【2023春】人教版九年級數(shù)學(xué)中考壓軸試題及答案解析

【精品】人教版九年級數(shù)學(xué)中考壓軸試題

(含答案)

1.如圖，△/灰是等邊三角形，D,“分別是4C,比邊上的點(diǎn)，且

AD=CE,連接初，熊相交于點(diǎn)少

(1)N9F的度數(shù)是60°；

(2)如果當(dāng)=,，那么黑=1；

ACZDr

(3)如果供=工時，請用含〃的式子表示/凡斯的數(shù)量關(guān)系，并證

ACn

【分析】(1)易證△［及運(yùn)第可得N%F=NAm根據(jù)外角等

于不相鄰兩個內(nèi)角的和即可解題.

(2)如圖1中，當(dāng)拱時，由題意可知：AD=CD,BE=CE.利用

AvZ

等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題；

(3)設(shè)AF=x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=1,由

。區(qū)推出初=/￡,設(shè)BD=AE=m,利用相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)

系式即可解決問題；

【解答】解：(1)是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAD=ZC=6Q°,

在初和四中,

'AB=AC

'ZBAD=ZC,

AD=CE

:.XAB恒XACE(SAS)

ZDAF=AABD,

：.ZBFE=/ABIA/BAF=/DAF+/BAF=/BAD=6G°,

故答案為：60°.

⑵如圖1中，當(dāng)冷刎由題意可知：止SBE=CE.

圖1

?.?△4山是等邊三角形，BE=EC,AD=CD,

：.ZBAE=^ZBAC=1X60°=30°,ZABD=^ZABC=3Q0,

：,ZFAB=ZFBA,

：.FA=FB,

?迪=1

,,BF

故答案為1.

(3)設(shè)加』x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=\,

D

B<--------------E~~C

圖2

'：XAB恒XCAE,

：.BD=AE,/DAF=/ABD,設(shè)BD=AE=m,

'：AADF=Z.BDA,

:.XADFsXBDA,

.AD

??瓦一麗’

2=2①，

nm

,：AFBE=ACBD,/BFE=/C=6G°,

:ABFEsABCD,

.BF=BE

??麗―麗’

，工=更②，

nm

①+②得到：三=」彳，

yn-1

.AF_1

??麗一■.

【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)的等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決

問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.

2.如圖，45是。。的直徑，。是。。上一點(diǎn)，連接/C.過點(diǎn)方作。。

的切線，交力。的延長線于點(diǎn)〃，在4〃上取一點(diǎn)反使連接

BE,交。。于點(diǎn)歹

請補(bǔ)全圖形并解決下面的問題:

(1)求證：/BAE=2/EBD；

(2)如果48=5,sinN座酉.求初的長.

5

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)證明仿=2N為凡再證明N

EBD=/BAF即可解決問題；

(2)作敬于〃.由sinN物/=sinN⑦77=酉，AB=5,推出防

=&,推出BE=2BF=2遍,在RSABF中，EH=BE+sin/EBH=2,

推出胡=3(2泥產(chǎn)-22=4,由EH//AB,推出瞿=瞿，由此即可求

*VADUD

出血解決問題；

【解答】(1)證明：連接

?.3〃是直徑，

：.ZAFB=9Q°,

:.AF工BE,

'：AB=AE,

：.ZBAE=2ZBAF,

,如是。。的切線，

AZABD=9Q°,

VZBAP-ZABE=9Q°,/ABF+/EBD=§G。,

:./EBD=/BAF,

:./BAE=2/EBD.

(2)解：作EHLBD千H.

'：/BAF=/EBD,

：.sinZBAF=sinZEBD=^-,'：AB=5,

5

:.BF=?

:.BE=2BF=2辰,

在中，EH=BE?S、R/EBH=2,

BH=7(2V5)2-22=4,

'：EH//AB,

.EH=DH

#，AB-DB，

.2_PH

,,虧―DH+4'

?"T，

:.BD=BH^HD=除.

【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，勾

股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直徑三角形

解決問題，屬于中考常考題型.

3.如圖，P是篇所對弦皿上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作AUL"交窟于點(diǎn)C,

取在中點(diǎn)D,連接CD.已知AB=6cm,設(shè)A,尸兩點(diǎn)間的距離為xcm,

C.〃兩點(diǎn)間的距離為yc勿.(當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)力重合時，y的值為0；當(dāng)

點(diǎn)夕與點(diǎn)方重合時，y的值為3)

小凡根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律

進(jìn)行了探究.

下面是小凡的探究過程，請補(bǔ)充完整:

(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表:

x/cm0123456

y/cm02.22.93.23.43.33

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，描出補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的

y/,cmA

J

點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象;

Ox/cm

(3)結(jié)合所畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)NC=30°時，的長

度約為3.3cm.

當(dāng)x=2和x=4時，PA=BP'=2,

因?yàn)槭琩氏P'CLAB,即可推出尸C=73.42-22?再利

用勾股定理即可解決問題；

(2)利用描點(diǎn)法即可解決問題；

(3)函數(shù)圖象與直線尸x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為必的長，利用圖象

法即可解決問題；

【解答】解：(1)如圖，根據(jù)對稱性可知：

根據(jù)對稱性可知：當(dāng)x=2和x=4時，PA=BP'=2,

,：PCVAB,P'CA.AB,

：.PC=P'C=正岸"，

???CD=7I2+3.42_22^2.9.

故答案為2.9.

(2)利用描點(diǎn)法畫出圖象如圖所示：

(3)當(dāng)/〃g30°時，CD=2PD,即尸x,

觀察圖象可知：與函數(shù)圖象與直線y=x的交點(diǎn)為(3.3,3.3),

.?.加7的長度為3.3.

