第一章·有理數(shù)·第2課時·相反數(shù)和絕對值

初中數(shù)學(xué)第一章《有理數(shù)》“相反數(shù)和絕對值”培訓(xùn)教程知識點(diǎn)精講第一節(jié)：相反數(shù)若數(shù)軸上有這樣兩個數(shù)，位于原點(diǎn)的兩邊，一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)，符號相反，并且這兩個數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等。這兩個數(shù)就是一對相反數(shù)。問(1)：什么是相反數(shù)？答：符號相反，并且在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)。規(guī)定：0的相反數(shù)是0。如圖，－1和1，－2和2，－3和3，……，都是相反數(shù)。－5－4－3－2－1O12345問(2)：什么是相反數(shù)的幾何意義？答：如上圖，把數(shù)軸在原點(diǎn)處對折，互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)能互相重合，即關(guān)于原點(diǎn)對稱。即：數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)對應(yīng)的兩個數(shù)互為相反數(shù)。這就是相反數(shù)的幾何意義。問(3)：如何判斷兩個數(shù)互為相反數(shù)？答：由相反數(shù)的定義可知，相反數(shù)具有兩個特征：①符號相反，一正一負(fù)；②在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等。除規(guī)定“0的相反數(shù)是0”比如：―5和5，21和―21，―和，和―，―2和，1.1和－1，－和0.都互為相反數(shù)。（注：1.1=1，0.=，―2=―。）問(4)：什么是表示相反意義的兩個量？如何判定？答：表示相反意義的兩個量就是同一事物中，既可以用正負(fù)相反符號表示，又可以用意義相反的反義詞表示的兩個數(shù)。由定義可知，表示相反意義的兩個量需滿足三個條件：一是兩個量必須是同一事物，包含一對具有相反意義的詞，即反義詞；二是兩個量的符號相反，一正一負(fù)；三是兩個量的絕對值可以相等或不相等。滿足以上三個條件的兩個量就是表示相反意義的兩個量。比如：零上、零下的溫度數(shù)，高于、低于海平面的海拔數(shù)，收入、支出和盈利、虧損的金額數(shù)，前進(jìn)、后退的距離數(shù)，都是表示相反意義的兩個量。問(5)：表示相反意義的兩個量一定是相反數(shù)嗎？答：不一定。因?yàn)楸硎鞠喾匆饬x的兩個量，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可以相等，也可以不相等。若相等，則這兩個量既表示相反意義，同時又互為相反數(shù)。若不相等，則這兩個數(shù)值只是表示相反意義，不是相反數(shù)。比如：表示相反意義的兩個量高于、低于海平面的海拔數(shù)。海拔高度＋50米和－50米，這兩個數(shù)值的符號相反，一正一負(fù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)和原點(diǎn)之間的距離相等。同時這兩個數(shù)值表示的意義相反，一個是高于海平面50米，一個是低于海平面50米。所以，海拔數(shù)＋50和－50既是表示“相反意義”的兩個量，又互為相反數(shù)。若海拔高度是＋50米和－40米，則這兩個數(shù)值在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)和原點(diǎn)之間的距離不相等。所以，＋50和－40只是表示相反意義的兩個量，不是相反數(shù)。問(6)：如何求一個數(shù)的相反數(shù)？答：①若此數(shù)是正數(shù)，則在其前面添上一個“－”號，就得到其對應(yīng)的相反數(shù)。因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個數(shù)符號相反，所以正數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù)。比如：11、、1、1.的相反數(shù)分別是－11、－、－1、－1.。②若此數(shù)是負(fù)數(shù)，將其前面的“－”號去掉，就得到其對應(yīng)的相反數(shù)。因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個數(shù)符號相反，所以負(fù)數(shù)的相反數(shù)一定是正數(shù)。比如：—、－、－17、－1.1的的相反數(shù)是分別是、、17、1.1。③若此數(shù)是代表數(shù)的非0字母a，則a對應(yīng)的相反數(shù)是－a，－a對應(yīng)的相反數(shù)是a。