空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系10大題型

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系10大題型

命題趨勢

在高考數(shù)學(xué)中，本部分內(nèi)容主要分兩方面進行考查，一是空間線面關(guān)系的命題的

真假的判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、

面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)

問的形式考查，屬于中檔題。

滿分技巧

一、共面'共線、共點問題的證明

1、證明點線共面問題的兩種方法

(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)；

(2)輔助平面法：先證有關(guān)點、線共平面a，再證其他點、線共平面最后證

平面a,4重合.

2、證明點共線問題的兩種方法

(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；

(2)直接證明這些點都在一條特定直線上.

3、證明三線共點問題的步驟

第一步：先證其中兩條直線交于一點；

第二步：再證交點在第三條直線上.

證交點在第三條直線上時，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線。

二、線線平行的證明方法

1、定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；

2、利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)

于平行的性質(zhì)；

3、利用基本事實4:找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.

三、線面平行的判定方法

1、利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點；

2、利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平

行，那么該直線與此平面平行（簡記為"線線平行n線面平行"）

3、利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)所有直線

都平行于另一個平面。（簡記為"面面平行n線面平行"）

四、面面平行的判定方法

1、面面平行的定義：兩個平面沒有公共點，常與反證法結(jié)合（不常用）；

2、面面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，

那么這兩個平面平行（主要方法）；

3、垂直于通一條直線的兩個平面平行（客觀題可用）；

4、平行于同一個平面的兩個平面平行（客觀題可用）.

五、直線與平面垂直的判定方法

1、利用定義：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直

于這個平面（不常用）；

2、利用線面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，

那么這條直線就和這個平面垂直（常用方法）；

3、可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，

那么另一條也垂直于這個平面（客觀題常用）；

4、面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平阿敏垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們

交線的直線垂直于另一個平面（常用方法）；

5、面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條

直線也垂直于另一個平面（客觀題常用）；

6、面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交

線垂直于第三個平面（客觀題常用）.

熱點題型解讀

題型6平面與平面平行的性質(zhì)

題型7直線與平面垂直的判定

題型8直線與平面垂直的性質(zhì)

題型9平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

題型10平行與垂直的綜合問題

【題型1點線面位置關(guān)系的判斷】

【例1】（2023秋?江蘇無錫高三統(tǒng)考期末）已知m,〃為異面直線,，〃,平面。，

〃，平面夕若直線/滿足/L",1—,5.則下列說法正確的息）.

A.a//p,I//aB.aA./3,/!/?

C.。與夕相交，且交線平行于/D.。與夕相交，且交線垂直于/

【變式1-1】（2023?陜西榆林統(tǒng)考一模）若加，〃為兩條不同的直線，d夕為兩個

不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若加//a,a//萬，則〃7//尸B.若機_La,a_L/9,則6//分

C.若ml/n,n//a,則m//aD.若mia,aI［R,貝（］加

【變式1-2］（2023春江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知。心是兩個不同的平面，

a,b,<'是三條不同的直線，則下面說法中正確的是（）

A.若“ua,bua，且c_L。，cLb，則cJ_a

B.若Qua,且Z?_La,則〃J_a

C.若〃_La,且c_L〃，貝［Jc//a

D.若Hclla,cllb,則a〃尸

【變式l-3］（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)加，〃是兩條不同的直線，。

夕是兩個不同的平面，給出下列命題：

①若mJ_a,nila,貝；

②若mlln,m（za,"ua,則加//a;

③若a>L￡,mlla，貝;

④若m_La,mu/3,則a_L6.

其中正確的命題個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【變式1-4]（2023秋?山東濱州?高三統(tǒng)考期末）已知“，〃為兩條不同的直線，

a,P為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a//13,m//a，貝!

B.%ua,”ua,m//p,n///3，貝[ja〃夕

C.a/3=l,mua,m_]_i,則帆_L￡

D.mLa,tn//n,a//[5，則〃_LQ

【題型2共面、共線、共點證明】

[例2]（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體NBC。-ABCD中，"為

棱。。的中點.設(shè)AM與平面BBDD的交點為。，則（）

A.三點D,,O,B共線，且OB=2OD,

B.三點Di,O,B不共線，且08=20。/

C.三點D,,O,B共線，且OB=ODi

D.三點D,,O,B不共線,且OB=ODi

【變式2-1]（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖A8CD-AACQ是長方體，0是8a

的中點，直線AC交平面相Q于點M,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.A,M,。三點共線B.M,。，A,A四點共面

