要求詮釋：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.（3）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系要點(diǎn)詮釋:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.3.角平分線角平分線性質(zhì)是：角平分線上的任意一點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；反過(guò)來(lái)，在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上.要點(diǎn)詮釋：前者的前提條件是已經(jīng)有角平分線了，即角被平分了；后者則是在結(jié)論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆了.要點(diǎn)二、作軸對(duì)稱圖形1.作軸對(duì)稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.要點(diǎn)三、等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理．2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【典型例題】類型一、軸對(duì)稱的性質(zhì)與應(yīng)用1、如圖，由四個(gè)小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)．在田字格上畫與△ABC成軸對(duì)稱的三角形，且頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【思路點(diǎn)撥】分別以正方形的對(duì)角線和田字格的十字線為對(duì)稱軸，來(lái)找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格圖標(biāo)上字母如圖，確定對(duì)稱軸找出符合條件的三角形，再計(jì)算個(gè)數(shù)．△HEC與△ABC關(guān)于CD對(duì)稱；△FDB與△ABC關(guān)于BE對(duì)稱；△GED與△ABC關(guān)于HF對(duì)稱；關(guān)于AG對(duì)稱的是它本身．所以共3個(gè)．【總結(jié)升華】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)；確定對(duì)稱軸然后找出成軸對(duì)稱的三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P，且D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．若△ABC的內(nèi)角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，則∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：連接AP，BP，CP，∵D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°． 2、已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求∠APB的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】求周長(zhǎng)最小，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到P的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)確定A、B的位置，角度的計(jì)算，可以通過(guò)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算.【答案與解析】解：分別作P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交OM于A，ON于B.則△PAB為符合條件的三角形.∵∠MON＝40°∴∠＝140°.∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.∴(∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°∵∠PAB＝∠＋∠,∠PBA＝∠＋∠∴∠＋∠＋∠＝180°∴∠APB＝100°【總結(jié)升華】將實(shí)際問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，將周長(zhǎng)的三條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，這樣取得周長(zhǎng)的最小值.舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）．A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】C；提示：找A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于ED的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于M點(diǎn)，ED于N點(diǎn)，此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最小.∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.類型二、線段垂直平分線性質(zhì)3、如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分線，線段DE=1cm，求BD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】連接AD，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠B=∠C=30°，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【答案與解析】解：連接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的長(zhǎng)為4cm．故答案為：4cm．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三【變式】如圖，在△ABC中，∠A=50°，DE是線段AB的垂直平分線，E為垂足，交AC于點(diǎn)D，則∠ABD=_________．【答案】50°；類型三、角平分線性質(zhì)4、已知：如圖，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC，求證：OB=OC．證明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）上述解答不正確，請(qǐng)你寫出正確解答．【思路點(diǎn)撥】由角平分線的性質(zhì)可得OD=OE，然后證明△DOB≌△EOC，可得證OB=OC．【答案與解析】證明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【總結(jié)升華】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)．舉一反三【變式】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，對(duì)于結(jié)論：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；④AD上任一點(diǎn)到B、C的距離相等．其中正確的是（）A．僅①②B．僅③④C．僅①②③D．①②③④【答案】D；類型四、等腰三角形的綜合應(yīng)用5、（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過(guò)程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=______.點(diǎn)P到AB邊的距離PE=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，∵=+，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中，運(yùn)用面積證明可使問(wèn)題簡(jiǎn)便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．6、已知，如圖，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°.求的度數(shù)．【答案與解析】ACD123ACD123B5E則，∴∠1＝∠5＝12°.∴60°∵48°∴．又∵∠2＝36°，72°，∴∴BE＝BC∴為等邊三角形.∴又垂直平分BC．∴AE平分．∴30°∴∠ADB＝30°【總結(jié)升華】直接求很難，那就想想能不能通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個(gè)與全等的三角形，從而使其換個(gè)位置，看看會(huì)不會(huì)容易求．舉一反三：【變式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D為形內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度數(shù).【答案】解：作D關(guān)于BC中垂線的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)AE，EC，DE∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE,∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE為等邊三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DBA＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°類型五、等邊三角形的綜合應(yīng)用7、如圖所示，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形．(1)如圖(1)所示，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？(2)如圖(2)所示，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其他條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖(2)證明；若不