2021年度微分幾何練習(xí)題庫及答案

《微積分幾何》復(fù)習(xí)題本科

第一某些：練習(xí)題庫及答案

一、填空題(每題背面附有核心詞;難易度;答題時長)

第一章

1.己知a=(l,l,—l),b=(l,O,—l),則這兩個向量夾角余弦cos8=^

2.己知a=(O,l,—l),b=(l,O,—l),求這兩個向量向量積axb=(-l「L-l).

3.過點尸(1,1,1)且與向量a=(1,0,—1)垂直平面方程為在Q

4.求兩平面為：x+y+z=0與72：x—y+2z=l交線對稱式方程為2F=—=

5.計算lim[(3/+l)i—/j+k]=13i-8j+k.

/->2_________________

6.設(shè)f(/)=(sinf)i+(j,g(/)=(t2+l)i+erj,求lim(f(r)?g?))=0

r->0

7.已知r(〃,v)=(〃+匕〃一匕,其中〃=『,v=sinr,則一=(2t+cost,2t-cosr,2vt+ucost)

dt----------------------------------------

8.已知°=r,6=F,則日「(2°)=(-。sin℃os3-2atcos(psin0,-asin°sin6+2atcos9cos仇acos(p)

dt-----------------------------------------------

46

9.已知Jr⑺df=(—l,2,3),jr(r)dr=(-2,l,2),求

24

46

jaxr(r)dr+b-ja-r(/)dr=(3,-9,5),其中a=(2,1,1),b=(l,-l,0)

22

10.已知r'Q)=a(a為常向量)，求r?)=/a+c

11.已知「'(，)=，a,(a為常向量)，求r?)=L?a+c

2

4d

12.已知f⑺=(2+力j+(logr)k,g(r)=(sinr)i-(cosz)j,r>0,則J丁(f-g)df=2-6cos4.

oS

第一早

13.曲線r(f)=(It,t\e')在任意點切向量為(2,3產(chǎn),/)

14.曲線r?)=(acosht,asinh在t=0點切向量為(0,a,a)

15.曲線rQ)=(qcosr,asin初)在/=0點切向量為(0,a,b)

1

y——

16.設(shè)有曲線C:x=e',>=e，z=產(chǎn)，當(dāng)1=1時切線方程為"=—^=—

e_12

e

17.設(shè)有曲線彳=e'cost,y=e'sinf,z=e',當(dāng)/'=()時切線方程為x-l=y=z—1

第三章

18.設(shè)r=r(〃,v)為曲面參數(shù)表達(dá)，如果r“xr、,wO,則稱參數(shù)曲面是正則；如果r:Gfr(G)是一一，則稱

參數(shù)曲面是簡樸.

19.如果“-曲線族和丫-曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)坐標(biāo)網(wǎng)為—正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng).(坐標(biāo)網(wǎng)；易；3分鐘)

20.平面r(“,v)=(〃,匕0)第一基本形式為ck?+d、,面積元為dMdu

21.懸鏈面r(u,v)=(coshucosv,cosh〃5泊匕〃)第一類基本量是￡=cosh2u^F-0^_G=cosh2u

2

22.曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x0,y=外交角余弦值是一7---"型--------_

5(1+//2)(1+42%2)

23.正螺面!*(〃#)=(ucosv,usinv.hv)第一基本形式是d/+(/+/?2)dv2.

24雙曲拋物面r(w,v)=(a(u+v),b(u-v),2wv)第一基本形式是

(4+〃+4y2)d〃2+2aJ〃+4〃y)d〃dv(*2h-42z

25.正螺面r(〃,u)=(〃cosu.〃sinu.bu)平均曲率為0.(正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分鐘)

26.方向(d)=(1〃：8是漸近方向充要條件是勺((1)=0或〃1〃2+2h<1〃(加+凡1/=0

27.兩個方向(d)=：du和(6)=3%:3V共較充要條件是II(dr,8r)=0或Ldudu+M(d?8v+dv5w)+7Vdv8v=0

AE-LAF-M

28.函數(shù)；l是主曲率充要條件是=0

AF-MAG-N

Edu+FdvLdu+Mdv

29.方向(d)=du:dv是主方向充要條件是

Fdu+GdvMdu+Ndv

30.依照羅德里格定理，如果方向(d)=(d〃：du)是主方向，則dn=-K..dr,其中仁是沿(d)方向法曲率

31.旋轉(zhuǎn)極小曲面是平面或懸鏈面

第四章

32.高斯方程是工=ZEq+4n-i,/=l,2,魏因加爾吞方程為n,=—i"=l,2

kj.k

33.g“用g”表達(dá)為3））=丁置g22―g|2?

