湖南省株洲市第十五中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省株洲市第十五中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（

）．A． B． C． D．參考答案：B∵，時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)，∵有奇函數(shù)，∴為偶函數(shù)，∵，∴．畫(huà)出大致圖象可得到時(shí)．2.若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知y＝e3x－cosx，則y′等于

()

A．e3x－cosx

B．(3＋sinx)e3x－cosxC．e3＋sinx

D.參考答案：B略4.已知兩條直線(xiàn)和一個(gè)平面，若則與（

）．A．相交

B．異面

C．平行

D．以上都不對(duì)參考答案：C5.若多項(xiàng)式，則=（

）A、509

B、510

C、511

D、1022參考答案：B6.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（

）

A.

B.0

C.2

D.4參考答案：C7.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為=bx+a．若a=7.9，則x每增加1個(gè)單位，y就（）x34567y42.5﹣0.50.5﹣2A．增加1.4個(gè)單位 B．減少1.4個(gè)單位C．增加1.2個(gè)單位 D．減少1.2個(gè)單位．參考答案：B【考點(diǎn)】線(xiàn)性回歸方程．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由題意可得和，由回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（，）可得b值，可得答案．【解答】解：由題意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，∵回歸方程為=bx+a．若a=7.9，且回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（5，0.9），∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，∴x每增加1個(gè)單位，y就減少1.4個(gè)單位，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)性回歸方程，涉及平均值的計(jì)算和回歸方程的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．8.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且a6=b7，則有（）A．a(chǎn)3+a9≤b4+b10B．a(chǎn)3+a9≥b4+b10C．a(chǎn)3+a9≠b4+b10D．a(chǎn)3+a9與b4+b10的大小關(guān)系不確定參考答案：B【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)；8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出a6、b7，然后表示出a3+a9和b4+b10，然后二者作差比較即可．【解答】解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵a6=b7，∴a1q5=b1+6d，a3+a9=a1q2+a1q8b4+b10=2（b1+6d）=2b7=2a6a3+a9﹣2a6=a1q2+a1q8﹣2a1q5=a1q8﹣a1q5﹣（a1q5﹣a1q2）=a1q2（q3﹣1）2≥0所以a3+a9≥b4+b10故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．比較兩數(shù)大小一般采取做差的方法．屬基礎(chǔ)題．9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（

）A．

B．1

C．

D．參考答案：A10.如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為()．A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為

.

參考答案：略12.在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15＝________.參考答案：313.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A(yíng)處看到一個(gè)燈塔B在北偏東，行駛后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔距離為_(kāi)_________km.參考答案：14.如果實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足等式，那么的最大值是____▲____.參考答案：略15.如圖是某工廠(chǎng)對(duì)一批新產(chǎn)品長(zhǎng)度(單位：mm)檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為_(kāi)_____．參考答案：22.5根據(jù)頻率分布直方圖，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位數(shù)應(yīng)在20～25內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3+(x?20)×0.08=0.5，解得x=22.5；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.5.故答案為：22.5.點(diǎn)睛：用頻率分布直方圖估計(jì)總體特征數(shù)字的方法：①眾數(shù)：最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.16.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，得到如下的結(jié)論：①的單調(diào)遞減區(qū)間是；②無(wú)最小值，無(wú)最大值；③的圖象與它在（0，0）處切線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)；④的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

.參考答案：①④17.如圖，是以為圓心，半徑為的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用表示事件“豆子落在正方形內(nèi)”，表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內(nèi)”，則（）__________；（）__________．參考答案：（）（）圓面積，正方形面積，∴，∵表示事件“已知豆子落在正方形中，則豆子落在扇形”的概率，∴．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某城市隨機(jī)抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115（1）若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)API（記為ω）的關(guān)系式為：S=，試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元的概率；（2）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=

非重度污染重度污染合計(jì)供暖季22830非供暖季63770合計(jì)8515100參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39，即可求出概率；（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀(guān)測(cè)值的公式，代入數(shù)據(jù)做出觀(guān)測(cè)值，同臨界值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元”為事件A…由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39，…∴P（A）=…．（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如表：

非重度污染重度污染合計(jì)供暖季22830非供暖季63770合計(jì)8515100…．K2的觀(guān)測(cè)值K2=≈4.575＞3.841…．所以有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān)．…．19.如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大??；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說(shuō)明理由.參考答案：解法：本題主要考查直線(xiàn)和平面垂直、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴與平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時(shí)，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.

20.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且c=﹣3bcosA．（1）求的值；

（2）若tanC=．試求tanB的值．參考答案：【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（1）由余弦定理得c=﹣3b×，由此能求出的值．（2）由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，從而sinAcosB=﹣4sinBcosA，進(jìn)而tanA=﹣4tanB，由tanC=﹣tan（A+B）==，能求出tanB．【解答】解：（1）∵△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且c=﹣3bcosA．∴c=﹣3b×，整理，得：3（a2﹣b2）=5c2，∴=．（2）∵c=﹣3bcosA，∴由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，即sin（A+B）=﹣3sinBcosA．∴sinAcosB+cosAsinB=﹣3sinBcosA．從而sinAcosB=﹣4sinBcosA．∵cosAcosB≠0，∴=﹣4．∴tanA=﹣4tanB，又tanC=﹣tan（A+B）==，∴=，解得tanB=．21.已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線(xiàn)AP與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)P，它們的斜率之積為，求點(diǎn)P的軌跡方程（化為