④若此數(shù)是0，規(guī)定“0的相反數(shù)是0”第二節(jié)：絕對值已知數(shù)軸上任意一個數(shù)，它在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是這個數(shù)的絕對值。－abOa問(1)：什么是一個數(shù)的絕對值？答：數(shù)軸上任意一個數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值。絕對值用符號“︱︱”表示。如上圖，數(shù)軸上任意一個數(shù)－a、b、a，其絕對值用符號記作︱－a︱、︱b︱、︱a︱。問(2)：什么是絕對值的幾何意義？答：任意一個數(shù)的絕對值其實(shí)就是這個數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)和原點(diǎn)之間的線段長。線段越長，絕對值越大。線段越短，絕對值越小。線段相等，絕對值相等。即：距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的數(shù)的絕對值越大，距離原點(diǎn)越近的數(shù)的絕對值越小，距離原點(diǎn)相等的數(shù)的絕對值相等。這就是絕對值的幾何意義。如上圖，數(shù)軸上的兩數(shù)a和－a和原點(diǎn)之間的距離相等，則︱a︱=︱－a︱。兩數(shù)a和－a和原點(diǎn)之間的距離都大于數(shù)b，則︱a︱＞︱b︱，︱－a︱＞︱b︱。問(3)：如何求一個數(shù)的絕對值？答：依據(jù)以下法則求一個數(shù)的絕對值：①若a為正數(shù)，其絕對值是其本身，即=a，比如：︱3︱=3，︱︱=；②若a為負(fù)數(shù)，其絕對值是其本身的相反數(shù)，即=－a，比如：︱－3︱=3，︱－3︱=3；③若a=0，規(guī)定：0的絕對值是0，即：︱0︱=0。問(4)：如何比較兩個數(shù)的絕對值大??？如何比較數(shù)軸上代表數(shù)的字母的絕對值大??？答：①如何比較兩個數(shù)的絕對值大??？依據(jù)求一個數(shù)的絕對值法則，先求出這兩個數(shù)的絕對值，再按得數(shù)的大小關(guān)系比較大小。1)比較正數(shù)和正數(shù)的絕對值大?。罕热纾罕容^︱6︱和︱︱的絕對值大小。解：∵正數(shù)的絕對值是其本身?！唳?︱=6，︱︱==5?！?>5?！唳?︱＞︱︱。2)比較負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的絕對值大?。罕热纾罕容^︱—3︱和︱—3︱的絕對值大小。解：∵負(fù)數(shù)的絕對值是其本身的相反數(shù)。∴︱－3︱=－(－3)=3，︱－3︱=－(－3)=3?！?<3?！唳颉?︱＜︱—3︱。3)比較正數(shù)和負(fù)數(shù)的絕對值大?。罕热纾罕容^︱—80︱和︱75︱的絕對值大小。解：∵負(fù)數(shù)的絕對值是其本身的相反數(shù)，正數(shù)的絕對值是其本身?！唳颍?0︱=－(－80)=80，︱75︱=75?！?0＞75?！唳颉?0︱＞︱75︱。②如何比較數(shù)軸上代表數(shù)的字母的絕對值大??？由絕對值的幾何意義可知：距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的字母的絕對值越大，距離原點(diǎn)越近的字母的絕對值越小，距離原點(diǎn)相等的字母的絕對值相等。－mnOm如圖，數(shù)軸上的兩數(shù)m、－m和原點(diǎn)之間的距離相等，則︱m︱=︱－m︱。兩數(shù)m和－m和原點(diǎn)之間的距離都大于數(shù)n，則︱m︱＞︱n︱，︱－m︱＞︱n︱?！纠恳阎坏扔?的三個數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)，比較其相反數(shù)的絕對值大小。x0zy分析：先比較三個數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離遠(yuǎn)近，由此得出絕對值︱x︱、︱y︱、︱z︱的大小。因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，則︱x︱=︱－x︱、︱y︱=︱－y︱、︱z︱=︱－z︱。通過代換即可比較︱－x︱、︱－y︱、︱－z︱的大小。解：觀察數(shù)軸，可以發(fā)現(xiàn)：z距離原點(diǎn)0的距離最近，所以︱z︱最小。y距離原點(diǎn)0的距離比z和x都遠(yuǎn)，所以︱y︱最大。x距離原點(diǎn)0的距離距離比z遠(yuǎn)，比y近。由此可知：︱z︱＜︱x︱＜︱y︱。由相反數(shù)的定義可知：x、y、z的相反數(shù)分別是－x、－y、－z。則：︱x︱=︱－x︱︱y︱=︱－y︱、︱z︱=︱z︱。代換得：︱－z︱＜︱－x︱＜︱－y︱。典型題型精編解析選擇題：1.下列幾組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）A.－和0.7B.和－0.333C.―(―6)和6D.