det（g］）lg|2g”J

34.測地曲率幾何意義是曲面地上曲線（C）在￡點測地曲率絕對值等于（C）在￡點切平面且上正投影曲線（C*）曲率

35.心勺,“之間關(guān)系是*=勺2+勺2.

36.如果曲面上存在直線，則此直線測地曲率為0.

37.測地線方程為燮+￡*㈣叱=0?=1,2

d.y2V〃d.s-d,s-

38.高斯-波涅公式為JJ/317+|勺（15+2（萬一％）=2〃

GdGi=1

k

39.如果3G是由測地線構(gòu)成，則高斯-波涅公式為0KdeT+、2（萬—%）=2〃.

Gi=l

二、單選題

第一章

40.已知a=b=（l,2,-l）,則這兩個向量內(nèi)積2力為（C）.（內(nèi)積；易；2分鐘）

A2B—1C0D

41.求過點尸（1,1,1）且與向量a=（-1,0,-1）平行直線2方程是（A）.（直線方程；易；2分鐘）

X=Zx-\y

AB------=-z+1

y=l23

x=y

Cx+1=y=z+1D

z=1

42.已知a=(1,1,-1),b=(1,0,-1),c=(1,1,1),則混合積為（D）.（混合積：較易：2分鐘）

A2B-1CD-2

43.已知r?)=(d/eT),則/(0)為(A）.（導(dǎo)數(shù)；易；2分鐘）

A(1,0,1)B(-1,0,1)

C(0,1,1)D(1,0,-1)

44.已知r"）=Xr?）,4為常數(shù),則r⑺為(C）.（導(dǎo)數(shù)；易；2分鐘）

AAraBAaCeAfaDeAa

上述a為常向量.

45.已知r（x,y）=（x,y,孫），求dr（l,2）為（D）.（微分；較易；2分鐘）

A(dx,dy,dx+2dy)B(dx+dydr-dy,。)

4第D￡T一-----早-T*7-

46.圓柱螺線「=（以”/了!1/,/）切線與2軸（C）.（螺線、切向量、夾角；較易、2分鐘）

A平行B垂直

TTrr

c有固定夾角工D有固定夾角工

43

47.設(shè)有平面曲線C:r=r（s）,s為自然參數(shù),a,p是曲線基本向量.下列論述錯誤是（C）.

Aa為單位向量Ba±a

Cd=-/cpD0=-Kd

48.直線曲率為（B）.（曲率；易；2分鐘）

A-1B0C1D2

49.關(guān)于平面曲線曲率C:r=r（s）不對的是（D）.（伏雷內(nèi)公式；較易；2分鐘）

AK（S）=風(fēng)S）|BK(S)=|以s)|,(p為a(s)旋轉(zhuǎn)角

CK($)=-a-BDK(S)=|『⑸I

50.對于平面曲線，“曲率恒等于0”是“曲線是直線”（D）.（曲率；易；2分鐘）

A充分不必要條件B必要不充分條件

C既不充分也不必要條件D充要條件

51.下列闡述不對的是（D）.（基本向量；易；2分鐘）

Aa,%Y均為單位向量Ba±p

CP±YDa//p

52.對于空間曲線c,“曲率為零”是“曲線是直線”（D）.（曲率；易；2分鐘）

A充分不必要條件B必要不充分條件

C既不充分也不必要條件D充要條件

53.對于空間曲線C,“撓率為零”是“曲線是直線”（D）.（撓率：易；2分鐘）

A充分不必要條件B必要不充分條件

C既不充分也不必要條件D充要條件

t71

54.x=Q?-sinf),y=a(l-cos/),z=4asin］在點，二萬切線與z軸關(guān)系為(D).

