考研頂級名師吐血編寫數(shù)學(xué)完美公式手冊版1加

一、高等數(shù) (一)函數(shù)、極限、連 (二)一元函數(shù)微分 (四)向量代數(shù)和空間解析幾 16 (六)多元函數(shù)積分 (七)無窮級 (八)常微分方 二、線性代 (一)行列 (二)矩陣 (三 向量 (四)線性方程 (五)矩陣的特征值和特征向 (六)二次 三、概率論與數(shù)理統(tǒng) (一)隨 (二) (三 (四) (五)大數(shù)定律和中心極限定 (六)數(shù)理統(tǒng)計的基本概 (七)參數(shù)估 (八)假設(shè)檢 經(jīng)常用到的初等數(shù) 平面幾

(?)、定理、概 xy有一個確定的值與之對應(yīng)，yxyf(x)基本初等函數(shù)包括五類函數(shù)yaxa0a1對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1三角函數(shù):ysinxycosxytanx等反三角函數(shù):yarcsinxyarccosxyarctanx等數(shù)數(shù)列極限1limf(x)= f-(x0)=f+(x0)=xfi2limf(x) f(x0)Aa(x其中l(wèi)ima(x)xfixfi3(保號定理設(shè)limf(x)A,又A0(或A0),則$一個d0xfi當(dāng)x?(x0-dx0+d),且xx0時，f(x)0(或f(x)與函數(shù)極限的定義函數(shù)的左極限與右設(shè)lima（x0limb(x1小的性質(zhì)及無窮小)小的性質(zhì)及無窮小)記為)記為a(x)bksinx arcsinx 1-cos tan arctanx (1+x)n- ex- limf(xAlimg(xB.lim(f(x)–g(x))=A–Blimf(x)g(x)=ABlimf(x)=A(B? 界準(zhǔn)則和兩個重要limj(xlimf(xA則limf(xxfixfixfisin (2)lim(1+x)x=xfi xfia0,n=重 axn+axn-1++ax+ lim0 1m- n=0,n<xfi￥bx+b x+ limnn limarctanx=nfi xfi limarctanx=- limarccotx=xfi- xfilimarccotx= limex=xfi- xfi-limex=￥, limxxxfi xfi數(shù)的連續(xù)上連續(xù)函f(x)￡M. 設(shè)函數(shù)f(x)在xx0處可導(dǎo)，則f(x)在M(x0y0)y-y0fx0xx0法線方程:y-y=- (x-x),f'(x)? f'(x 0四則運算法則:設(shè)函數(shù)uu(x)vv(xx d(u–v)=du– d(uv)=udv+(3)(u)￠=vu￠-uv￠(v?0) d(u)=vdu-udv y=c（常數(shù) dy=y=xa(a為實數(shù) dy=axa-y= y￠=axln dy=axln特 d(ex)=exy￠=1 dy=1dxxlna xlna特例y=ln (lnx)￠= d(lnx)=1 y=sin d(sinx)=cosy=cos y￠=-sin d(cosx)=-siny=tan y￠= =sec2 d(tanx)=sec2cos2y=cot y￠=- =-csc2 d(cotx)=-csc2 sin2y=sec d(secx)=secxtany=csc y￠=-cscxcot d(cscx)=-cscxcoty=arcsin d(arcsinx) 1- 1-y=arccos y￠=- d(arccosx)=- 1- 1-f(b)(M與最小值m)之間的任一實數(shù),則在[a,b]上至少$一個x,使得f(x)m.(a￡x￡b)續(xù),f(af(b)0,則在(ab)內(nèi)至少$一個x,使得(二)1導(dǎo)數(shù)定義：f'(xlimf(x0xf(x0 f'(x)=limf(x)-f(x0 xfix-02f(xx0處的左、右導(dǎo)數(shù)分別定義為：f￠(x)limf(x0Dxf(x0)limf(xf(x0xxDx- Dxfi xfix- f+￠(x0)=limf(x0+Dx)-f(x0)=limf(x)-f(x0Dxfi xfix-Th1:函數(shù)f(x)在x0處可 f(x)在x0處可Th2:yf(xx0yf(xx0處連續(xù)，反之則Th3:f￠(x0)存 y=arctan y￠=1+y=arccoty=arctan y￠=1+y=arccot y￠=-1+y= y= dd(shx)d(chx)x)=11+x)=-11+1反函數(shù)的運算法則:yf(xx的某鄰域內(nèi)單調(diào)連ydydx2復(fù)合函數(shù)的運算法則:mj(xx可導(dǎo),yf(m)導(dǎo),且y￠=f￠(m)j￠(x)y y—階微分形式的不(ax)(n)=axlnna(a>(sinkx)(n)=knsin(kx+np2(coskx)(n)=kncos(kx+np2(ex)(n)=e（4）(xm)(n)=m(m-1)(m-n+1)xm-（5）(lnx)(n)=(-1)(n-1)(n-（6）萊布尼茲：若u(x),v(x)均n階可導(dǎo)，n(uv)(n)ciu(iv(n-i)，其中u(0)=uv(0)nTh1(費馬定理)f(xf(x￡f(x0f(xf(x0fxx0處可導(dǎo),則有f￠x00Th2羅爾定理)設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：在(ab內(nèi)可導(dǎo)，則在(ab內(nèi)$一個x，使f￠(xTh3拉格朗日中值定理)f(x(1)在[ab]上連續(xù)；(2)在(ab)內(nèi)可導(dǎo)；則在(ab)內(nèi)$x，b-aTh4柯西中值定理)f(xg(x則在(a,b)內(nèi)$一個x， f(b)-f(a)=fg(b)- g0xfixfif 存在(或￥).limf(x)=limf 00xfi xfilimf(x)=limf.￥ xfixfi . :f(xx0處的某鄰域內(nèi)具有n+1個x，使得f(x)=f(x)+f￠(x)(x-x)+1f￠(x)(x-x)2+ f(n)(x 0(x-x)n+R(x) f(n+1)其中Rn(x) (x-x)n+1稱為f(x)在點x0處的n (n f(x f(0 f(0) 1f(0)x2 f(n)(0)x R(x) + n 其 f(n+1)R(x) xn+1，x在0與x之間.(1)式稱為 (n 1 1 e=1+x+2!x++n!x+(n+1)! 1或=1+x x2+ xn+o(xn nsin x1x np xn n+1=- ++n!sin2+(n+1)!sin(x+2p或 13 xn x-3!x++n!sin2+o(x x np xn n+1cosx=1- x2++ cos cos(x+ n! (n+1)! 1 np =1-x++ +o(x) 1 1 n-1x (-1)nxnln(1+x)=x-2x+3x-+(- n+(n+1)(1+x)n =-1+1-+-x ( o(x (1+x)m=1+mx+m(m-1)x2++m(m-1)(m-n+1) n(n(1+x)m=1+mx+m(m-1)x2++m(m-1)(m-n+1)xn+o(xnnTh1f(x在(ab區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果對x?(abf'(x（f'(x0f(x在(ab內(nèi)是單調(diào)增加的（或單調(diào)減少 Th3(拐點的判別定理2)設(shè)f(x)x0f''(x)0f'''(x)0，則(x0f(x0dS=1y'2曲率：曲線y=f(x)在點(x,y)處的曲率k y (1+y'2對于參數(shù)方程xj(t),kj'(t)y''(t-j''(t)y'(t) y=y M處的曲率k(k0)Mrr=kf'(x00Th3（取極值的第一充分條件）f(xx0的某一鄰域內(nèi)可微，f'(x00（f(x)x0處連續(xù)，但f'(x0不存在.）))f'(xxx0f(x0不是極值Th4(取極值的第二充分條件設(shè)f(x)在點x0處有f''(x)0，且f'(x00f''(x00f(x0f''(x00f(x0為極小值.注：如果f''(x0)＝0，此方法失效.2水平漸近 若limf(x)=b，或limf(x)=b，則y=xfi xfi-yf(x的水平漸近線鉛直漸近 若limf(x)=￥，或limf(x)=￥，則x=xfixfiyf(x的鉛直漸近線斜漸近 若a=limf(x),b=lim[f(x)-ax]，xfi xfiyaxbyf(x3Th1(凹凸性的判別定理）If''(x0（f''(x)0，則f(x)在I上是凸的（或凹的）.Th21)x0f''(x0f''(x在當(dāng)xx0f''(x變號，則(x0f(x0為拐點1kf(x)dxkf （k0為常數(shù)2[f1(x)–f2(x)––fk(x)]dx=f1(x)dx–f2(x)dx––fk3求導(dǎo)：[f(x)dx]'=f 或微分：df(x)dx=f4F'(x)dxF(xC或dF(x)F(xC（C是任意常數(shù)xkdx=1xk+1+ （k?-k1 1 =-+ dx=2x+ 1dx=lnx+Cxaxdx=a+C(a>0,a? exdx=ex+ cosxdx=sinx+ sinxdx=-cosx+1dx=sec2xdx=tanx cos2 1dx=csc2xdx=-cotx+ sin2 1dx=cscxdx=lncscx-cotx+ sin 1dx=secxdx=lnsecx+tanx+ cossecxtanxdx=secx+tanxdx=-lncosx+