－和0.25【答案】D【解析】互為相反數(shù)需滿足兩個條件：一是符號相反，一正一負(fù)；二是到原點(diǎn)的距離相等，即絕對值相等。A、B項(xiàng)符號相反，但絕對值不相等。C項(xiàng)中的―(―6)表示―6的相反數(shù)，即―(―6)=6。6和6的絕對值相等，符號相同，不是相反數(shù)。故A、B、C錯誤。D項(xiàng)符號相反，且絕對值相等，符合相反數(shù)的定義。故選D。2.已知數(shù)a、b，且a＜0，b＞0，若|a|＞|b|，則以下大小關(guān)系成立的是（）A.a＜－b＜－a＜bB.－b＜a＜b＜－aC.－b＜－a＜b＜aD.a＜－b＜b＜－a【答案】D【解題思路】由a＜0，b＞0可知：a在原點(diǎn)0的左邊，b在原點(diǎn)0的右邊。由|a|＞|b|可知：a到原點(diǎn)0的距離比b遠(yuǎn)。再由相反數(shù)的定義，把－a、－b在數(shù)軸上表示出來。按數(shù)軸上的數(shù)“左小右大”的分布規(guī)律即可比較大小。3.下列既是具有相反意義的量，又是相反數(shù)的是（）A.超過6千米和不足6千米B.節(jié)約10噸和消費(fèi)10噸C.身高增加2厘米和體重減少2千克D.前進(jìn)5米和后退4米【答案】A【解析】相反數(shù)需滿足兩個條件：一是符號相反，一正一負(fù)；二是到原點(diǎn)的距離相等，即絕對值相等。具有相反意義的量需滿足三個條件：一是量必須是同一事物，包含一對具有相反意義的詞，即反義詞；二是量的符號相反，一正一負(fù)；三是量的絕對值可以相等或不相等。B項(xiàng)中，量的絕對值相等，但“節(jié)約”和“消費(fèi)”不是一對反義詞，“節(jié)約”和“浪費(fèi)”是反義詞。C項(xiàng)中，量的絕對值相等，但“身高”和“體重”不是同一事物。D項(xiàng)的“前進(jìn)”和“后退”都是長度，且是一對反義詞，但量的絕對值不相等，不是相反數(shù)。A項(xiàng)中的“超過”和“不足”都是長度，且是一對反義詞，同時量的絕對值相等，既是相反意義的量，又是相反數(shù)。故選A。4.已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（）A．a(chǎn)＜－1＜0B．1＜|a|＜bC．a(chǎn)＜1＜bD．1＜b＜|a|【答案】D【解題思路】①如圖，由橫軸上的數(shù)“左小右大”的分布規(guī)律可知：A、C項(xiàng)正確。②如圖，由數(shù)的絕對值定義可知：|a|＞|－1|，即|a|＞1。又：|a|＜|b|?！遙＞0，|b|=b?！鄚a|＜b?！?＜|a|＜b。故B項(xiàng)也正確。③得出答案：D項(xiàng)錯誤，選D。填空題：1.若數(shù)a?和?b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)相距6個單位長度，如果a=－2，則b的值為________?！敬鸢浮?或－8【解題思路】以橫軸為例，縱軸同理。分兩種情況討論。①b在a的右邊：數(shù)a=－2，a在數(shù)軸的負(fù)半軸上。|a|=2，即數(shù)a到原點(diǎn)0的距離是2個單位長度。已知：a?和?b相距6個單位長度。所以，以原點(diǎn)0為起點(diǎn)，向右數(shù)4個單位長度，即得到數(shù)b。即：b=4。②b在a的左邊：數(shù)a=－2，b在a的左邊，則a、b都在數(shù)軸的負(fù)半軸上。已知：a?和?b相距6個單位長度。則：以數(shù)a為起點(diǎn)，向左數(shù)6個單位長度，即得到數(shù)b。已知：數(shù)a到原點(diǎn)0的距離是2個單位長度。所以，數(shù)b到原點(diǎn)0的距離是8個單位長度，即b=－8。2.若數(shù)a絕對值的相反數(shù)是其本身，則a的取值范圍是_________；若數(shù)a相反數(shù)的絕對值是其本身，則a的取值范圍是_________。【答案】a≤0；a≥0【解析】由已知得：－|a|=a。當(dāng)a=0時，|0|=0，則－|0|=0，等式成立。當(dāng)a＜0時，|a|=－a，則－|a|=a，等式成立。當(dāng)a＞0時，|a|=a，則－|a|=－a，等式不成立。則a≤0；由已知得：|－a|=a。當(dāng)a=0時，－0=0，則|－0|=0，等式成立。當(dāng)a＞0時，則－a＜0，|－a|=a，等式成立。當(dāng)a＜0時，則－a＞0，|－a|=－a，等式不成立。則a≥0。3.數(shù)軸上點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是－3，點(diǎn)B、C對應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，且點(diǎn)A、B之間的距離為8，則點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是_______。【答案】11或－5【解題思路】以橫軸為例，縱軸同理。