C.B,B、，0,M四點共面D.A,。，C,"四點共面

【變式2-2】（2022?全國?高三專題練習(xí)）在空間四邊形/58各邊/8、BC、CD、

DA上分別取E、F、G、H四點，如果EF與GH能相交于點P,那么（）

A.點尸不在直線AC±B.點尸必在直線BD上

C.點P必在平面ABC內(nèi)D.點P必在平面ABC外

【變式2-3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖E,F,G,，分別是菱形筋8的

邊AB,BC,CD,上的點,且8￡=2A￡,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,

現(xiàn)將△他。沿相折起，得到空間四邊形A8C。，在折起過程中，下列說法正確的

是（）

A.直線EF,痰有可能平行

B.直線E尸，HG一定異面

C.直線E尸，而一定相交，且交點一定在直線AC上

D.直線EF,法一定相交，但交點不一定在直線AC上

【題型3直線與平面平行的判定】

【例3】（2023?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在棱長為4的正方體

ABCC-AACQ中，點尸是CC,的中點，動點Q在平面DCCR內(nèi)（包括邊界），若

AQ平面4用，則AQ的最小值是（)

C.26D.3亞

【變式3-1】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，底面

是直角梯形，AD//BC,ZADC=90,AC和8。相交于點N,面PACL面,

BC=2AD=2,31,PA=PC邛在線段9上確定一點M使得PB〃面ACM,

求此時P黑M的值?

【變式3-2]（2023?新疆烏魯木齊統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-438中，PAA.

平面,ADYCD,AD//BC，且以=AD=CD=2,BC=3,后是P。的中點，

點廠在PC上，且尸尸=2FC.

(1)證明：DR〃平面PAB;

(2)求三棱錐P-收的體積.

【變式3-3](2022?廣西梧州?？家荒?如圖，直四棱柱ABCD-AfCQ的底面

是菱形，的=4,AB=2,ABAD=6O°,E,M,N分別是BC,BB_AQ的中

點.

(1)證明：MN//平面C0E;(2)求點C到平面C0E的距離.

【題型4直線與平面平行的性質(zhì)】

【例4】(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐中，底面48。為

平行四邊形，E是SA上一點，當(dāng)點E滿足條件：時，SC7/平面

【變式4-1](2023秋河南?高三校聯(lián)考期末)如圖，在三棱推P-ABC中,ABC

是正三角形，以，平面其火,。瓦尸分別為尸4尸8,PC上的點，且

(1)設(shè)平面DEFc平面A8C=/,證明：I平面P8C；

(2)求五面體DEF-MC的體積.

【變式4-2】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在棱長都等于1的三棱錐A-88

中，尸是AC上的一點，過尸作平行于棱A3和棱CD的截面，分別交8C,4),3。

C

(1)證明截面EFG"是矩形；

(2)尸在AC的什么位置時，截面面積最大，說明理由.

【變式4-3】(2023春湖南長沙高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))三棱臺ABC-48c

的底面是正三角形，的，平面ABC,AB=4,A4=2,,E是A8的中

點，平面ACE交平面ABC于直線/.

(1)求證：AC//1；

(2)求直線8c與平面AGE所成角的正弦值.

【變式4-4】(2022?吉林長春?長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測)如圖，矩形

43C。和梯形4BEF,AFYAB,EF//AB，平面平面，且AB=M=2,

AD=EF=l,過OC的平面交平面ABE尸于MN.

DC

(1)求證：DCIIMN；

(2)當(dāng)加為8E中點時，求點E到平面DCMN的距離;

【題型5平面與平面平行的判定】

［例512023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測曲圖①在平面四邊形”8中,AB=AD=2,

BC=CD=s/2,/BAD=60.將ABCD沿著BD折疊,使得點C到達(dá)點C'的位置，

且二面角A-8。-。為直二面角,如圖②.已知P，G,尸分別是AC,ARAB的中點，

E是棱A8上的點，且C'E與平面故所成角的正切值為苧.

(1)證明：平面PGr〃平面C7)8；

(2)求四棱錐P—G產(chǎn)成＞的體積.

【變式5-1](2022秋湖南常德高三統(tǒng)考期末)如圖所示的幾何體是由等高的直

三棱柱和半個圓柱組合而成，點G為的中點,為半個圓柱上底面的直徑,

S.ZBCF=90°,CD=CB=CF=2.H為8C的中點.