cscxcotxdx=-cscx+cotxdx=lnsinx+

=1arctanx+

=arctanx+a2+ 1+a2-

=arcsinx+a

1-

=arcsinx+

=1lna+x+

=1ln1+x+a2-

a-

1-

1- =lnx+x2–a2+Cx2–a2(1)設(shè)fx)在-ll] f(x)dx=[f(x)+f(-x- 0fx）=

fxdx,fx）T（2）fx）T為周期的連續(xù)函數(shù)，a為任意實數(shù)，則T

f(x)dx=

f(x)dx=-

f(x) a2-x2dx=1pan-n-1n- 1 n222,n為偶數(shù)(4)0sinxdx=0cosxdxn-1n- 1,n為奇數(shù) n- 2 p,n=（5）-psinnxcosmxdx=0sinnxcosmxdx=0,n? -psinnxcosmxdx=0sinnxcosmxdx= p,n=-pcosnxcosmxdx=0cosnxcosmxdx=0=0,n?1 af(x)dx=af(t)dt=af(u)du af(x)dx=-bfbadx=b- af(x)dx=af(x)dx+cf 比較定理：設(shè)f(x)￡g(xx?[ab],則af(x)dx￡ab推論：1.當(dāng)f(x0,x?[ab]時，f(x)dxa 2.|af(x)dx|￡a|f(x)估值定理：設(shè)m￡f(x)￡Mx?[ab其中mMbm(b-a)￡af(x)dx￡M(b-

fj(t)在［ab］j'(t)2ja)ajb)b.并且當(dāng)t在［ab］上變化時， f(x)dx f[j(t)]j'(t)dtaua abu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|b-bv(x)u'(x)dx(1)a2+b2? (2)a>0,a+1?a?