A垂直B平行

7T

C成一角D成工角

34

第三章

222

55.橢球面與+2+」=1參數(shù)表達(dá)為（C）.（參數(shù)表達(dá)；易；2分鐘）

a~b-c

A(x,y,z)=(cos^x)s@n，如)(pB(x,y,z)=(?cos^cos0,/?cos^sin0,sin(p)

C(x,y,z)=(acos℃os0,bcos(psinO.csin(p)D(x,y,z)=(acos^?cos0,bsin(pcos0.csin20)

222

56.如下為單葉雙曲面：+方-1r=1參數(shù)表達(dá)是（D）.（參數(shù)表達(dá)；易：2分鐘）

A(x,y,z)=(acosh質(zhì)iny&osh?os,sinh)uB(x,y,z)=(coshacosv,coshwsinv,sinhw)

C(x,y,z)=(Qsinhucosv,bsinhusinv,ccoshu)D(x,y,z)=(Qcosh“coscosh"sinv,csinhw)

222

57.如下為雙葉雙曲面3+方-1r=T參數(shù)表達(dá)是（A）.（參數(shù)表達(dá)；易；2分鐘）

A(x,y,z)=(tzsinh“QOSVZxinhsin,vcosh)uB(x,y,z)=(Qcoshucosv,Z?sinhusinv,ccosh〃)

C(x,y,z)=(acoshucosv,bcoshwsinv,csinhu)D(x,y,z)=(cosh〃cosv,cosh〃sinv,sinhu)

X2y2

58.如下為橢圓拋物面7+$=2z參數(shù)表達(dá)是（B）.（參數(shù)表達(dá)：易：2分鐘）

A(x,y,z)=(wcosui/siny-4-B(x,y,z)=(ancosv,businv,

2

C(x,y,z)=(aucoshv,businhv,—)D(x,y9z)=(acosv,bsinv,v)

22

Xy

59.如下為雙曲拋物面一T2z參數(shù)表達(dá)是（C）.（參數(shù)表達(dá)；易；2分鐘）

a'

A(x,y,z)=(〃cosh%feinh?)B(x,y,z)=(coshu,sinhu,u)

C(x,y,z)=(a(u+v),h(u—v),2wv)D(x,y,z)=(au,hv,u—v)

60.曲面「（〃一）=（2〃—匕，，2+丫2,1/3一/）在點加（3,5,7）切平面方程為（8）.（切平面方程；易；2分鐘）

A21x+3y—5z+20=0B18x+3y-4z-41=0

C7x+5y-6z-18=0D18x+5y-3z+16=0

61.球面r（〃,u）=（尺8$〃以）$匕7?8$〃$巾匕/?$111〃）第一基本形式為（D）.（第一基本形式；中；2分鐘）

A/?2(dw24-sin2Av2)BR2(d/+cosh2r/dv2)

CR2(du2+sinh2udv2)DR2(du2+cos2wdv2)

62.正圓柱面r(“,y)=(Rcos%Rsinv,〃)第一基本形式為(C).(第一基本形式；中；2分鐘)

Adu2+dv2Bdw2-dv2Cdu2+7?2dv2Ddu2-R2(iv2

63.在第一基本形式為I(d“,du)=d"2+sinh2“d/曲面上，方程為〃=W匕4v＜為)曲線段弧長為(B.)（弧長；中；

2分鐘)

Acoshv2-coshv(Bsinhv2-sinh匕

Ccosh匕-coshv2Dsinhv,-sinhv2

64.設(shè)M為R'中2維正則曲面，則M參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)充要條件是(B).

A￡=0BF=0CG=0DM=0

65.如下對的是(D).(魏因加爾吞變換；較易；2分鐘)

Adn=W(dr)Bdn=W(dr.)

