遼寧省鞍山市石廟子中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

遼寧省鞍山市石廟子中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．

B．

C．2

D．1參考答案：C試題分析：因,故,故應(yīng)選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的求法．3.已知集合，集合，則A∩B=(

)A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.(1,+∞)參考答案：B【分析】根據(jù)題意求解集合A，B，再根據(jù)集合的及交集運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意，得或所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，則f（lg（lg2））=(

)A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．【專題】計算題；壓軸題；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題設(shè)條件可得出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值【解答】解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，∴l(xiāng)g（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)則設(shè)lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函數(shù)是一個奇函數(shù)，故g（﹣m）=﹣g（m），∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3．故選C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用及求函數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是觀察驗(yàn)證出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，審題時找準(zhǔn)處理?xiàng)l件的方向?qū)?zhǔn)確快速做題很重要5.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是

A. B.C. D.參考答案：D將化簡可得，由得，當(dāng)時，，由題意知存在，，即，所以，由知，當(dāng)時，，，，…，所以選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，考查了三角函數(shù)的零點(diǎn)問題以及學(xué)生計算能力，難度一般；考查其性質(zhì)時，首先應(yīng)將其化為三角函數(shù)的一般形式，在化簡過程中應(yīng)注意降冪公式及輔助角公式的熟練運(yùn)用，易得，由的范圍，可得，即的取值范圍，解出，根據(jù)可得結(jié)果.6.橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為和，若該橢圓C與直線有公共點(diǎn)，則其離心率的最大值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.將函數(shù)f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關(guān)于對稱，則ω的最小值是(

)

A.6 B. C. D.參考答案：D8.若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.集合，，A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】交集的運(yùn)算A1B

解析：根據(jù)交集的定義易知，故選B.【思路點(diǎn)撥】直接利用交集的定義即可。10.（5分）已知一個長方體的同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為1，，2，則其外接球的表面積為（）A．2πB．4πC．6πD．8π參考答案：D【考點(diǎn)】：球的體積和表面積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：設(shè)出球的半徑，利用長方體的對角線就是球的直徑，求出球的半徑，即可得到球的表面積．解：設(shè)外接球半徑為r，利用長方體的對角線就是球的直徑，則（2r）2=12+（）2+22=8，故r2=2．則其外接球的表面積S球=4πr2=8π．故選D．【點(diǎn)評】：考查球的內(nèi)接多面體的知識，球的直徑與長方體的對角線的關(guān)系是解題的依據(jù)，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．本題是基礎(chǔ)題，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.底面邊長為、側(cè)棱長為的正四棱柱的個頂點(diǎn)都在球的表面上，是側(cè)棱的中點(diǎn)，是正方形的中心，則直線被球所截得的線段長為

．參考答案：略12.設(shè),,則的值是________.

參考答案：略13.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于

.

參考答案：略14.已知集合，記和中所有不同值的個數(shù)為．如當(dāng)時，由，，，，，得．對于集合，若實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，則________________參考答案：2n-3略15.在中，三邊，，所對的角分別為,,，若，則角的大小為_____________．參考答案：略16.某種產(chǎn)品的加工需要A，B，C，D，E五道工藝，其中A必須在D的前面完成（不一定相鄰），其它工藝的順序可以改變，但不能同時進(jìn)行，為了節(jié)省加工時間，B與C必須相鄰，那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有

種．（用數(shù)字作答）參考答案：24【考點(diǎn)】計數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；排列組合．【分析】由題意，B與C必須相鄰，利用捆綁法，結(jié)合A必須在D的前面完成，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，B與C必須相鄰，利用捆綁法，可得=48種方法，因?yàn)锳必須在D的前面完成，所以完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有48÷2=24種，故答案為：24．【點(diǎn)評】本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．17.（x+3）（1﹣）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為