f(x)g(x)dx)2 f2( g2 其中fx）（x）在［ab］1函數(shù)f(x)含根 a2- x=asina2+ x=atanx2- x=asecb使af(x)dx(baff(x1bf b-a公式Th1設(shè)函數(shù)fx）在[a，b]上連續(xù)，x?[a，b]xFx)dFx)dxf(tdt)=fx j(x推論 設(shè)F(x)= f(t)dt,則F'(x)=f[j(x)]j'(x推論2(j(x)f f[j(x)]j f[f(x)]fx f(xj(x j(x 推論3( f(t)g(x)dt)x=(g( f(t)dt)j(x=g'(x) f(t)dt+g(x)f[j(x)]j'(xTh2設(shè)fx)a,b]上連續(xù)，x?[abxafx)dt是fx)在[a,b]上的一個原函數(shù)Th3牛頓-萊布尼茨:設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)F是f(xbfxdxFx)|bF(b)Fa 1udvuvvdu選擇u，dvf(uduF(u)Cf[jx)]j'(xdxf[jx)]djx設(shè)uj(x)f(u)duF(uCF[j(x (1)x(1)x-adx=Aln|x-a| dx=- +C(n?(x-a n-1(x-a)n-p 令x+ 2fi(x2+px+q)n 4q-p2 4q-p[(x+)2+ 4=a dx=- (x2+ 2(x2+（p2-4q<04（1）無窮限的廣義積分（無窮積分f １.+￥f(x)dx= bf( fi -f(x)dx=limaf( afi- f(x)dx= f(x)dx+ f(x - （2）函數(shù)的廣義積分（瑕積分bfx)dxlimb-efxdx當(dāng)xfib-fx)fi￥efi0b2fxdx=lim fxdx,(xfia+時，fx）fi￥ efi0a+ c- ３.af(x)dx=lim f(x)dx+limchf(x)dxefi hfi0 (xfic時，（fx）fi￥axiyjzk{xyza=x2y24Ⅰ加減運 設(shè)有矢量a={x1,y1,z1}，b={x2,y2,z2}，a–b={x1–x2,y1–y2,z1–Ⅱ.數(shù)乘運 數(shù)乘運算D矢量a與一數(shù)量l之積la l=0,即為零矢 設(shè)a={x,y,z}， 11 laal0,即與ala={lx1,ly1,矢量的數(shù)積（點積，內(nèi)積 a{x1y1z1}b{x2y2z2abx1x2y1y2矢量的向量積（叉積，外積a與b，若$一個矢量cc=absin(a,b)c^ac^b，即c垂直于ab（3）a，b，c成右手系.則稱矢量c為矢量a與b的矢量積，記caa{x1y1z1}b{x2y2z2 j yzxz xya·b=xy =11i-11j+1111 y x xxy 2 223混合積：設(shè)有三個矢量abc，若先作a，b的叉積a·b，再與c作點積(a·b)c，則這樣的數(shù)積稱為矢量a，bc的混合積，記為(abc)即(a,b,c)=(a·b)c.x1y1則(abcx2y2zx3y3兩向量垂向量的坐標(biāo)表達式方向數(shù)與1（1）a^ ab= x1x2+y1y2+z1z2=0 a// a·b= = ab不共線$不全為零的數(shù)lm使lamb0cos(= x1x2+y1y2+ab x2+y2+z x2+y2+z （5）abc共面$不全為零的數(shù)lmv21的向量.向量a的單位向量記作a0 a0=a= x2+y2+z x2+y2+z x2+y2+z2 ,cosg x2+y2+ x2+y2+ x2+y2+ab,g為向量a與各坐標(biāo)軸正向的夾角cos2a+cos2b+cos2g,其中曲面方程和空間曲線方程的1個坐標(biāo)不出現(xiàn)，則平面就平行于該坐標(biāo)軸，例如平面平面的點法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)= M(x0,y0,z0x-x1y-y1z-三點式方程x2x1y2y1z2x3-x1y3-y1z3-直線與直線的以及到平面和點到直線 A2+B2+C2A2+BA2+B2+C2A2+B2+C A2+B2+C2l2+m2+l2+m2+n2l2+m2+ (4)截距式方(4)截距式方 x+y+z=1，a,b,c分別為平面上坐標(biāo)軸 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,2一般式方程(兩平面交線)：A1x+B1y+C1x+D1= 平面 jn2{A2B2C2}sn1·n2A1B1A2B2 M(xyz 00 x-x1=y-y1=z-x2- y2- z2-x=x0+參數(shù)式方程y=y+ M(x,y,z)為直線上已 00z=z+ A2x+B2y+C2z+D2=平面p//平面 A1=B1=C1 平面p1^平面 A1A2+B1B2+C1C2=(3)平面p1與平面p2的夾角q= L//L^Al+Bm+Cn=A=B= (3L與p的夾角qsinqAl5x- y-11l==z-11m1n1Lx-22l=y-m2=2z-n222(1)L// l1=m1= L1^ l1l2+m1m2+n1n2=直線L1L2的夾角q，由下式確dAx0+Ax0+By0+Cz0+A2+B2+C考 友情提

L:xL:x-x1yy1z-z1 x0-x1y0-y1z0-z1MM·MP d=10 = M1 l2+m2+準(zhǔn)線為G:f(x,y)0,母線z = = =準(zhǔn)線為G: l,首先在準(zhǔn)線上任取一點(xyz)則過點(xyz)的母線方程為X-x=Y-y=Z- 其中X,YZ為母線上任一點的流動坐標(biāo),消去方程組

f(x,y,z)=X- Y- Z- = = x2+y2=線方程

1 1+ 1x2-y21

zx2+y2+z2

abc均為正數(shù)