CdnH=W(drr)Ddn=-W(dr)

66.如下對的是(C).(魏因加爾吞變換；較易；2分鐘)

AI(dr,W(8r))=-II(di;5r)BI(dr,W(5r))=-I(W(5r),dr)

CI(dr,W(8r))=I(W(dr),5r)DI(dr,W(5r))=11(W(dr),3r)

67.如下對的是(A).(魏因加爾吞變換；較易；2分鐘)

AI(dr,W(&?))=W(dr,&)BI(dr,W(8r))=1I(W(dr),5r)

CI(dr,W(Sr))=-I(W(dr),5r)DII(dr,W(5r))=11(W(dr),8r)

68.高斯曲率為常數(shù)曲面叫（C）.（高斯曲率；易；2分鐘）

A極小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面

第四章

B69.￡g"g戶=-------.（第一基本形式；易；2分鐘）

iJ

A1B2C0D-1

B70.工gk4=——_.（第一基本形式；易；2分鐘）

J

Ag?BgHCgkjDg-

A71.rj=.（克氏符號；較易：2分鐘）

AZ/(翳+答-答B(yǎng)2療(答一答一答)

i2ouJdudui2oududu

CZ次條+答+翳)DZ*莞一答+答)

i20〃0〃OLIj20〃OnGit

A72.曲面上直線(如果有話)測地曲率等于.

A0B1C2D3

B73.當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時，參數(shù)曲線u-曲線測地曲率為.(劉維爾定理、測地曲率；中；4分鐘)

AJainEB_L^nE

14Edu2y/Gdv

1SlnG1SinE

C----j=------D―j=------

2VEdv2VGdu

A74.如果測地線同步為漸進(jìn)線，則它必為.(測地曲率、法曲率、曲率；中；2分鐘)

A直線B平面曲線C拋物線D圓柱螺線

B75.在偽球面(K三-1)上，任何測地三角形內(nèi)角之和.(高斯-波涅定理；中；4分鐘)

A等于萬B不大于萬C不不大于；rD不能擬定

三、多選題

第一章

76.若￡?)=(%(f),y,(f),z,C)),i=l,2,3為向量函數(shù)，則下列闡述對的是(AD).(導(dǎo)數(shù);易；4分鐘)

Ar；(f)=(X(f),y；?),z；(t))

Br；(f)=(x；(f),y⑺,Z]?))+(%⑺,x'(f),4(r))+(%Q),%”),z；(f))

CaCQ))，=(r：(f),r；(t),r；(f))

z

Da⑺,弓(f),r3(0)=(r：(f),三口),j⑺)+(r,(t),r；(f),q⑺)+(r,(t),r2(t),r；(f))

E(勺(。/2(力/3(。)'=(章力士⑺士⑺)

77.m,n為常向量，r(f)為向量函數(shù)，則下述對的是(ABC).(積分性質(zhì)；中；4分鐘)

bbbb

Ajm-r(/)df=m?Jr(z)drBjmxr(Z)d/=mxjr(r)d/

aa

hhbh

Cj(m,n,r(r))dr=(mxn)Jr(f)ckDj(m,n,r(z))dr=(m?n)ji?⑺由

bb

Ej(m,n,r(Z))dr=(mxn)xJr(r)dr

aa

第二章

78.下列曲線中為正則曲線有(ACDE)。(曲線概念：易；4分鐘)

Ar(x)=(x,x3),xe(-oo,+oo)Br(x)=(x2,x3),xe(-oo,+oo)

Cr(x)=(x2,x3),xe(0,+co)Dr(%)=(cosx,x),xe(-oo,+oo)Er(x)=(x,x),xe(-1,2)

79.下列曲線中是正則曲線有(ABCDE),(曲線概念：易；4分鐘)

Ar=(cosr,sin/,0，tG(-00,+00)

Br=(sin3z,3/,0),te(-oo,+oo)

Cr=(cosr,cos2r,sint),tG(-00,+oo)

Dr=(cosZ,1-cost-sint,-sint),tG(-00,+00)

Er=(2sin2r,2sin2rtanr,r),tG(-00,+oo)

80.下列式子對的是（ABCE）.（伏雷內(nèi)公式：中：4分鐘）

Ay=ax0By±a

Cp=-ka+ryDy±p

Ey〃?.