．參考答案：43【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1﹣）5的展開式中通項(xiàng)公式Tk+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k即可得出．【解答】解：（1﹣）5的展開式中通項(xiàng)公式Tk+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．∴（x+3）（1﹣）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)=3+=43．故答案為：43．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)(2)試題分析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、最值等基礎(chǔ)知識及分類討論思想，也考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力及計算能力.第一問先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再把極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)求得實(shí)數(shù)a的值；第二問對任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價于對任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用導(dǎo)數(shù)分別判斷函數(shù)f(x)、g(x)的單調(diào)性并求其在定義域范圍內(nèi)的最值，判斷單調(diào)性時可對實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類討論，則可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．試題解析：(1)∵h(yuǎn)(x)＝2x＋＋lnx，其定義域?yàn)?0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，∵x＝1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a＝.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝時，x＝1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，∴a＝.(2)對任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價于對任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.當(dāng)x∈[1，e]時，g′(x)＝1＋＞0.∴函數(shù)g(x)＝x＋lnx在[1，e]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0①當(dāng)0＜a＜1且x∈[1，e]時，f′(x)＝＞0，∴函數(shù)f(x)＝x＋在[1，e]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合題意．②當(dāng)1≤a≤e時，若1≤x≤a，則f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，則f′(x)＝＞0.∴函數(shù)f(x)＝x＋在[1，a)上是減函數(shù)，在(a，e]上是增函數(shù)．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥.又1≤a≤e，∴≤a≤e.③當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時f′(x)＝＜0，函數(shù)f(x)＝x＋在[1，e]上是減函數(shù)．∴f(x)min＝f(e)＝e＋.由e＋≥e＋1，得a≥，又a＞e，∴a＞e.綜上所述，a的取值范圍為[，＋∞)．考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、最值；2.分類討論思想.19.在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=1，圓C的圓心是C（1，），半徑為1，求：（1）圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l被圓C所截得的弦長．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】（1）直接利用x2+y2=ρ2，ρcosθ=xρsinθ=y的關(guān)系式把直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，及把圓的直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程．（2）利用圓心和直線的關(guān)系求出直線被圓所截得的弦長．【解答】解：（1）已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=1，所以：即：x+y﹣=0．因?yàn)椋簣AC的圓心是C（1，），半徑為1，所以轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為：C，半徑為1，所以圓的方程為：轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為：（2）直線l的方程為：x+y﹣=0，圓心C滿足直線的方程，所以直線經(jīng)過圓心，所以：直線所截得弦長為圓的直徑．由于圓的半徑為1，所以所截得弦長為2．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，直線與曲線的位置關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題型．20.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ex﹣2（Ⅰ）求函數(shù)r（x）=x+x2f′（x）﹣2在區(qū)間（0，+∞）上的最小值（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得對?x∈（0，e]，f（x）≤k（x﹣1）≤g（x）？若存在，求出所有滿足條件的k，若不存在，說明理由．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）由已知求得r（x），再對r（x）求導(dǎo)得到其單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性求得其在（0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得lnx≤x﹣1，可得．然后討論在（0，e]上恒成立時k的取值．構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex﹣2﹣x+1，利用導(dǎo)數(shù)求得在（0，e]上h（x）min=h（2）=0，即h（x）=ex﹣2﹣x+1≥0，得到ex﹣2≥x﹣1．可得當(dāng)（0，e]時，對于k（x﹣1）≤g（x），在k=1時成立．由此可得存在唯一的k=1，使結(jié)論成立．解答： 解：（Ⅰ）由得r（x）=x﹣1﹣lnx，∴．∴當(dāng)0＜x＜1時，r′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，r′（x）＞0．∴r（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．∴rmin=r（1）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得lnx≤x﹣1，∴．討論在（0，e]上恒成立時k的取值．①當(dāng)1＜x≤e時，由，得恒成立，∵在（1，e]上單調(diào)遞減，∴，又恒成立，∴k≥1；②當(dāng)0＜x＜1時，由，得恒成立，∵在（0，1）上單調(diào)遞減，∴，又恒成立，∴k≤1；③當(dāng)x=1時，無論k取何值都恒成立，由①②③可得k=1．∴由恒成立可得k=1．設(shè)h（x）=ex﹣2﹣x+1，則h′（x）=ex﹣2﹣1，令h′（x）=ex﹣2﹣1=0，解得x=2．當(dāng)x∈（0，2）時，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，e]時，h′（x）＞0，∴在（0，e]上h（x）min=h（2）=0，即h（x）=ex﹣2﹣x+1≥0，∴ex﹣2≥x﹣1．∴當(dāng)（0，e]時，對于k（x﹣1）≤g（x），在k=1時成立．綜上所述，存在唯一的k=1使結(jié)論成立．點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．21.（本小題滿分14分）為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生20525女生101525合計302050（１）用分層抽樣的方法在喜歡打藍(lán)球的學(xué)生中抽６人，其中男生抽多少人？（２）在上述抽取的６人中選２人，求恰有一名女生的概率.（３）為了研究喜歡打藍(lán)球是否與性別有關(guān)，計算出，你有多大的把握認(rèn)為是否喜歡打藍(lán)球與性別有關(guān)？下面的臨界值表供參考：Ks5u0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：解：（１）在喜歡打藍(lán)球的學(xué)生中抽６人，則抽取比例為∴男生應(yīng)該抽取人.

…………４分（２）在上述抽取的6名學(xué)生中,女生的有2人，男生4人．女生2人記；男生4人為，則從6名學(xué)生任取2名的所有情況為:、、、、、、、、、、、、、、共15種情況，其中恰有1名女生情況有：、、、、、、、，共8種情況，故上述抽取的６人