bx zf(x,yzf(x,y連續(xù)，可導(dǎo)（兩偏導(dǎo)存在）可導(dǎo)可微fi?fiDz-f'(x,y)Dx-f'(x,ylim 是否為0rfi 元函數(shù)的Th1(求偏導(dǎo)與次序無關(guān)定理設(shè)zfx,y)的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)fx,y),fx, 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)則有fx,y)fx, ?x Th3(偏導(dǎo)存在與可微的關(guān)系定理z=fx,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)?z,?zPx,y?x上的某領(lǐng)域內(nèi)存在,且在Pxy)z=fx,y)Px,y)點處可微和充分條多元復(fù)合1 ?z ?z?x=(1)設(shè)z=f(u,v),u=j(x,y),v=f(x,y),則 ?u ?v?z=?z?u+?z ?u ?v(2)設(shè)zf(uvuj(xv則dz=?zdu+?zdv,稱之為z的全導(dǎo)數(shù)dx?udx ?vdx數(shù)的求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)和梯 +- abc均為正數(shù)-x2-y2+z2 abc均為正數(shù)x2+y2=2pz ab,p為正數(shù)x2-y2 2ab,p均為正數(shù)(又名馬鞍面x2+y2-z2xz 0abc為正數(shù) ??z=?f+?f?u+?f則 ?u ?v ?f ?f=0 ?u ?v用數(shù)字1，2，3……表示更簡潔.2設(shè)F(xy0,dyF'x(x F'y(x,F(xyz0,則?zF'x(xyz?zF'y(xy F'z(x,y,z) F'z(x,y,設(shè)由方程組F(x,y,z)=0確定的隱函數(shù)yy(xz則dydzdydzdx dxF'+F'dy+F'dz= F'dy+F'dz=-F' y z y z G'+G'dy+G'dz= G'dy+G'dz=-G y z y z Th1設(shè)z=f(x,y)在M0(x0,y0)處可微，則f(x,y)在點M0(x0,y0)沿任意 l=(cosa,cosb ?f(x0,y0)=?f(x0,y0)cosa+?f(x0,y0)cos 在平面上ll=(cosq,sinq)，q是l的極角，q?[0,2p]此時相應(yīng)的方向?qū)?為?f(x0,y0)=?f(x0,y0)cosq+?f(x0,y0) Th2設(shè)三元函數(shù)uf(xyzM0x0y0z0?f(x0,y0,z0)=?f(x0,y0,z0)cosa+?f(x0,y0,z0)cos +?f(x0,y0,z0)cos梯度：z=f(x,y)在點M0的方向?qū)?shù)計算可改寫?f(x0,y0)=(?f(x0,y0),?f(x0,y0)(cosa,cosb =grad(f(x0,y0))l=gradf(x0,y0)cosgrad(f(x0,y0gradf(xy?f(x0y0?f(x0y0))0 zf(xyM0的梯度(向量?f(x0y0隨llgradf(x0y0) grad(f(x0,y0gradf(x0y0曲線yy(t)在(xyz?t 00 z= G(x,y,z)=（x0x- y- z-切線方程 = 0= ?(F,G) ?(z, ?(x, ?(F,G)（x-x)+?(F,G)（x-x)+?(F,G)(y-y)+?(F,G)(z-z)= ?(z, ?(x, 切 ?z(x-x)+?z(y-y)-(z-z)=面方程 ?x ?y法 x-x0=y-y0=z- ?x p 法 x-x0 y- z-方程 F'x F'y F'z1多元函數(shù)的極值內(nèi)異于P(x0,y0)點的任一點Q(x,y)恒有則稱f(x0y0為f(xy)(極大值T1取極值的必要條件zfx,y)Px0y0點的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，且f'(x,y)=P(x,y)是z=f(x,y)的極值點，則 fy(x0,y0)=Th2函數(shù)取極值的充分條件zfx,yPx0y0點的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),且f'xx0,y0)0fyx0y0)[f"xy(x0,y0)]2-f"2(x,y)f"2(x,y)< 0 0則P(x0y0是zf(xy)(1)若f2xy0(或f"2xy0則P(xy) 0 0 0(2)若f2xy0(或f2xy0),則P(xy)為極大值點。2 0 0 0值(1)求出zf(xy)的駐點（x0y0zf(xy)3條件極值（拉格朗日乘數(shù)法解題程序令F(x,y)=f(x,f'x(x,y)+lj'x(x,y)=解方程組f'(x,y)+lj'(x,y)= 求駐點(x,y 0j(x,y)=f(x0y0即為f(xy)的極值（存在的話 令F（xyzlj（xyz);f'x(x,y，z)+lj'x(x,y,z)=f'(x,y,z)+lj'(x,y,z)=解方程組 f'(x,y,z)+lj'(x,y,z)= 1）2[f(x[f(x,y)–g(x,y)]ds=f(x,y)ds–g(x, nf(xy)dsf(xy)ds其中DiD i=1D若在D上恒有f(x,y)￡g(x,y),則f(x,y)ds￡g(x, (6)(估值定理）設(shè)Mm分別為f(x,y)在閉域D上的最大與最小值A(chǔ)為D的面積，則mA￡f(x,y)ds￡MAD(7)(中值定理）若f(xy)在閉域D上連續(xù)，A為D的面積，則在D上至少$一點（x，h），使f(x,y)ds=f(x,h)AD(8)二重積分的1）如果積分域D關(guān)于x軸對稱，f(x,y)為y則二重積分f(xD0,f關(guān)于y為奇函數(shù)，即f(x-y)f(x,2f(xy)dsf關(guān)于y為偶函數(shù)，即f(x-y)f(x這個性質(zhì)的幾何意義見圖(a)、二重積分與三重積nI=fxy)dslimf(xi,hi)Dsi,其中dmax{didfi i 1￡idi為Dsi的直徑（i12,當(dāng)zf(x,y)0,(xy?D時，而二重積分I表示以zf(x,nI=F(xyz)dvlimf(xi,hi,ti)Dvi其中dmax{didfi i di為Dvi的直徑（i1性質(zhì)(只敘述二重積分的性質(zhì)，三重積分類似(1)fx，y）ds=kf(xy)ds,k 如果積分域D關(guān)于y軸對稱，f(x,y)為x的奇偶函數(shù)，則二重積分f(如果積分域D關(guān)于y軸對稱，f(x,y)為x的奇偶函數(shù)，則二重積分f(x,y)dsD0,f關(guān)于x的奇函數(shù)，即f(-xy)f(x=2f(xy)ds,f關(guān)于x為偶函數(shù)，即f(-xy)f(x,如果D關(guān)于原點對稱，f(xy)同時為xy的奇偶函數(shù)，則二重積分f(x,y)dsD0,f關(guān)于x,y的奇函數(shù)，即f(-x-y)f(x=2f(x,y)ds,f關(guān)于x，y為偶函數(shù)，即f(-x-y)f(x,4）如果D關(guān)于直線yx對稱，則f(xy)dsf(x 注：注意到二重積分積分域D的對稱性及被積函數(shù)f(x,y)的奇偶性，域D的對稱性與被積函數(shù)f(x,y)的奇偶性兩者兼得時才能用性質(zhì)8.