第三章

81.曲面z=/+y3在點“（1,2,9）（AD）.（切平面、法線；中；4分鐘）

A切平面方程為3x+12y—z—18=0

B切平面方程為3x+14y—z+8=0

…、，x—1y—3z—9

C法線方程為——=2-=——

312-1

D法線方程為土」=上2=三心

312-1

E法線方程為主1=）二=二

412-1

82.正螺面r=（〃cosR〃sinR4u）（AC）.（切平面、法線；中；4分鐘）

A切平面方程為xasinu-yQcosu+z〃-a〃u=0

B切平面方程為wsin〃一yacos〃+zv-a〃u=0

C切平面方程為xasinu-yacosu—zv-auv=0

、「x-wcosvy-wsinvz-av

D法線方程為---------=2--------=------

asinu-tzcosvu

E法線方程為七上也=匕竺辿=三絲

asinu-acosuv

83.下列二次形式中，（ABD）不能作為曲面第一基本形式.（第一基本形式；易；4分鐘）

AI(dw,dv)=dw2+4dwdv+dv2

BI(dw,dv)=dw2+4dwdv+4dv2

CI(dw,dv)=dw2-4dwdv+6dv2

DI(dw,dv)=du2+4di/dv-2dv2

EI(di/,dv)=du2+4dwdv+5dv2

84.普通螺面r（〃#）=（"cos匕〃sin匕/（〃）+〃口）第一類基本量是（BCD）.（第一基本量;;4分鐘）

AE=l+（/（〃））2BE=l+（r（〃））2

CF=af'（u）DG=a2+u2

EG=a2—u2

85.下列曲面中，（BCD）是旋轉(zhuǎn)常高斯曲率曲面.（常高斯曲率曲面；易；4分鐘）

A正螺面B平面C球面D圓柱面E懸鏈面

第四章

ABC86.對于曲面上正交坐標(biāo)網(wǎng)，測地曲率勺=（設(shè)曲線切方向與r“夾角為。）.

電一金c°s，+與sin。

A

ds2Ey/G2Gy/E

dd1ainEcos6+[HnGsin。

B

ds2-jG5V2jEdu

dO八.八

C——+K“COS0+KOsmj

ds8ugv

dO.八八

D——+K“Sin夕+K。cos夕

dsg"自

dO八.n

E——+K。COS夕一K。sin夕

dsg"g'

87.曲面上曲線是測地線充分必要條件是ABCD（測地線慨念；中；4分鐘）

d2?+"黑震=°曲線

A滿足方程

ds2

B滿足勺=0曲線

C除了曲率為零點外，曲線主法線重疊于曲面法線

D滿足K=0曲線

E滿足勺=0曲線

四、論述題

第三章

88.曲面。［解］設(shè)G是初等區(qū)域，SUR3,如果存在一種持續(xù)一一映射r:GfR3使得r(G)=S,則稱S是一張曲

面，而r=r(x)叫S參數(shù)表達(dá).

89.坐標(biāo)曲線?！窘狻壳鍿:r=r(〃,),("#)eG,r(〃,%)像叫〃一曲線，r(人,v)像叫丫一曲線，〃一曲線和丫一曲

線都叫坐標(biāo)曲線.

90.第一基本形式。【解】稱二次型I(d",dv)=EdM2+2Riadu+Gdy2(其中E=r“-r“，F(xiàn)=r?rr,G=rv-r.)為

曲面第一基本形式.而E、F、G叫曲面第一類基本量.

91.內(nèi)蘊量?！窘狻坑汕娴谝活惢玖克鶝Q定量叫曲面內(nèi)蘊量.

92.第二基本形式?！窘狻糠Q二次型II(d“,dn)=Ld“2+2MdMdv+Nd/(其中L=r,“-n,M=r,(i,-n,N=rw-n)

為曲面第二基本形式.而L,M,N為曲面第二類基本量.

93.【解】若在P點有LN—"?>(),則稱p點為曲面橢圓點.

94.法曲率?！窘狻拷o定曲面S上一點P處一種切向量(d)=d〃：du,則P點沿方向(d)法曲率定義為

K“(d)=II(dr,dr)/I(dr,dr).

95.主曲率?！窘狻渴狗ㄇ省?(d)達(dá)到極值方向叫曲面在該點主方向，而主方向法曲率叫該點主曲率.

96.高斯曲率。【解】曲面兩個主曲率之積K=叫曲面高斯曲率.

97.極小曲面?！窘狻科骄省?0曲面叫極小曲面.