(1)證明：平面DE/"/平面GC/7；

(2)若Q是線段上一動點，求直線AQ與平面Gb所成角的正弦的最大值.

【變式5-212022秋廣西南寧?高三統(tǒng)考階段練習(xí)應(yīng)如圖所示的多面體AF￡)CE3

中,AB±平面BCE,AB//CD//EF,BE_LCE,AB=CE=4,EF=BE=2,CD=6,

點”、G分別為A3、8C的中點.

D

E

(1)求證：平面EHG平面AFC；

(2)求多面體AFDCEB的體積.

【變式5-3](2022秋湖北襄陽高三襄陽五中校考階段練習(xí))四棱柱

ABS-AACQ中，底面ABC。為正方形，面ABC。，點M,N,。分別為棱

OR,AD,網(wǎng)的中點.

(1)求證：平面〃平面8CQ;

(2)若例=2然，棱A瓦上存在點尸，使得二面角P-MN-。的余弦值為噂,

63

求葭的值.

【變式5-4](2022秋?江西撫州高三金溪一中?？茧A段練習(xí))如圖，在幾何體

Z8CDP0中，平面PAD,平面Z8C。，四邊形"8是直角梯形，,

AB//DC//PQ,小，PD,E為的中點，且PQ=PO=OC=A￡=g尸A=1.

p

(1)求證：平面PQE平面QCB;

(2)求直線CB與平面PABQ所成角的正弦值.

【題型6平面與平面平行的性質(zhì)】

【例6】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在長方體AB3A43中,AB=4,

BC=BB,=3,G為的中點，E,尸分另(J在紳殳上，且等，

/I.Vi/IVJ

求證：EG//平面網(wǎng)F.

【變式6-以2022?四川雅安統(tǒng)考一模加圖在三棱柱ABC-A8G中側(cè)面AA用8

為正方形，9，平面/5。，AB=BC=2,/4BC=120。，E,E分別為棱和網(wǎng)

的中點

(1)在棱4A上是否存在一點。，使得CQ〃平面EFC?若存在，確定點。的位

置，并給出證明；若不存在，試說明理由；

(2)求三棱錐4一七尸。的體積.

【變式6-2】(2022?四川遂寧?四川省遂寧市第二中學(xué)校?？家荒?如圖,四棱

錐尸中，側(cè)面尸皿底面ABC。，底面為梯形，■/PC,且

AP=PD=CD=2AB=2>/3,ZAPD=ZADC=60.作40交A￡)于點“，連接

AC，加交于點尸.

(1)設(shè)G是線段P"上的點，試探究：當(dāng)G在什么位置時，有GF//平面PA8;

(2)求平面PAZ)與平面尸比所成二面角的正弦值.

【變式6-3](2022秋黑龍江綏化?高三?？茧A段練習(xí))如圖，在四棱錐P-他8

中，AB//CD,ABA.BC,CD=2AB,為，平面/BCD,E為尸。的中點.

(1)證明：AE〃平面PBC;

(2)若R4=CD=2BC,求4E與面PBD所成角的正弦值.

【變式6-4](2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱MdAS?中，E,F,

G分別為4G,A4,AB的中點.

(1)求證：平面AGG〃平面；

(2)若平面AGGC8C="，求證：丹為BC的中點.

【題型7直線與平面垂直的判定】

[例7](2023春天津紅橋?高三統(tǒng)考開學(xué)考試班圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L

平面488,48=4,8。=3,4￡>=5,Nft4B=N4BC=90,E是的中點.

(1)證明：8-L平面R4E；

(2)若直線P8與平面研所成的角和槽與平面ABC。所成的角相等，求線段必

的長度.

【變式7-1】(2023?陜西西安統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面

ABCD,ADYCD,AD//BC,PA=AD=CD^2,8c=3,E為P。的中點，E在PC

上,滿足E7FPC.

p

D

(1)求證：81平面皿)；

(2)求三棱錐P-收的體積.

【變式7-2](2023?全國模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，A8〃C。，

AB1BC,BC=CD=PA=PD=；AB=2,PC=2^3，七為的中點.

P

(1)證明：8。，平面；

(2)求平面APD和平面CEP的夾角的余弦值.

又PC=26,：,OC2+PO2=PC2,：.PO±OC,

【變式7-3】(2023?內(nèi)蒙古?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-A38中，四邊形AB8

是直角梯形,ADJ.AB,AB//CD,PB=CD=2AB=2AD,PD=^AB,PCLDE,

E是棱心的中點.

