循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用概要

--#-detAdetdet(A)det(diag(f(0),f(1),f(n1)))detf(0)f(1)f(n1).a0 a1 a2 an1an1 a0 a1 an2定理 2.7.1[9]設(shè)A是形如an2an1 a0 an3的循環(huán)矩陣，且設(shè)a1 a2 a3 a0n1f(x) aiXi， 0,1, ,n1是1的全部n次單位根 .i02k2kkcosisin(k0,1,2,,n1)

nn這里i是虛數(shù)單位( i2 1)，則A的n個(gè)特征值是：f(0),f(1),f(n1),n1注意detAf(k).k02.8循環(huán)矩陣的奇異性定理2.8.1[9]在定理2.7.1的條件下，循環(huán)矩陣 A奇異的充要條件是存在某個(gè)j(0jn1)，使f(j)0.由于對任意的自然數(shù) n， 01是1的n次單位根，故有n1推論2.8.1[9]若ai0，則A奇異.i0n1推論2.8.2[9]設(shè)n為偶數(shù)，若 (1)iaj0，則A奇異.i02.9循環(huán)矩陣與向量空間相關(guān)性質(zhì)定理2.9.1數(shù)域P上的所有 nn階循環(huán)矩陣按照矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)向量空間，其基為循環(huán)矩陣基本列 I,I1,,In1，零向量為 n階零方陣，負(fù)向量為A.

證明對于數(shù)域 P上的所有 nn階循環(huán)矩陣，很容易證明任意兩個(gè)循環(huán)矩循環(huán)矩陣的任意常數(shù)倍還是循環(huán)矩陣， 那么就得到了這個(gè)定理.三．廣義循環(huán)矩陣定義3.1若把a(bǔ)0,a1,a2,?,an推廣為m階方陣A0,A1,?,An時(shí)，我們稱矩A0A1An1AnAnA0An2An1A2A3A0A1A1A2AnA0為廣義循環(huán)矩陣。A1,?,An是m階方陣 ,且A1,?,An是m階方陣 ,且A0,A1,?,An兩兩可換，我們稱矩陣為廣義范德蒙矩陣，其行列式為廣義范德蒙行列式．引理 設(shè)A=EA0A02A0ndetAA=E為廣義范德蒙矩陣，其行列式為廣義范德蒙行列式．引理 設(shè)A=EA0A02A0ndetAA=EA1A12A1nEEEEA0A1An1An2222A0A1An1AnA0nA1nnAn1AnnEAn1An21Ann1EAnAn2Ann是廣義范德蒙矩陣， 則A的行列式為det(AiAj)0jin定理1設(shè)E是m階單位陣,且A0,A1,?,An均是m階方陣且兩兩可換， 矩

A0AnA1A0An1An2AnAn1D=A2A3A0A1A1A2AnA0是廣義循環(huán)矩陣，則E0D= 02E112En12n1En2n01E020E112En12n1En2n10n1nnn1nnnn01nnn1nni000n0i00其中矩陣ij0Aji,i000i0為m階數(shù)量方陣,i0,1,...,n0000ii2j2jen吳世玕.循環(huán)矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用 [J].南方冶金學(xué)院學(xué)報(bào)， 2002吳世玕.循環(huán)矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用 [J].南方冶金學(xué)院學(xué)報(bào)， 2002，1：66-68.類似地由定理 2可以得到下面的推論 ,推論中 D,i和i所表示的意義均和定理 2相同。n推論3.1對于廣義循環(huán)矩陣 D，我們有 detDdet(i)．i0推論3.2廣義循環(huán)矩陣 D可逆的充要條件是矩陣 Ai均可逆， i=0，1，?，nn推論3.3廣義循環(huán)矩陣 D的秩 rank(D)rank(i)。i0推論3.4廣義循環(huán)矩陣 D的特征值為矩 0,1,,n的全部特征值．a(chǎn)0 a1 a2 an1ran1 a0 a1 an2定義 3.2 r-循環(huán)矩陣 Jran2ran1 a0 an3ra1 ra2ra3 a0

定義定義定義令：J0關(guān)于 r-循環(huán)矩陣也有與循環(huán)矩陣的性質(zhì)和結(jié)論。3.33.43.5J0123J0n rE0定義定義定義令：J0關(guān)于 r-循環(huán)矩陣也有與循環(huán)矩陣的性質(zhì)和結(jié)論。3.33.43.5J0123J0n rE000000后（對稱） r-循環(huán)矩陣a0a1a2an1a2an2an1a3an1a0a4a0a1a1an3an2a0a1a2an2an1a1a2a3an1ra0a2a3a4ra0ra1an1ra0ra1ran3ran2Aa0a1a2a3K2=E,K=K*張愛萍.循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其對角化 [J].廣西師院學(xué)報(bào)， 2000，12：10-13.趙立寬，岳曉鵬，杜學(xué)知.關(guān)于循環(huán)矩陣的幾個(gè)性質(zhì)的推廣 [J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)， 2006，4：52-56.賈璐，姚光同.有關(guān)循環(huán)矩陣的行列式計(jì)算及其應(yīng)用 [J].信陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版 ），2005，4：131-132.張盛虞.關(guān)于循環(huán)矩陣的一些性質(zhì) [J].黔東南民族師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)， 2006，12：4-7.孫玉海.等比數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣的逆矩陣 [J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2001，3：6-7.黃賜璽.循環(huán)矩陣的非異性 [J].山東師大學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版 ），1991（6）：22-26