2021考研數(shù)學（一）真題

2021年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（一）

（科目代碼：301）

（考試時間：上午8:30-11:30）

考生注意事項

L答題前，考生須在試題冊指定位置填寫考生姓名和考生編號；在答題卡指定位置填寫報考

單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。

2.選擇題答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答案必須書寫在答題卡指定

位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題冊上答題無效。

3.填（書）寫部分必須使用黑色簽字筆或者鋼筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫部分必須

使用2B鉛筆填涂。

4.考試結束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

2021年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試題

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是

符合題目要求的.

elC

⑴函數(shù)/(x)={x''在％=0處()

1,x=0

(A)連續(xù)且取得極大值.

(B)連續(xù)且取得極小值.

(C)可導且導數(shù)等于零.

(D)可導且導數(shù)不為零.

v2

⑵設函數(shù)/(x,y)可微且/(x+1,e)=x(x+1)?,/(x,f)=2xInx,則"(1,1)=()

(A)dx+dy.

(B)dx-dy.

(C)dy.

(D)-dy.

sinx

(3)設函數(shù)/(x)=-7在x=0處的3次泰勒多項式為or+hV+cY,則()

1+x

,7

(A)6?=1,Z?=0,c=—.

6

7

(B)a=l,Z?=0,c=—.

6

(C)6Z=-l,/?=-l,c=-^-.

6

7

(D)a=-l,b=—1,c=一.

6

(4)設函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則￡f(x)dx=()

(A)lim斗隹斗.

I2〃)2n

叫蛭《今2〃明)幾?

n—*cr

22

(5)二次型/(x,,x2,x3)=(x,+x2)+(x2+x3)一(七一%產(chǎn)的正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)依次

為()

(A)2,0.

(B)l,l.

(C)2,l.

(D)l,2.

⑹己知四=0,%[2]，%]J,記B\=囚,尸2=4-3血=%-/￡一，262,若

四,四，四兩兩正交，則/1，12依次為()

(7)設A,B為〃階實矩陣，下列結論不成立的是()

AO

=2r(A).

0ATA

AA3、

=2r(A).

OAT,

ABA、

(C)r2r(A).

T

、0AA7

(A0}

(D)r=2r(A).

{BA心

(8)設A,8為隨機事件，且0<P(8)<1,下列為假命題的是()

(A)若P(A|B)=P(A)，則P(A|B)=P(A).

(B)若尸(A|B)>P(A)，則P(A|B)>P(A).

(C)若P(A|B)>P(A\B)JiJP(A|B)>P(A).

(D)若P(A\A\JB)>P(A\A\JB)廁P(A)>P(B).

(9)設(X「X),(X2瀉)，…為來自總體NJ”2H的簡單隨機樣本.令

0=^-ju2,X=-y'Xi,Y=-tYi,0=X-Y)

n,=in,=1

2.2

(A)3是。的無偏估計,0(4)=12.

n

22

(B)往不是e的無偏估計,。(，)="十%.

n

(C)4是。的無偏估計,w)=可+/-2西巴

n

(D)0不是。的無偏估計,D(0)=%+藥-2西巴

n

(10)設％,X2,---,X16是來自總體N(〃,4)的簡單隨機樣本，考慮假設檢驗問

題：“°：從，10，"|：〃>10，。(*)表示標準正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗問題的拒絕域為

__116

w={》..11},其中又=—yX,,則〃=11.5時，該檢驗犯第二類錯誤的概率為()

16/=,

(A)l-0(0.5).

(B)1-0(1).

(C)1-0(1.5).

(D)1-0(2).

二、填空題：11?16小題,每小題5分，共30分.

尸1,

(11)------------dx=__________.

Jox+2x+2

x-2e'+t+l,(j2vl

(12)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程《，確定，則駕=___________.

[y=4"-l)e'+廠dr]。

(13)歐拉方程x2y"+xy'-4y=0滿足條件y⑴=1,y'⑴=2的解為y=.

(14)設2為空間區(qū)域｛(x,y,z)\x2+4yW,0z?2｝表面的外側，則曲面積分

@Ydydz+>,2dzdx+z2dxdy=.

z

(15)設A=(囪)為3階矩陣,&為代數(shù)余子式，若A的每行元素之和均為2,且|41=3,則

A”+4|+A=----------------

(16)甲、乙兩個盒子中有2個紅球和2個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中,

再從乙盒中任取一球,x,y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數(shù)，則x,丫的相關系數(shù)

PxY=-----------------

三、解答題：17?22小題.共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

14-[ezd/i

求極限lim—囪------------.

A

XTOe-1sinx

\/

(18)(本題滿分12分)

”+100

設un3=e"+----------("=L2,…)，求級數(shù)y”,(x)的收斂域及和函數(shù).

?(?+!)M

(19)(本題滿分12分)

己知曲線C:+2廠—Z=6,求。上的點到xOy坐標面距離的最大值.

4x+2y+z=30,

(20)(本題滿分12分)

設。uR2是有界單連通閉區(qū)域,1(D)=jj(4-%2-r)dxdy取得最大值的積分區(qū)域記

D

為。.⑴求/(/),)的值;(2)計算((屁…+y)d^+(4；e…-只由，，其中合4是A的

A廠+4廠

正向邊界.

(21)(本題滿分12分)

'a1-P

已知A=1a-1.(1)求正交矩陣P,使得「TAP為對角矩陣;(2)求正定矩陣C,使

、—1-1a,

得C?=(a+3)E—A.

(22)(本題滿分12分)

在