(1)證明：PD_L平面A8C￡);

(2)若尸是棱”的中點，4?=2,求點C到平面■的距離.

【題型8直線與平面垂直的性質(zhì)】

【例8】(2023?陜西銅川?？家荒?如圖，四棱錐尸-A88中，依，底面A88,

AB//CD,AB1BC^AB=2BC=2CD=2.

(1)求證：ADVPD；

(2)若四棱錐P—A3C。的體積為1,求四棱錐P-ABCD的表面積.

【變式8-以2023?陜西銅川??？家荒＜訄D四棱錐P-AB8中底面ABCO,

ABCD,ABJ.BC,且AB=28C=2cD=2.

(2)若平面以。與平面P8C所成的二面角的余弦值為手，求以與底面A8C。所

O

成的角的正切值.

【變式8-2](2023?廣西桂林統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，正方體ABCD-MCQ中,E

是GC的中點，M是的中點.

(1)證明：BE，平面的";

(2)求直線BR與平面EBQ所成角的正弦值.

【變式8-3】(2023?全國模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱ABC-”心中,AB=AC,

點F是4G的中點，點E滿足Cf=疣0(0<2<1).

(1)求證：AF”E-

(2)^ABIAC,=,直線4尸與平面所成的角為60°,求2的值.

【題型9平面與平面垂直的判定與性質(zhì)】

【例9】(2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考一模)如圖，四棱推入他8的底面是矩形，PAL

底面ABC。,M,N分別為CO『。的中點,AC與BM交于點E,AB=6五,AD=6,

K為PA上一點，PK=^PA.

(1)證明：K,E,M,N四點共面；

(2)求證：平面PAC，平面BMNK.

【變式9-1](2023春青海西寧?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)如圖，在三棱柱ABC-A冉G

中，加C為邊長為2的正三角形，。為8c的中點，例=2,且/CCB=60,平

面叫CQ平面A8C.

(1)證明：QD1AB；

(2)求三棱錐瓦—AC的體積

【變式9-2](2023春河南?高三河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)如圖，在直三

棱柱ABC-中,AB=AC=5,BB產(chǎn)BC=6,D,E分別是e和8c的中點

C

(1)求證：平面8"，平面BCG用；

(2)求三棱錐E-88的體積.

【變式9-312023春廣東韶關(guān)高三校聯(lián)考開學(xué)考試如圖在三棱柱ABC-AEU

中,AB1BC,平面43cl平面,AB=BC=BB'=2,BQ在直線A3上的投

影向量為;BA.

B'

(1)證明：BCVCC.

(2)求二面角？-AC-8的余弦值.

【變式9-4】(2023春湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四邊形為正方形,

四邊形相>￡■尸是梯形，AF//DE,AD=DE=3AF,平面，平面ABC。,且

EDYBD，點尸是線段可上的一點(不包括端點).

(1)證明：8D_LFC；

(2)若4尸=1,且直線EC與平面尸切所成角的大小為45,求三棱錐C-P叫的

體積.

【題型10平行與垂直的綜合問題】

【例10】(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，四邊形/8CQ為矩形，四邊形8CEE

為直角梯形,BF//CE,BFLBC,BF<CE,BF=2,AB=\,AD=45.

E

(1)求證：BCLAF；

(2)求證：/F〃平面DCE；

【變式10/】(2022?上海?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，在四棱推P-ABCD中，

四邊形ABC。為正方形，P點在平面ABCD內(nèi)的射景多為A,^PA=AB=2,E^JPD

(1)證明：P8〃平面AEC

(2)證明：平面PC￡)_L平面PAD.

【變式10-2】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖,AB為圓。的直徑,E是

圓。上不同于A、B的動點，四邊形A8CZ)為矩形，平面ABCD1平面ABE,

尸是DE的中點.

（1）求證：。尸〃平面8CE;

（2）求證：平面ADE，平面BCE.

【變式10-3X2022秋陜西西安?高三統(tǒng)考階段練習(xí)如圖在四棱錐P-ABCD中，

PA1CD,AD//BC,ZADC=ZPAB=90°,BC=CD=；AD.

（1）〃為PD的中點，證明：直線CM〃平面PAB；

（2）證明：平面處6,平面PBD.