五、計算題

第二章

98.求旋輪線工=。?一5山)丁=。(1一<：00/)04/42"一段弧長.(弧長；中；5分鐘)

［解】旋輪線I?解=一sinr),tz(l-cos￡))切向量為r'Q)=(a-acost.asint),則它0WY27r一段弧長為:

2乃2九,

5=j|rz(r)|dr=J0ajl-cosfdf=8a.

00

99.求曲線x=Fsinf,y=/cos，,z=/在原點切向量、主法向量、副法向量.（基本向量；中；10分鐘

【解】由題意知r'⑴=(sinl+fcost,cost-tsin+以)，

r'(，)=(2cos，Tsin￡,-2sinf—，cost,2el+fd),

在原點時有r'(0)=(0,l,l),r"(0)=(2,0,2)。

又

_匚(r；rV-(r；rV_r'xr〃

"同，Y-ir，xr，,r

因此有

100.圓柱螺線為r（，）=（acos，,Qsin/\Z?f）。（基本向量、曲率、撓率；中；15分鐘）

①求基本向量a,0,y；

②求曲率K和撓率z；

【解】①由題意有

r'Q)=(-asint,acost.b),y"Q)=(一。cost,-asint.0),

rf(r',r')r〃—(r'?r〃)r'rxr"一

又由公式。=西平=1看不二|；

lrllrklrxrI廣際i

a=/(一。sint,acost,b),

P=(一cost,-sinf,0),

y-.—(Z?sinz,-Z>cost,a).

yla2+b2

l^xrl(r'r"d)ab

②由普通參數(shù)曲率公式=及撓率公式「⑺=有K=7=一^

|rfl^xrfa2+h-a'+b2

第三章

101.求正螺面r3,v）=（"cosn,〃sinn,bv）切平面和法線方程.（切平面、法線：中；5分鐘）

【解】r(/=(cosv,sinv,0),rv=(-usinv,wcosv,Z7),切平面方程為

x-ucosvy-usinvz-bv

COSVsinv0=0=>bsinv-x-bcosu-y+uz—huv-0,

-wsinv〃cosub

法線方程為七3=匕也z-bv

u

102.求球面r(0,。)=(4cos0cosaacos°sin&4sino)上任一點處切平面與法線方程.

【解】

%=(一。sin夕cos仇-asin(psin0.acoscp),

%-(-acos0sin仇Qcoscpcos仇0),

%e2e3

%xr。=-asin8cos。一asinesin。acos(p

一〃cosesin。acos(pcos00

=a2cos夕(一cos(pcos0,-cosesin一sin°)

二?球面上任意點切平面方程為

(x-acos(pcosO.y-acos*sin8,z-asincp)

?ercose(一cos(pcos-cos(psin。，-sin0)=0,

即cos8cos(p-x+cos°sin6?y+sin0?z—a=0,

法線方程為

(x-acos(pcos0,y-acosesin9,z—asin(p)

=A-a2cos火一cos℃os&-cos°sin8,-sin(/)),

x-acos(pcos0y-acos(psinO_z—asin(p

B|J--------------

COS。COS。cos°singsin。

103.求旋轉(zhuǎn)拋物面Z=a(f+y2)第一基本形式.(第一基本形式：中：5分鐘)

【解】參數(shù)表達(dá)為r(x,y)=(x,y,a(x2+y2)),

rv=(1,0,2ax),rv=(0,1,2ay),

222

E=rv-rv=1+4ax,F=rv-rv=4axy,

G=rv-rv=l+4a2y2,

I(dx,dy)=(l+46z2x2)dr2+8tz2A>,dxd^+(l+46t2>,2)dy2.

104.求正螺面r(〃#)=(“cos匕“sin匕bu)第一基本形式.(第一基本形式；中；5分鐘)

【解】rlt=(cosv,sinv,0),rv,=(-usinv,wcosv,h),

22

E=ru-rlt=1,F=rw-rv.=0,G=rv-rv=w+/?,

I（dw,dv）=du2+（〃2+Z?2）dv2.