設(shè)函數(shù)P(x,yQ(x,y)在單連通區(qū)域D ?x=?y,"(x,y)?存在函數(shù)u(xy),(xy?Ddu(xy)PdxQdy(x,yu(x,y)=(x,y)Pdx+P(xyQ(xyD(?Q-?P)dxdy=Pdx+D 或者(?Q?P)dxdyPdxD 1設(shè)WSP(xyzQ(xyzR(x,yz)在WW W S是W的整個邊界的外側(cè)(即取外法向)，cosa,cosbcosgS(xyz)處的外法向量的方向余弦2克G的正向與S的側(cè)(即法向量的指向)符合右手法則，函數(shù)P(xyzQ(xyzR(xyz)S的一個空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏(?R-?Q)dydz+(?P-?R)dzdx+(?Q-?P)dxdy=Pdx+Qdy+S dydzdzdx( S ，， uvuv斂散性不定注：添加或去消有限項不影響一個級數(shù)的斂散性￥幾何級數(shù)與p級數(shù)以及他們正項級數(shù)收斂性的￥正項級數(shù)un（un0）比較判斂法：設(shè)0￡un￡vn￥ un收斂，則vn收 un發(fā)散，則vn發(fā) 比較法的極限形式：設(shè)un及vn 且limunA(vnfi￥ n 若0￡A￥,且vn收斂，則un 若0A￡￥,且vn發(fā)散，則un a,|r ￥ 收斂，p1i)等比級數(shù)arn-1=- ii)p-級數(shù) = np 發(fā)散，p￡1(3)比值判別法（達朗貝爾準(zhǔn)則適用于通項unnn的 r>1u 設(shè) 0,n1,2對于u來 lim n n+1=r nfi￥ S =GPdx+Qdy+散度和旋度的概念線積分和曲面積分?P?Q AP(xyz)iQ(xyzjR(xyz)kPQR均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則旋度rotA為： rot= A 常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要￥1級數(shù)un (1)c0un與cun有相同斂散性n n 2）設(shè)有兩個數(shù)級un與n n 若unsvns則(unvn)ssn n n 若unvn發(fā)散則(unvn)發(fā)散n n n ￥1(-1)n-￥1(-1)n-1uu0) ￥若交錯級數(shù)(-1)n-1uu0) (1)un?un+1,(n=1,2,);(2)limun=nfiS￡u1其n項余和的絕對值|Rn|￡￥1aaxax2+axn+a 收斂半徑，若liman+1r,則R=nfi￥ ￥2．函數(shù)項級數(shù)un(xlim|un+1(x)|r(x)(或limn|u(x|rnfi￥|u(x)| nfi￥ ￥ a) ￥ 設(shè)axnf(xbxng(x axnbxn(ab)xnf(xg(x且在（- (anxn)(bnxn)=(a0bn+a1bn1++an1b1+anb0 =ff a+ax++axn = =C+Cx+Cx++Cx+ b+bx++bxn ￥n￥axn的和函數(shù)fx）n axn可逐項微分，且f axn n n =(anx)'=na nn= n xaxn可逐項積分，且ft）dt=(atn ￥=(atndt)= 0 n f￥f(n)(x f"(x)(xx)2： 0(x-x)=f(x)+f'(x)(x-x)+ f(n)(x)(xx + 0 -n f ￥f￥f(n)(0) f"(0)x2 =f(0)+f'(0)x++ (0) +稱為林級￥f(n)(x 級數(shù) 0(x-x 收斂于f(x)的充分條件limRn(x)nfi其中R(x)= f(n+1)[x+q(x-x)](x-x)n+1,0<q< (n 4 =1+u+u2++un+=un,(-1,1)1-u 1uu2(1)nun(1)nun,(=-+-+ + 1+ eu=1+u+u++u+=u,(-￥, n=0sinuuu3(1)n =-++ cosu=1-+-+(- +=(- n nln(1+u)=u-+-+(- ,(- n n 而不同，但在(-1，1)總有意義函數(shù)的傅立葉系數(shù)與傅立葉函數(shù)在傅立葉級a=1pf(x)cosnxdx=12pf(x)cosnxdx,(n=0,1, b=1pf(x)sinnxdx=12pf(x)sinnxdx,(nnp- 稱為f(x) (acosnxbsina0 + 1 (acosnxbsin20 +設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，且在[-l,l]a=1lf(x)cosnpxdx,(n=0,1,2)b=1lf(x)sinnpxdx,(n=0,1, 1a+(acosnpxbsinnp￥20 + 稱為f(x)的傅立葉級數(shù)，記為f a0+(an x+bn f 2 解法：令uyy解法：令uyyuxyuxdu u+xdu=f(u)du =dxdu =lnx+C f(u)-u f(u)-u2可化為齊次型的方程 ax+by+c=f 1 a2x+b2y+c2解法：(1)當(dāng)c1c20 axby a+by 1+1 f 1xg(y屬于 ax+by y 2 a2+ x(2)a1b10a1b1l dy=fl(a2x+b2y)+c1=g(ax+by) ax+by+c 2axbyuduabf(u屬于 (3)a1b10cc0解方程組a1xb1yc10求交點(ab 1 ax+by+c= xX+ayYb則原方程dyjX屬于 3y'p(xyy'p(xy0yCe-pyC(x)e-p函數(shù)在[0,l]上的正弦級數(shù)與余弦級f(x為[0,lF(x)f(x),0￡x￡ f(x)~a0acosnpx（余弦級數(shù)￥f(-x),-l￡x< a=2lf(x)cosnpxdx l f(x為[0,lF(x)f(x),0￡x￡ F(x)x=0外在區(qū)間[-p,p-f(-x),-l￡x<￥f(x)~bsinnpx（正弦級數(shù) b=2lf(x)sinnpxdx l 12f1(x)g1y)dxf2x)g2y)dy解法：兩邊同除gyf(x)0，得f1(x)dxg2ydy f