限時檢測

（建議用時：60分鐘）

1.（2023春北京?高三?？茧A段練習(xí)）已知兩條不同的直線/，，〃與兩個不同的平

面名夕,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若///a,?B=m,貝［|〃/加

B.若a_L￡,ap=m,l±m(xù),則/力

C.若機_La,Z±/M，則〃/a

D.若加_Le,mu0,則

2.（2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正三棱柱ABC-的所有棱長都相等,

D,E,F分別是四，BG,AA的中點，M是線段所上的動點，則下列結(jié)論

中正確的個數(shù)是（）

①BFJ.BC；②BFHCQ；③&E1BC;④〃平面.

A.1B.2C.3D.4

3.（2023春北京大興?高三?？奸_學(xué)考試）已知。，尸為不重合的兩個平面，直

線，“ua,nu。,那么“，"_L“”是“a_L力”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023春北京?高三北京二中校考開學(xué)考試）如圖所示，點P在正方體

ABCD-AB,CR的面對角線8G上運動，得出下列結(jié)論：

①三棱錐A-2PC的體積不變；

②AP與平面ACR所成的角大小不變；

③DPzBC、;

④。片，4尸.

A.①④B.①②③C.①③④D.①②④

5.（2023春北京海淀?高三清華附中校考開學(xué)考試）如圖，在正方體

ABCD-^CA中，尸為線段BG的中點，E為線段AC上的動點，下列四個結(jié)

A.EF平面AB3B.存在點E,使麻上平面叫

C.存在點E，使歷〃ACD.DBJEF

6.（2023?上海黃浦統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，MD工

平面ABCD,NB1平面ABCD，且血=NB=1,點G為MC的中點.則下列結(jié)論

A.MCIANB.平面DOW//平面

C.直線GB與AM是異面直線D.直線GB與平面AMD無公共點

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）（多選）已知長方體A8CD-A4GA中，點尸，。，河,

N分別是棱N3,BC,CG,BC的中點，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.8DJ平面B/QB.AM平面B/Q

C."ML平面片P。D.AN平面APQ

8.（2023?全國?模擬預(yù)測）（多選）如圖，在三棱柱/8C-4BG中，已知AAjl.

平面/8C,AG=8G,點。為ZB的中點，NAGcAC=°，貝^下歹結(jié)論正確的

A.CDLAiDB.平面4Aoe，平面434/4/

C.OD//平面A/BCjD.V三棱錐C-BOD=4"三棱柱ABC-A8|G

9.（2023?四川南充?四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平行六面體

ABCD-A^C,D,中，N,E尸分別是明，AB,CQ的中點,側(cè)面。平面

ABCD,NA叫=60,AD=4,AB=DD1=8,ZDAB=120

(1)求證：7VF〃平面GCE；

(2)試求三棱推N-GEC體積.

10.(2023?山東濰坊統(tǒng)考一模)在四棱錐P-A5CO中，底面A8C。是邊長為2

的正方形，PCLPD,二面角A-8-P為直二面角.

(1)求證：PBLPD；

(2)當(dāng)尸。=/^口寸，求直線PC與平面的所成角的正弦值.

11.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB=AD,△88是正三

角形，PB=PD.

(1)證明：平面平面PAC]

(2)若四棱錐P-ABCD的體積為等,NBAD=120。，BC=2,PD±BC,求二面

角的正弦值.

12.(2023?陜西西安統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐P-A3CD中，PA_L平面ABCQ,

ADVCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3,￡為PO的中點，廠在PC上，滿

足所_LPC.

(1)求證：CDJ.平面PAO；

(2)求二面角B-AF-C的余弦值.

參考答案

【題型1點線面位置關(guān)系的判斷】

【例1】（2023秋?江蘇無錫高三統(tǒng)考期末）已知加，〃為異面直線,〃△平面。，

"，平面夕若直線/滿足/,/aaJaB則下列說法正確的息）.

A.a//p,I//aB.a，。,I，。

C.。與夕相交，且交線平行于/D.a與夕相交，且交線垂直于/

【答案】C

【解析】由于加，〃為異面直線，相，平面a,平面夕,

則平面a與平面萬必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線〃?，〃，故

AB錯誤；

又直線/滿足以機，ILn,laa,5,則交線平行于/故C正確，D

錯誤.故選：C.

【變式1-1】（2023?陜西榆林統(tǒng)考一模）若加，〃為兩條不同的直線，，，夕為兩個

不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若血/a,。//4，則m//尸B,若"2_La,a_L/?,則血/廣

C.若ml/n,n//a,則m//aD.若m_La,a//4,貝尸

【答案】D

【解析】對于A,若向/a,a/0,則向力或au/?,故A不正確；

對于B,若尸,則〃，/尸或mu尸，故B不正確；

對于C,若，〃//〃,〃//￡,則加//&或機ua,故C不正確；

對于D,若,則,,故D正確.故選：D.