105.計算正螺面「（〃,口）=（〃以）5%〃$后匕歷0第一、第二基本量.（第一基本形式、第二基本形式：中；15分鐘）

【解】rlt=(cosv,sinv,0),rv=(-wsinv,ucosv,b),

rMM=(0,0,0),rMl,=(-sinv,cosv,0)，rvv=(-wcosv,-usinv,0),

rMxrv=cosvsinv0=(Z?sinv,-/7cosv,w),

-usinv4cosyb

ruxrv._(/?sinv,-bcosv,w)

n|r?Xr,l揚+“2

22

E=rur?=1,F=r“-r?=0,G=rv-rv=u+b,

b

L=r““-n=0,M=r?v-n=--==,N=r”「n=0?

y/h-+u

106.計算拋物面z=Y+y2高斯曲率和平均曲率.（高斯曲率、平均曲率；中；15分鐘）

【解】設(shè)拋物面參數(shù)表達(dá)為r（x,y）=Q,y,f+產(chǎn)）,則

rx=(1,0,2x),rv=(0,1,2y),

=(0,。,2),r,w=r、*=(0,0,0)>r”,=(0,0,2),

ijk

rvxrv=102x=(-2x,-2j,l),

012y

n=r、.xr,.￡2x,—2y,l)

Ijxr"，4/+4:/+1'

2「2

E=rvrx-1+4x,F=rry-4xy,G-rv-rv=1+4y,

2

L=r」n=,,M=rvy-n=0,

y]4x+4y-+1

、,

N=rn=.2——>

74/+4/+1

2242——0

“LN-M24X2+4^2+14

K------------2---------------------------------=------2-------------2-j

EG-F(1+4/)(1+4/)_(4孫)2(4%+4/+I)'

?1GL-2FM+EN4x2+4v2+2

H——-------------------------------.

2EG-F2〃2/2

(4x2+4y2+l)2

107.計算正螺面r(〃,u)=(〃cosu,〃sin匕〃v)高斯曲率(高斯曲率;中；15分鐘)

【解】直接計算知

E=1,F=07G=ir-\-cr,L=0M=-.a,N=0,

y/u2+a2

“LN-M2a2

*K=--------=----------

-EG-F2(u2+a2)2,

第四章

108.求位于正螺面X=MCOSV,y=“sinn,z=4丫上圓柱螺線1=%85%,=〃(用11丫,2=av(“0=常數(shù))測地曲率.(測

地曲率、劉維爾定理；中：15分)

【解】由于正螺面第一基本形式為I=d〃2+(“2+4)du2,螺旋線是正螺面V-曲線M=〃o,由。=工得㈣=0.由正

2ds

交網(wǎng)坐標(biāo)曲線測地曲率得

K=G“_=__

22

82G4EM0+a■

六、證明題

第二章

109.證明曲線r=(dcos，,dsinr,())切向量與曲線位置向量成定角.(切向量、夾角；較易；5分鐘)

【證】對曲線上任意一點，曲線位置向量為r=(dcos，,dsin1,0),該點切線切向量為：

r'=(d(cos/-sinf),d(sint+cosf),0),則有：

rfe21V2

|r||rr|2

TT

故夾角為工。由所取點任意性可知，該曲線與曲線切向量成定角.

4

110.證明：若r'和r"對一切r線性有關(guān)，則曲線是直線.(曲率；中；10分鐘)

【證明】若I''和r"對一切線性有關(guān)，則存在恒不同步為0/0),g(f)使

/(f)r'(f)+g(f)r"(f)=O。

則r'(f)xr"(t)=0Vfo

k'xr"|

又K(7)=二一，故左(f)=OVf。于是該曲線是直線.

111.證明圓柱螺線1=。(：05人丁=。5皿人2=初主法線和2軸垂直相交.(主法線、夾角：中：10分鐘)

【證明】由題意有

r'Q)=(-asint,acost,b),rw(f)=(-acost,-asint,0)。

由0=T'；7；?二""’知1=(一cos一sint,0)。另一方面z軸方向向量為a=(0,0,l),而af=°，故2_10，

|r|-|rxr|

即主法線與z軸垂直.