【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了勾股定理，函數(shù)圖象，直角三角

形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用對稱性

解決問題，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考壓軸題.

4、（10分）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會實(shí)踐活動時一，

想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測量某塔的高度，他們先在點(diǎn)D

用高1.5米的測角儀DA測得塔頂M的仰角為30°,然后沿DF方向前

行40m到達(dá)點(diǎn)E處，在E處測得塔頂M的仰角為60°.請根據(jù)他們的

測量數(shù)據(jù)求此塔MF的高.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：72^1.41,

返心1.73,76^2.45）

【分析】首先證明AB=BM=40,在RtABCM中，利用勾股定理求出

CM即可解決問題；

【解答】解：由題意：AB=40,CF=1.5,ZMAC=30°,ZMBC=60°,

M

VZMAC=30°，ZMBC=60°，

.?.ZAMB=30°

，ZAMB=ZMAB

.*.AB=MB=40,

在RtABCM中，

VZMCB=90°,ZMBC=60°,

.,.ZBMC=30°.

?**MC=VMB2-BC2=20>/3?

，Mg34.64,

.*.MF=CF+CM=36.14^36.1.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明AB=BM=40,屬于中

考?？碱}型。

5.(7分)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P,給出如下定義：記

點(diǎn)P到x軸的距離為dl，到y(tǒng)軸的距離為d2,若dled2,則稱dl為點(diǎn)

P的最大距離；若dl<d2,則稱d2為點(diǎn)P的最大距離.

例如：點(diǎn)P(-3,4)到到x軸的距離為4,到y(tǒng)軸的距離為3,

因?yàn)?V4,所以點(diǎn)P的最大距離為4.

(1)①點(diǎn)A(2,-5)的最大距離為&；

②若點(diǎn)B(a,2)的最大距離為5,則a的值為士

(2)若點(diǎn)C在直線y=-x-2上，且點(diǎn)C的最大距離為5,求點(diǎn)C

的坐標(biāo)；

(3)若。。上存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M的最大距離為5,直接寫出。。的

半徑r的取值范圍。

【分析】(1)①直接根據(jù)“最大距離”的定義，其最小距離為“最

大距離”；②點(diǎn)B(a,2)到x軸的距離為2,且其“最大距離”

為5,所以a=±5；

(2)根據(jù)點(diǎn)C的“最大距離”為5,可得x=±5或y=±5,代入可

得結(jié)果；

(3)如圖，觀察圖象可知：當(dāng)。。于直線x=5,直線x=-5,直線y=5,

直線y=-5有交點(diǎn)時，。。上存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M的最大距離為5,

【解答】解(1)①\?點(diǎn)A(2,-5)至x軸的距離為5,至(Jy軸的

距離為2,?二2V5,

.?.點(diǎn)A的“最大距離”為5.

②,點(diǎn)B(a,2)的“最大距離”為5,

，a=±5；故答案為5,±5.

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)(x,y)

???點(diǎn)C的“最大距離”為5,

x=±5或

y=±5,當(dāng)x=5

時，y=-7,當(dāng)

x=-5時，y=3,

當(dāng)y=5時，x=

-7

當(dāng)y=-5時，

x=3,

.,.點(diǎn)C(-5,3)或(3,-5)

(3)如圖，觀察圖象可知：當(dāng)。0于直線x=5,直線x=-5,直線y=5,

直線y=-5有交點(diǎn)時，。。上存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M的最大距離為5,

54r45a.

【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)綜合題、“最大距離”的定義、圓的有

關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)

會利用特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考壓軸題.

6.（5分）已知：如圖，在aABC中，AB=AC=8,ZA=120°,求BC的

長.

【分析】過點(diǎn)A作ADLBC于D.解直角三角形求出BD,利用等腰三

角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：過點(diǎn)A作AD±BC于D.

BD

VAB=AC,ZBAC=120°，

.,.ZB=ZC=30°,

BC=2BD,

在RtZiABD中，ZADB=90°,ZB=30°,AB=8,

cosB=要，

AB

.*.BD=ABcos30°=8X1=4遂,

BC=8

【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

7.(5分)在平面直角坐標(biāo)xOy中的第一象限內(nèi)，直線y尸kx(k#O)

與雙曲丫2=皿(m#0)的一個交點(diǎn)為A(2,2).

X

(1)求k、m的值；

(2)過點(diǎn)P(x,0)且垂直于x軸的直線與y尸kx、y=^的圖象分

2x

別相交于點(diǎn)MN,點(diǎn)M、N的距離為d”點(diǎn)M、N中的某一點(diǎn)與點(diǎn)P

的距離為d2,如果d尸d2,在下圖中畫出示意圖并且直接寫出點(diǎn)P的

坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題;

(2)構(gòu)建方程即可解決問題；

【解答】解：(1)???直線y尸kx(kWO)與雙曲丫2=皿(m#O)的一個

X

交點(diǎn)為A(2,2),

/.k=l,m=4,

(2)I,直線yi=x,y2=—,

X

由題意：--x=x或x--,

XXX

解得x=±正或±2&，

Vx>0,

x=&或2正，

AP3,0)或(2&,0).

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會利用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考常考題型.

8.在平面直角坐標(biāo)系.g中，已知拋物線G:y=4f-8or+4〃-4,

A(-1,O),N(n,O).

(1)當(dāng)a=l時,

①求拋物線G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②若拋物線G與線段期只有一個交點(diǎn)，求〃的取值范圍；

(2)若存在實(shí)數(shù)“，使得拋物線G與線段制有兩個交點(diǎn)，結(jié)合圖象，

5-

4-

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2-

1-