結(jié)構(gòu)動力學(xué)講義

第四章

自振頻率和振型的實用計算7/6/20231§4.1能量法求第一頻率-Rayleigh法

此外，根據(jù)簡諧振動的特點可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動能具有最大值），動位移為零（應(yīng)變能為零）；當(dāng)體系達(dá)到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動能為零）。對這兩個特定時刻，根據(jù)能量守恒定律得：

0＋Umax=Tmax＋0

根據(jù)能量守恒和轉(zhuǎn)化定律，當(dāng)不考慮阻尼自由振動時，振動體系在任何時刻的動能T和應(yīng)變能U之和應(yīng)等于常數(shù)。U＋T＝C（常數(shù)）7/6/20232求Umax，Tmax

求頻率

如梁上還有中質(zhì)量mi

Yi是集中質(zhì)量mi處的位移幅值.7/6/20233設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點：1、必須滿足運動邊界條件:（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）

盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計。2、所設(shè)位移幅值函數(shù)應(yīng)與實際振型形狀大致接近；如正好與第n主振型相似，則可求的ωn的準(zhǔn)確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。7/6/202343、相應(yīng)于第一頻率所設(shè)的振型曲線，應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點少。4、通?？扇〗Y(jié)構(gòu)在某個靜荷載q(x)（如自重）作用下的彈性曲線作為Y(x)的近似表達(dá)式。此時應(yīng)變能可用相應(yīng)荷載q(x)所作的功來代替，即7/6/202352）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x).例4-1試求等截面簡支梁的第一頻率。1）假設(shè)位移形狀函數(shù)為拋物線，lyx滿足邊條且與第一振型相近3）假設(shè).正是第一振型的精確解。精確解7/6/20236xh0l例4-2求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬度為，高度h=h0x/l。解：設(shè)位移形狀函數(shù)滿足：Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設(shè)了一振型曲線代替實際振型曲線，就是迫使梁按照這種假設(shè)的形狀振動，這就相當(dāng)于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當(dāng)所設(shè)振型越接近于真實，則相當(dāng)于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實，即偏高量越小。7/6/20237集中質(zhì)量法：在計算無限自由度體系的自振頻率時，可以用若干個集中質(zhì)量來代替連續(xù)分布的質(zhì)量。關(guān)于質(zhì)量的集中方法有多種，最簡單的是靜力等效的集中質(zhì)量法。

等效原則：使集中后的重力與原來的重力互為靜力等效，即兩者的合力相等。

作法：將桿分為若干段，將每段質(zhì)量集中于其質(zhì)心或集中于兩端。該法即可求基頻，也可求較高頻率。使用各類結(jié)構(gòu)。集中質(zhì)量的數(shù)目越多結(jié)果越精確，但工作量也就越大?！?.2集中質(zhì)量法7/6/20238l例4-3l/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）7/6/20239對于對稱剛架，可分別用不同的集中質(zhì)量方案求出對稱振動和反對稱振動的自振頻率。2ll最小頻率對應(yīng)著反對稱振型P=1P=1llEI4EI7/6