【變式1-2］（2023春江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知a/是兩個不同的平面，

a,b,。是三條不同的直線，則下面說法中正確的是（）

A.若aua,bua,且c_La,c_Lb,則，_1_。

B.若“ua,且6_La,則6J_a

C.若。_La，且cJLZ?,貝（Jc//a

D.若且c〃a,cllb,貝［Ja〃尸

【答案】D

【解析】對于A:由aua,bua,且c」a,cLb,

當(dāng)且僅當(dāng)。與討目交時才能得到c_La,故A錯誤；

對于C：若aua,且6_La,貝照_La或加/a或bua或b與a相交（不垂

直），故B錯誤；

對于C：若64,且cl_b,則c//a或cua,故C錯誤；

對于D:若c//a,cllb,則a//z>,又“_La,且a,夕是兩個不同的

平面，

則M/q，故D正確；故選：D

【變式1-3】（2023?內(nèi)蒙古赤峰統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)加，〃是兩條不同的直線，a,

夕是兩個不同的平面，給出下列命題：

①若,nila,貝；

②若mlln,mc^a,"ua,則〃?//a;

③若a，Z?,mlla,則％_L夕;

④若，"_La,mu/3,則a_L6.

其中正確的命題個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【解析】對于命題①若川隆，過直線〃的平面夕與a的交線。滿足a〃〃廁“ua,

.mLa,tn±a,alln,則M_L〃，命題①正確；

對于命題②，若加//〃，"ua（m<za,則〃〃/a,命題②正確；

對于命題③，若a，戶,mlla,則〃△/或加力,

或相交但不垂直，或mu尸，故③錯誤；

對于命題④，根據(jù)面面垂直的判斷定理可知，若mla,mu/3,

則a，尸，命題④正確.故選：D.

【變式1-4]（2023秋?山東濱州?高三統(tǒng)考期末）已知為兩條不同的直線,

a,4為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a//p,m//a,貝

B.，"ua,“ua,m//（3,n//p，則a〃1

C.a尸=/,m（=&,機_1_/,貝[]，"_1?

D.inA.a,m//n,a//fi,則〃1.6

【答案】D

【解析】對于A,a//p,帆〃a,則相〃6或根u￡,A錯誤；

對于B,若機ua,〃ua,m〃（J,n//[i,則a〃/或a,4相交，

只有加上條件機”相交，結(jié)論才成立,B錯誤；

對于C,a81,mua,機工/無法彳導(dǎo)到〃」￡,

只有加上條件a，尸才能得出結(jié)論，C錯誤；

對于D,mLa,m//n,則〃，a,又因為a〃尸，所以〃，尸，D正確.

故選:D.

