矩陣的初等變換與線性方程組習(xí)題課

關(guān)于矩陣的初等變換與線性方程組習(xí)題課第1頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換第2頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．第3頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三反身性傳遞性對(duì)稱性２矩陣的等價(jià)第4頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．第5頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三（１）換法變換：對(duì)調(diào)兩行（列），得初等矩陣．第6頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三（２）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣．第7頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三（３）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣．第8頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元．例如４行階梯形矩陣第9頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡(jiǎn)形矩陣第10頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形第11頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣．第12頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義７矩陣的秩定義第13頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．８矩陣秩的性質(zhì)及定理第14頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第15頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理定理９線性方程組有解判別定理第16頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解．

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解．10線性方程組的解法第17頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論第18頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題第19頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三求矩陣的秩有下列基本方法（１）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩第20頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩．第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用．第21頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三例１求下列矩陣的秩解對(duì)施行初等行變換化為階梯形矩陣第22頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第23頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三

注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．第24頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等行變換求方程的解．當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組第25頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三例２求非齊次線性方程組的通解．解對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形．第26頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第27頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第28頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三由此可知，而方程組(1)中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量.第29頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三例３當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數(shù)矩陣的行列式為第30頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第31頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三從而得到方程組的通解第32頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第33頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第34頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形第35頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第36頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、求逆矩陣的初等變換法第37頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三例４求下述矩陣的逆矩陣．解第38頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第39頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三

注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．第40頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三四、解矩陣方程的初等變換法或者第41頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三例５解第42頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第43頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三第三章測(cè)試題一、填空題(每小題4分，共24分)．1．若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解．2．齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足的條件是．第44頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三4．線性方程組有解的充要條件是第45頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、計(jì)算題

(第1題每小題8分，共16分；第2題每小題9分，共18分；第3題12分)．第46頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三2．求解下列線性方程組第47頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，求其通解．第48頁(yè)，講稿共53頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆矩陣四、證明題(每小題8分，共16分)