g( f1(x)dx+g2(y)dy=Cf2(x) g1(y)1yf(yx 當(dāng)l1l2為相異的特征根時，方程(1)y(x)=Celx+Cel 當(dāng)lly(x)(CC 當(dāng)laib（復(fù)根）y(x)=eax(Ccosbx+Csin 2n階常系數(shù)齊次線性方程y(n)py(n-1)py(n-2)+py0(＊) pi(i=12,nln+pl(n-1)+pl(n-2)++p= 若l1l2,ln是個n相異實根，則方程(＊)y(x)=Celx+Celx++Cel ll0為特征方程的k(k￡n)重實根，則(＊的通解中含有：(C+Cx++Cxk-1)el (3若aib為特征方程的k(2k￡n)重共軛復(fù)根，則(＊)eax[(CCx+Cxk-1cosbx(DDx+Dxk-1sinbx]由于我 簡單的二階常系數(shù)1y''py'qyf(x)(2)pqC'(x)e =q(x)C(x)=q(x)e dx+-p( p(x)(4)原方程通 y=[q(x)ep(x)dxdx+C]e-p(4y'p(xyq(xynn解法：令Z=y1-n，則方程 1dz+p(x)z= 1-n(1np(x)z(1n)q(x5M(x,y)dxN(xy)dy0?M?N.通解為xM(xy)dx+yN(x,y)dy (8.1)p(xq(xf(x)f(x0時，稱為二階線性齊次方程，否則稱為非齊次方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)(以下性質(zhì)可推廣到任意高階的線性方程)1y1(xy2xy￠p(xy￠q(xy0(8.2)的兩個特解，則其線性組合Cy(xCy(x仍為(8.2)y(x),y(x1 2 無關(guān)(y(x)l(常數(shù)，則(8.2)y(x)C1y1(xC2y22y1(xy2x為非線性方程(8.1)y1(xy2x為相應(yīng)齊次方程(8.2)3y*(x)為非齊次方程(8.1)的一個特解，y(x)為齊次方程(8.2)y*(xy(x為(8.1)y1(xy2(x為(8.2)兩個線性無關(guān)的特解，則(8.1)的通解為y(x)y*(xCy(xCy(x)1 2其中C1C2為任意常數(shù)理1y''py'qy(1)pq非奇次線性微分方程簡單應(yīng)?(1)．求對應(yīng)齊次方程的通解Y(x非奇次線性微分方程簡單應(yīng)?(1)．求對應(yīng)齊次方程的通解Y(x)(2)．求出(2)的特解y*(x)待定系數(shù)法 ABAB|ABAB|kA|kn|A|A為nAO AC AO =|A||B|，ABO O C但 1 x (6)范德蒙行列式Dn= (x-xj1￡j<i￡nxn-1xn-1xn- 設(shè)A是nli(i=1,2nA的nn|A|=i行列式的概念和基行列式的概念和基列式按行行列式按行（列）(1)設(shè)A(a),則aAaA+aAA,iij i1 i2j in aAaA+aAAi1i1 2i2 ni i? AA*=A*A=AE,其 A AA*= A21An1=(A)=(A n2 AA nn(2AB為nABABBA矩陣的概矩陣的乘a11a矩陣的概矩陣的乘a11a12a1n 矩陣：m·n個數(shù)a排成m行n列的表格 2n稱為矩陣， am1am2amn1A(aijB(bij是兩個m·nm·矩陣C(cijaijbijABAB 稱為數(shù)kAkA矩陣C(cijnk積，記為C1)(AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A–B)T=AT–k3)(A*)*=|A|n-2A(n?3)，(AB)*=B*4)(A-1)T=(AT)-1,(A-1)*=(A*)-1,(A*)T=(ATA*1)AA*=A*A=|A||A*|=|A|n-1(n?2),(kA)*=kn-1A*,(A*)*=|A|n-2A(n?若A可逆，則A*=|A|A-1,(A*)* |An,r(A)=0,r(A)<n-3A-1A可 AB= |A|? r(A)=A無零特征值；Ax0只有零解12）r(Am·n)￡min(m,n);3）A?0r(A)?14）r(A–B)￡r(A)+若A-1存在r(AB)= 若B-1存r(AB)=r( 2AO- OOB= B-1 AC- A-1-A-1CB-1OB= AO- OCB=-B-1CA- B-1 OA- BOA- O 1設(shè)rAm1設(shè)rAm·nrArAA(1)若rAm·nrmA的行向量組線性無關(guān)(2)若rAm·nrmA的行向量組線性相關(guān)(3)若rAm·nrnA的列向量組線性無關(guān)(4)若rAm·nrnAn1基變換及過渡矩若a1,a2,,an與b1,b2,,bn是向量空間V的兩組基，則基變 c11c12c1n c(b,b,,b)=(a,a,,a) 2n=(a,a,,a1 1 n 1 cn1cn2cnn其中C是可逆矩陣，稱為由基a1,a2,,anb1b2,bn的過渡矩陣2若向量g在基a1,a2,,anb1b2,bnX(xx,x)TYyy,y)T1 1 gx1a1x2a2+xnany1b1y2b2+ynbn，則向量坐標(biāo)變換為X=CY或Y=C-1X其中C是從基a1,a2,,anb1b2,bn1a1,a2,,as線性相 至少有一個向量可以用其余向量線性表示若a1,a2,,as線性無關(guān)，a1,a2,,as，b線性相 b可以a1,a2,,as惟一線性表示b可以由a1,a2,,asr(a1,a2,,as)=r(a1,a2,,as,b2①n個na1,a2an線性無 nn維向量a1,a2an|[a1,a2,,an]|=②n+1n維向量線性相關(guān)③若a1,a2aS1a1,a2,,as線性相 至少有一個向量可以用其余向量線性表示若a1,a2,,as線性無關(guān)，a1,a2,,as，b線性相 可以由a1,a2,,as惟一線性表示b可以由a1,a2,,asr(a1,a2,,as)=r(a1,a2,,as,b 向量的內(nèi)關(guān)向量組的正交規(guī)(ababab+abaTb1 2 nSidt正交若a1,a2,,asb1b2,bs使其兩兩正bi僅是a1,a2,,ai的線性組合(i12,n)bi單位化，記gbi，則gg,g是規(guī)范正交向量組. 1 ib1=a1b2=a2-(a2,b1)1b3=a3-(a3,b1)b1-(a3,b2) 1 b=a(as,b1)b(as,b2)b--(as,bs-1) s-(b,b)1-(b,b) (b,b)s-1 規(guī)范正交陣及其性1件x=D1,件x=D1,x=D2,,x=Dn，其中D是把D中第j列元素?fù)Q成 端的常數(shù)列所得的行列式n階矩陣A可 Ax=0只有零解 "b,Ax=b總有唯一解，一 Ax0只有零解設(shè)Am·n矩陣，若rAm·n)m，則對Axb而言必有rA)rAb)mAxb有解x1x2xsAxbk1x1k2x2+ksxsk1k2+ks時仍為Axb的解；但當(dāng)k1k2+ks0時，則為Ax=0的解.x1x2Axb2x(xxAx0的解 非齊次線性方Ax=b無解 r(A)+1=r(A) b不能由A的列向量a1,a2,,an線性表示.