【題型2共面、共線、共點證明】

[例2]（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體/BCD-ABCD中，/為

棱。。的中點.設(shè)與平面88/。。的交點為O,則（）

A.三點D,,O,B共線，且。8=2。。

B.三點Di,O,B不共線，且OB=2ODt

C.三點Di,O,B共線，且OB=ODi

D.三點Dj,O,B不共線，且OB=ODt

【答案】A

【解析】在正方體N8C。-4BCD沖,連接4。，SC/,如圖，

C.DJICDIIAB，連BDi,平面ABCQc平面8800=80,

因M為棱。。的中點,則Me平面48GA,

而Ae平面A8CQ,即平面ABCQ,又OC，則OG平面A8CQ,

因/以與平面BBDD的交點為O,則Oe平面B8QQ,

于是得。€叫，即。，8三點共線，

顯然ZW〃/8且。*及產(chǎn)件,

于是彳導(dǎo)OD,=^BO,^OB=2OD1,

所以三點。，。，8共線，且OB=2OU.故選:A

【變式2-1]（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖ABCQ-ABCQ是長方體，0是用R

的中點，直線AC交平面ABQ于點例，則下列結(jié)論錯誤的是（）

B.M,0,A,A四點共面

C.8,B-。，M四點共面D.A,0,C,M四點共面

【答案】C

【解析】連接AC，AC,則AG〃4c,;.ACCA四點共面，

二.ACu平面ACC[At

MeAc，二Me平面4CC|A,

〃€平面4瓦￡>一

點M在平面4CC0與平面A8Q的交線上,

同理點。在平面ACG4與平面ABQ的交線上,

???A”，。三點共線，故A正確；

AM，。三點共線，且直線與直線外一點可確定一個平面，

.?.4M,0,4四點共面，AM,C0四點共面，故B,D正確；

.平面ABQ,OMu平面ABQ,用e平面48a且Bj?！?，

，明和。例是異面直線，

-B,B'Q'M四點不共面，故C錯誤.故選：C

【變式2-2】（2022?全國?高三專題練習(xí)）在空間四邊形N8C。各邊/8、BC、CD、

DA上分別取E、F、G、H四點，如果EF與GH能相交于點P,那么（）

A.點P不在直線NC上B.點P必在直線8。上

C.點P必在平面ABC內(nèi)D.點P必在平面ABC外

【答案】C

【解析】在空間四邊形Z88中，點￡、/分別在邊A8、8c上，有Ee平面A8C,

尸c平面ABC,

則直線EFu平面A8C,外

同理，直線G”i平面A￡>C,/

因EF、GH能相交于點P,即PeEF,PeGH,

因此Pe平面ABC,PG平面AOC,

而平面A8Cc平面4Y=AC,

于是有PeAC,A不正確，C正確，D不正確；

又直線/C與BD沒有公共點，即點P不在直線BD上,B不正確.故選：

【變式2-3］（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖E，尸，G,H分別是菱形鉆8的

邊AB,BC,CDt上的點,且8E=2A￡,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,

現(xiàn)將沿8。折起,得到空間四邊形ABCD,在折起過程中，下列說法正確的

是（）

A.直線EF,而有可能平行

B.直線石尸，而一定異面

C.直線EF,偌一定相交，且交點一定在直線AC上

D.直線E尸，曲一定相交，但交點不一定在直線AC上

【答案】C

AH11

【解析】BE=2AE,DH=2HA,=—=-,則E/7//8O,且硒=4和，

B匕UnZj

又CF=2FB,CG=2GD，?4條=2,則陽//網(wǎng)＞,且尸G=,

orUU3

.■.EH//FG，且=四邊形EFG”為平面四邊形，

故直線EF,價一定共面，故5錯誤；

若直線所與選平行，則四邊形瓦6"為平行四邊形，

可得￡7/=G/，與E”工9G矛盾,故A錯誤;

由EHHFG，且EH#FG,EH^-1BD,FG=-2BD,

可得直線所，用一定相交，設(shè)交點為。，

則OeE尸，又EFu平面ABC，可得Oe平面ABC，同理，Oe平面AC。,

而平面ABCc平面48=AC,-O&AC,即直線E尸,HG一定相交,

且交點一定在直線AC上,故C正確，。錯誤.故選：C.

【題型3直線與平面平行的判定】

【例3】（2023?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在棱長為4的正方體

A8C0-AMCQ中,點P是CG的中點，動點。在平面。CCQ內(nèi)（包括邊界），若

AQ平面A.BP,則AQ的最小值是（）

【答案】D

【解析】如圖所示：M,N分別為皿,DC的中點，連接AMAMMN,

MN//D.C,D,C,故MN〃A5,

ABu平面ABP,MNiZ平面ABP,故_MN平面ASP；

易知四邊形ABPM為平行四邊形，

AM//BP,3Pu平面ABP,平面ABP,故AW平面ABP；

AMcMN=M,AM,MNu平面AMN,故平面AMN平面ABP,

當(dāng)AQu平面AMN時，面AMNc平面RGCO=MN,故。的軌跡為線段

MN,

AM=AN=2如,MN=2五,“。的最小值是MN邊上的高，為

“2石『-（夜『=3夜.

故選：D

【變式3-1］（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱推P-AB8中，底面

是直角梯形，AD//BC,ZADC=90,AC和相相交于點N,面PACL面ABC。,

BC=2AD=2,31,*PC邛在線段尸。上確定一點用使得PB〃面ACM,

求此時爆的值.

PM

【答案】點M為P。的三等分點且PD=3MD,此時礪=2

PM

【解析】點"為尸。的三等分點且PD=3MD,此時礪=2,證明如下：

連接AM,CM,

DN

在直角梯形A3C。中,AD//BC,BC=2AD=2

￡J/V

DM1DNDM…,…

=.:.MN//PB

“3Z-M---P--~2.'*,---B--N--=--M---P--''

又MNu平面ACM,依z平面ACM，.二PB〃平面ACM.

【變式3-2](2023?新疆烏魯木齊統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐P-A3。中，PAY

平面Z8C。,ADLCD,AD//BC,^PA=AD=CD=2,8C=3,E是的中點,

點E在PC上,且尸尸=2FC.