112.證明曲線x=asin",y=asinfcos^z=acos/所有法平面皆通過坐標(biāo)原點.(法平面；較易：5分鐘)

【證明】由題意可得r'Q)=(qsin2，,4cos2，,-asin，)，則任意點法平面為

2

asin2r0(x-6zsin+acos2t0(y-asmt0cost0)-asint0(z-acosr0)=0將點(0,0,0)代入上述方程有

左邊

二々sin2"(()-々sin?Zo)+6fcos2z()(0-tzsinr()cos%)-asin，()(()一〃cos%)=0=右邊，故結(jié)論成立.

113.證明曲線犬=三,丁=」="=」一為平面曲線，并建立曲線所在平面方程。(撓率；中；10分鐘)

1-t1-產(chǎn)i+r

【證明】設(shè)A上吆+8」方+C—匚+。=0,整頓比較兩邊同次項可得

1-z1-r\+t

A—D=0,2A—C=0,A+B+C+D=0,

則有A=D,B=-4O,C=2。，即曲線為直線，且有x-4y+2z+l=0.

第三章

114.求證正螺面上坐標(biāo)曲線(即〃-曲線族丫-曲線族)互相垂直.(坐標(biāo)曲線、夾角；5分鐘)

【證明】設(shè)正螺面參數(shù)表達(dá)是r(”#)=(“cos%asinv,M0，則

r“=(cosv,sinv,0),rv=(-wsinV,MCOSv,b),

=r(/?rv=(cosv,sinv,0)?(-?sinv,ucosu,b)=0,

故正螺面上坐標(biāo)曲線互相垂直.

115.證明馬鞍面2=盯上所有點都是雙曲點.(點分類、第二基本量；中；15分鐘)

【證明】參數(shù)表達(dá)為r(x,y)=(x,y,xy),則

r、.=(l,0,y),rv=(0,l,x),j=(0,0,0),%=(0,0,1),r?,=(0,0,0),

rvxr,_(-y,-x,v)

r*xr

vIjxr"7x2+/+l

L=%.n=0,M=%,n=，，N=%.n=°,

+y+1

1i

??.LN-M92=OXO---~~--=一--~~--<0,

廠+y+1x+y+1

故馬鞍面z=xy上所有點都是雙曲點.

116.如果曲面上某點第一與第二基本形式成比例，即U（d“,du）與方向無關(guān),則稱該點是曲面臍點；如果曲面上所有

I（dw,dv）

點都是臍點，則稱曲面是全臍.試證球面是全臍.（臍點：難；15分鐘）

【證明】設(shè)球面參數(shù)表達(dá)為

r(w,v)=(/?cosvcosw,/?cosvsinu./?sinv),貝！J

rM=(-/?cosvsinw,/?cosvcosw,0),

rv=(一Rsinvcosw,-/?sinvsinw,/?cosv),

ruu=(-/?cosvcosu,-Rcosvsinw,0),

ruv=rVM=(/?sinvsinw,-/?sinvcosw,0),

rvv=(-/?cosvcosw,-/?cosvsinw,-/?sinv),

222

E=rltru=Rcosv,F=?r、,=0,G=rv-rv=7?,

L=(尸「，￡,“)=—RCOS2C,M='工、-)=o,

y/EG-F2y/EG-F2

N==-R,

[EG-F2

:.(L,M,N)=—L(E,F,G),故球面是全臍.

R

117.證明平面是全臍.(臍點；易；5分鐘)

【證明】設(shè)平面參數(shù)表達(dá)為r(x,y)=(x,y,0),則

勺=(1,0,0),rv=(0,1,0),

4=(0,0,0),r=(0,0,0),r?=(0,0,0),

E=rA-rA.=1,F=rx-ry=0,G=rv.rv=1,

L=r3?n=0,A/=r?n=0,N=%,?n=0

,YL,M,N)=0(E,F,G),故平面是全臍.

118.設(shè)有曲面z=/(x,y),試證曲面第二基本形式與函數(shù)/(x,y)二階微提成比例.(第二基本形式；較難；10分鐘)

【證明】設(shè)曲面z=/(x,y)參數(shù)表達(dá)為r(x,y)=(x,y,/(x,y)),則

勺=。，0,力)，rv=(0,l"：),J=(0,0?,%=(0,0,鬼),r?=(0,0,&),

rrxr,_(一《,一f；,D

10止(5-AD，n=

Kxr"1

01f；

L=&M=r?-n=

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1

II