齊次方Ax=0恒有解(必有零解).當(dāng)有非零解時，由于解向量的方意線性組合仍是該齊次方的解向量，因此Ax=0的全體解向量構(gòu)成一個向量空間，稱為該方的解空間，解空間的維數(shù)是n-r(A)，解空間的一組基稱為齊次方的基礎(chǔ)解系2h1,h2,,htAx0h1,h2,,htAx0h1,h2,,htAx0的任一解都可以由h1,h2,ht線性表出k1h1k2h2+kthtAx0k1k2kt是任意常數(shù)1法a11x1+a12x2++a1nxn=ax+ax++ax=線性 22 2n 2，如果系數(shù)行列式D=A?0 1設(shè)lAkAaAbEA2Am,fAATA-1A* kklalbl2lm,f(lll-1,|A|且對應(yīng)特征向量相同（l例外 2若l1,l2,,ln為A的n個特征值，則li=aii li=|A i 從而|A|? A沒有特征值3設(shè)l1l2,lsA的sa1,a2,,asak1a1k2a2+ksasAna=kAna+kAna++kAna=klna+klna+k 11 22 ss1若 B，(1) B-1,A*B (2)|A|=|B|,Aii=bii,r(A)=i (3|lEA|=|lEB|對l1設(shè)A為n階方陣，則A可對角 n-r(liE-A)=2AP-1APLAPLP-1AnPLnP-若AB, D，則A BOOC O 若AB則f f(B),f f(B)其中f(A)為關(guān)于n階方陣的多項式若A為可對角化矩陣，則其非零特征值的個數(shù)(重根重復(fù)計算)＝(AB=P-1AP成立，則稱矩陣A與B相似，記為 B如果A B則有 ( Bk(k為正整數(shù)lEAlEB,從而ABAB,從而AB(6)秩(A秩(B),lEAlEBA、Bnf(x1x2xn)aijxiyj，其中aijaji(i,j=12,n，稱為ni=1j型，簡稱二次型.x1 a11a12a1nx ax2A 2nf x n nnfxTAx.Aaa(i,j=12, A的秩稱為二次型的秩1的，其正負(fù)慣性指數(shù)與所選變換無關(guān)，這就是所謂的慣性定理2二次型f(xx,x)xTAx經(jīng)過合同變換xCy化為1 r Tr T fxAxyCACy diyif(r￡n)的標(biāo)準(zhǔn)形.在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與定3任一實二次型f都可經(jīng)過合同變換化為規(guī)范形fz2z2+z2z2-z2r為Ap p rp為負(fù)慣性指數(shù)，且規(guī)范型唯一性A正定kA(k0ATA-1A*|A|0Aaii0|Aii|>A，B正定A+BAB，BA3A正 f(x)=xTAx>0,"x?AA$PAPT 存在正交矩陣Q，使QTAQ=Q-1AQ= n其中l(wèi)0i=12,n正定kA(k0ATA-1A*i|A|0,Aaii0，且|Aii| 1的關(guān)系與運子： B，若A發(fā)生，則B發(fā)生 AA+BA差：A-B，A發(fā)生但B不發(fā)生互逆（對立AB=?,且AB=W記AB或B2ABBA，ABBBAnAiAj=?，ij，=W1概率：發(fā)生的可能性大小的度量，其嚴(yán)格定義如下：（對任何A，對必然W， i2 P(A)=1-P(P(A)=1-P(P(A-B)=P(A)-P(當(dāng) A時，P(A-B)=P(A)-P(B)且P(B)￡P(guān)(A)-P(AC)+P( 3古典型概率:P(A) 4幾何型概率:樣本空間W為歐氏空間中的一個區(qū)域，W的度量（長度、面積、體積概率的基件的獨立1概率的基本條件概率（B（A）， P（A）=P(A|Bi)P(Bi),BiBj=?,i?j,Bi=Wi P(A|B)P(B ：P(B|A)= ,j=1,2,,jP(A|Bi)P(Bi注：上述中Bi的個數(shù)可為可列個P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P(A2)P(A1|P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-2的獨立A與B相互獨 P(AB)=P(A，B，CP(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(AC)=P(A，B，CP(AB)=P( P(BC)=P(AC)=P( P(ABC)=P(獨立重復(fù)試驗:將某試驗獨立重復(fù)nAp，則nAkP(X=k)=Ckpk(1-p)n-kn重要與結(jié)(1)P(A)=1-P(P(AB)=P(A)+P(B)-P(P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)--P(AC)+P(P(A-B)=P(A)-P(P(AB)=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(P(AB)=P(A)+P(AB)=P(AB)+P(AB)+P( ff(x)?-￥f(x)dx=xx為f(x)的連續(xù)點，則f(x)F'(x)分布函數(shù)F(x)-￥f10-1PXk)pk(1p)1-kkB(npP(X=k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,,nPoissonp(llk-P(X=k) e,l>0,k=0,1,k1,a<x<1-(x-mj(x) e2s,s>0,-￥<x<E(l):f(x幾何分布GpPXk)(1p)k-1p0p<1k=1CkCn-H(N,M,n):P(X=k)=MN-M,k=0,1,,min(n,MN2隨量函數(shù)的概率分(1)PXx1pi,YgXP(Y=yj)=P(X=xig(x)=例如：.PA例如：.PA1|B=1PA1|P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)P(A1A2|B)=P(A1|B)P(A2|A1B) 若A,A,,A相互獨立，則P(Ai) 1 i P(Ai) iA與B互逆A與B互斥，但反之不成立，A與B互斥（或互逆）且均非零概率A與B不獨立.g(B1,B2,,Bn)也相互獨立，其中f(),g()分別表示對相應(yīng)做任意運算后所得的，另外，概率為1（或0）的與任何互獨立 隨量及概率分布:取值帶有隨機性的變量，嚴(yán)格地說是定義在樣F(xPX￡x-￥x性質(zhì)：(1)0￡F(x) (2)F(x)單調(diào)不(3)右連續(xù)F(x+0)=F (4)F(-￥)=0,F(+￥)=￥P(X=xi)=pi,i=1,2,, pi?0,pi概率密度f(x非負(fù)可積，且 P{YP{Y=y|X=x}= i1f(xf(x,y)?