(1)證明：￡)F〃平面PAB;

(2)求三棱錐P-曲的體積.

4

【答案】(1)證明見解析(2)-

【解析】(1)證明：在線段依上取點"，使得PM=2M3,

2

所以,在PBC中，MF=-BC=2,^MFUBC

B

因為在四邊形ABC。中，ADIIBC,AD=2,

所以,MF”AD,MF=AD,

所以，四邊形4mM是平行四邊形，所以少'/MM,

因為平面PA8,AWu平面PA6,所以力尸〃平面出艮

(2)作FG,尸。交PD于點G,

因為尸A，面ABCD,所以PALCD,

又ADLCO,E4與4。交于點A,

所以81面PAD,CD1PD,

又FG1PD,所以FG//CD,所以.PFGPCD,

r-r-piPFFG/曰4

所以正-而，侍,一§,

因為E為尸。中點,

I14114

所以%-AEF=VD-AEF=VF-ADE=§?$皿=§X§X/X耳X2X2=§

【變式3-3】（2022?廣西痛,N??？家荒＃┤鐖D，直四棱柱ABCO-ABCQ的底面

是菱形，例=4,AB=2,NBAD=*°,E,M,N分別是8c,BB、，A。的中

（1）證明：MN//平面CQE;（2）求點C到平面CQE的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)

【解析】（1）證明：連結(jié)8。ME?

因為例,E分別為,BC的中點，

所以ME//BQ,且“.

又因為N為的中點，所以=.

可得ME=ND,ME"ND,

因此四邊形"M龍為平行四邊形，所以,

又“VU平面CQE,DEu平面CQE,所以MN//平面CQE.

（2）（方法一）：過，故6￡的垂線，垂足為“,

由已知可得。,DEJ.CC,,

BCnCC,=C,BC,CC、u平面CC】E,

所以。平面CGE,又C”u平面CCg,

故DELCH,又DEcEQ=E,DE,E0U面GOE,

從而C”J_平面CQE,

故”的長即為點c到平面GQE的距離，

由已知可得CE=I,cq=4,所以GES,故CH=萼.

（方法二）：設(shè)點C到平面COE的距離為〃，

由已知可得^Q-DEC=^C-CyDE,

VSh，4,2，1，Sin60

C]-DEC=\DECC,C=1-=￥，%-CQE=；SCQ￡”,

jjZjJ

GE3+42=后,O￡=722+12-2-1-2COS60=C，

DC,=\/42+22=2X/5,

可得:CF+DE=DC；,故△CQE為直角三角形，

SCQE=；DEGE=N?而=誓,

yV-CDF4\/17

綜上可得讓浸C匹=,即為點C到平面C0E的距離.

°AC,DE1'

【題型4直線與平面平行的性質(zhì)】

【例4】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖,在四棱錐S-MQ中，底面48。為

平行四邊形，E是SA上一點，當(dāng)點E滿足條件：時,SC//平面EEX

【答案】SE=A￡（答案表述不唯一）

【解析】連接AC交相于O,連接OE,

SCH平面EBRSCu平面SAC,平面SAC平面EBD=OE,

:.SCHOE.

又底面ABCO為平行四邊形，。為對角線AC與8。的交點,

故。為AC的中點,為54的中點，

故當(dāng)E滿足條件：SE=AE時，SC//面EBD.

故答案為：SE=AE（答案表述不唯一）

【變式4-1］（2023秋河南?高三校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，ABC

是正三角形，以，平面分別為PAP8,PC上的點，且

（1）設(shè)平面。砂c平面ABC=/,證明：/平面PBC；

（2）求五面體ABC的體積.

【答案】（1）見解析；（2）25條

PEPF

【解析】（1）因為就=修，所以EF//8C,

因為BCu平面A8C,EF仁平面ABC,所以￡77/平面ABC,

又平面DEFc平面ABC=l,EFc平面￡>￡尸，所以EF//1,

又EFu平面PBC,l平面P8C,所以///平面PBC,

（2）因為笥=2=*=:，所以S四=白攻

1LJJy

、222

所以YD-PEF~§VA—PEF二藥%-PBC=^^P-ABC

=

所以五面體DEF-ABC的體積VVp-ABC~VD-PEF=萬^P-ABC

因為匕，-Ape=；x萬x6?x/x9=27括，所以V=255A

【變式4-2】（2023?