分兩種情況討論：①點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊：a=－3，則點(diǎn)A、B都在數(shù)軸的負(fù)半軸上。如下圖，要滿足已知條件“點(diǎn)A、B之間的距離為8”，則以點(diǎn)A為起點(diǎn)，向左數(shù)8個單位長度，得到點(diǎn)B。已知：點(diǎn)A距離原點(diǎn)有3個單位長度。則：點(diǎn)B距離原點(diǎn)有3＋8=11個單位長度，對應(yīng)的數(shù)是－②是點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊：如下圖，已知：a=－3，點(diǎn)A距離原點(diǎn)有3個單位長度。要滿足已知條件“點(diǎn)A、B之間的距離為8”則：點(diǎn)B距離原點(diǎn)有5個單位長度，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是5，其相反數(shù)為－5。4.如圖，四個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)M、P、N、Q，若點(diǎn)M、N表示的數(shù)互為相反數(shù)，則圖中絕對值最小的數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)是_______；若點(diǎn)M、P表示的數(shù)互為相反數(shù)，絕對值最大的數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)是_______?！敬鸢浮縋點(diǎn)；Q點(diǎn)【解析】若點(diǎn)M、N表示的數(shù)互為相反數(shù)，因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，則原點(diǎn)0一定是MN的中點(diǎn)。此時，如圖1，點(diǎn)P距離原點(diǎn)0最近，則點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)的絕對值最小。若點(diǎn)M、P表示的數(shù)互為相反數(shù)，，因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，則原點(diǎn)0一定是MP的中點(diǎn)。此時，如圖2，點(diǎn)Q距離原點(diǎn)0最近，則點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)的絕對值最大。圖1圖2解答題：1.已知|a|=5，|b|=4，且a＜b。(1)求a和b的相反數(shù)之和；(2)設(shè)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別是A、B。①如圖，若a=－5，點(diǎn)A不動，點(diǎn)B在數(shù)軸上如何移動，使點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)？②如圖，若b=4，點(diǎn)B不動，點(diǎn)A在數(shù)軸上如何移動，使點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)？【答案】(1)求a和b的相反數(shù)之和；解：由已知|a|=5，|b|=4得：a=5或―5，,b=4或―4。因?yàn)閍＜b，則a=―5，b=―4或4。當(dāng)b=―4時，a和b的相反數(shù)之和=(―5)＋(―4)=―9。當(dāng)b=4時，a和b的相反數(shù)之和=(―5)＋4=―1。(2)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別是A、B。①若a=－5，點(diǎn)A不動，點(diǎn)B在數(shù)軸上如何移動，使點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)？解：點(diǎn)A不動，a=―5，相反數(shù)=5?！郻=4時，點(diǎn)B在數(shù)軸上向右移動1個單位長度，得到數(shù)5。b=－4時，點(diǎn)B在數(shù)軸上向右移動9個單位長度，得到數(shù)5。②若b=4，點(diǎn)B不動，點(diǎn)A在數(shù)軸上如何移動，使點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)？解：點(diǎn)B不動，b=4，相反數(shù)=―4?！帱c(diǎn)A在數(shù)軸上向右移動1個單位長度，得到數(shù)―4。2.數(shù)軸上數(shù)a到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)b之間的距離記作|a－b|。這就是|a|和|a－b|表示的幾何意義。依據(jù)以上知識，回答下列問題：(1)解釋絕對值|x－2|和|x＋1|表示的幾何意義；(2)若|x－2|＋|x＋1|=3，求此時x能取到的最小和最大整數(shù)值?！敬鸢浮?1)解釋絕對值|x－2|和|x