+￥-￥-￥f(x,y)dxdy=x3 fX(x)=-￥f(x, fY(y)=-￥f(x,4條件概率密度： (x|y)=f(x, (y|x)=f(x, f( f 1常見二維 1,(x,y)?(xy)U(D),f(xyS f(x,y) 2pss1-1 (x-m (x-m)(y-m)(y-m)2exp2(1-r2)[s21-2r 2+s22 ss 1 2隨量的獨立性和相關(guān)X和Y的相互獨 F(x,y)=FX(x)FY(y)pij=pipj(離散型 f(x,y)=fX(x)fY(y)(連續(xù)型XYrXY0時，稱X和Y不相關(guān)，否則稱X和Y相關(guān)1兩個隨量簡單函數(shù)的概率分(2)X~(2)X~fX(x),Yg(xFy(y)=P(Y￡y)=P(g(X)￡y)=fx(x)dxg(x)￡fY(y)=F'Y(3重要與結(jié)X~N(0,1)j(0)=1,F(0)=1 F(-a)=P(X￡-a)=1-FX~N(m,s2)X-m~N(0,1)且P(X￡a)=F( X~E(l)P(X>s+t|X>s)=P(X>X~G(p)P(X=m+k|X>m)=P(X=存在既非離散也非連續(xù)型隨量 布（X，Y，聯(lián)合分布為F(x,y)PX￡x,Y￡y) P{X=xi,Y=yj}=pij;i,j=1,2,￥邊緣分布 pi=pij,ij￥pj=pij,jiP{X=x|Y=y}= j PXxi,Yyi)pijZgX,Y)（Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}= P(X=xi,Y=yjg(x,y Fz(z)=P{g(X,Y)￡z}= f(x,y)dxdy，fz(z)=F'zg(x,y)￡2重 與結(jié) fX(x)=-￥f(x, fY(y)=-￥f(x,D ①X~N(m,s2),Y~N(m,s21 ②X與Y相互獨 r=0，即X與Y不相關(guān)③CX+CY~N(Cm+Cm,C2s2+C2s2+2CCss 1 221 2 121④X關(guān)于Y=y 2⑤Y關(guān)于X=xN(m+rs2(x-m),s2(1-r2 1X與YN(m,s2),N(m,s21 1則X,Y)~N(mms2,s212 CCX+CY~N(Cm+Cm,C2s2+C2s2 1 221 2(5)X與Yf(x)和g(x為連續(xù)函數(shù)，則f(X)與g(Y)也相互獨立.隨的數(shù)學(xué)期方差和標(biāo)準(zhǔn)差及其隨的數(shù)學(xué)期方差和標(biāo)準(zhǔn)差及其1P{Xxi}piEXxipiiX~f(x),E(X)=-￥xfE(C)=C,E[E(X)]=E(XE(C1X+C2Y)=C1E(X)+C2E(Y若X和YEXY)EX)E(Y3標(biāo)準(zhǔn)差：DX) i D(C)=0,D[E(X)]=0,D[D(X)]=XYDX–Y)DXD(YD(CX+C)=C2D(X D(X)<E(X-C)2,C?E(XD(X)= P{X= 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，矩、協(xié)方數(shù)的數(shù)字1隨量函數(shù)的數(shù)學(xué)期(1)對于函數(shù)YX為離散型：P{XxipiE(Y)g(xipi；XiX~f(x),E(Y)=-￥g(x)f(2)Z=g(X,Y);(X,Y)~P{X=xi,Y=yj}=pijE(Z)=g(xi,yj) +￥(X,Y)~f(x,y);E(Z)=-￥-￥g(x,y)f(x,協(xié)方差CovX,YE[(XEX)(YE(Y相關(guān)系數(shù)r=Cov(X,Y ,k階原點矩E(Xk) D(X)D(YkE{[XEX)]kCov(X,Y)=Cov(Y,XCov(aX,bY)=abCov(Y,XCov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Yr(X,Y)￡r(X,Y) P(YaXb)1,其中a r(X,Y) P(r(X,Y) P(YaXb1,其中a4重要與結(jié)（1）D(X)=E(X2)-E2(XCov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Yr(X,Y)￡1r(X,Y) P(YaXb)1,其中ar(X,Y) P(YaXb1,其中ar(X,Y)=Cov(X,Y)=E(X,Y)=E(X)E(YD(X+Y)=D(X)+D(YD(X-Y)=D(X)+D(Y注：XY5要條件切切1 2切大數(shù)定律：設(shè)X1,X2,Xn,相互獨立，EXmDXs2(i12,則對于任意正數(shù)e limP1nX-m<e nfi￥n X1X2Xn,0-1B(1p，則對任意正數(shù)e1 limPXi-p<enfi￥n X1X2Xn,EXimi12意正數(shù)elimP1nXme nfi￥n 拉棣莫弗---設(shè)hn~B(n,p（X1X2Xn0-1nhnXi）ih-np limP ￡x= e2nfi￥np(1- -￥X1X2,Xn,E(Xi)=m,D(Xi)=s2(s?0)i i- t P ￡x= 1e- -￥2p X1X2X1X2Xnn的簡單隨機樣本，簡稱樣X1X2Xn,XgX1X2Xn)是樣本的連續(xù)函數(shù)，且g()中不含任何未知參數(shù)，則稱gX1X2Xn)為統(tǒng)計量樣本均值：X1nXin S2=XX ikA1nXkk i=1kBknXiX)kk1ic2分布，F(xiàn)分c2c2X2X2+X2~c2(nXXX t分布：T= ~t(n)其中X~N(0,1),Y~c2(n),且Y/FFXn1~F(nnX~c2(n),Y~c2(n且X，YY/ 1 2PX￡xaaxaX的a1XXXN(m,s2 X1nXS2=1nXX)2 ni i X-(1)X~N ~N s/ 1 =s2(Xi-X)~c(n-iXn W 1)是1a1( -m)~c2s2i =X-m~t(n-Sn重要與結(jié)（1）c2~c2(nE(c2(n))nD(c2(n))（2）對于T~t(nE(T)0D(T)=n(n2)n-（3）F~F(mn)1~F(n,m),F(m,n) (n,E(X)=E(X),E(S2)=D(X),D(X)=D(X n 2XS2EX 2XS2EX),DX)的一致估量5E(q?qD(q?fi0(nfi￥則q?為q的一致估計22a2P{W'￡c22-1-1a2(i=1c2 c(n),i=1i(X- (X-i22nnic2W=s2(Xi-'1n(X- S,X+a2U=X-mNsnt(n-T=X- (X-m,X+mP{m?m}=P{T?t}=Sm 3EX)EXE(S2DXXS2EX),DX)的無偏估計量mam- U=(X1-X2)-(