第5章 直線與平面和平面與平面

第5章直線與平面和平面與平面的相對位置5.1直線與平面、平面與平面平行5.2直線與平面、平面與平面相交5.3直線與平面、平面與平面垂直5.1直線與平面、平面與平面平行

5.1直線與平面、平面與平面平行幾何條件：假設直線平行于平面內(nèi)的任一直線，那么此直線必與該平面平行。ae'd'a'f'c'b'edbfcDE與△ABC相互平行。直線與平面平行2nn【例5-1】過M點作一水平線平行于平面△ABC。

O分析：過平面外一點可作無數(shù)條直線平行該平面，但此題要作一水平線與△ABC平行，所以在平面上作一條輔助的水平線才能滿足要求。a作圖：〔1〕過B點在△ABC面內(nèi)作一條水平線?！?〕過M點作水平線MN，使其水平投影和正投影分別平行過B點的水平線的水平投影和正面投影，MN即為所求。cbXacbmm5.1直線與平面、平面與平面平行3nn【例5-2】判斷直線MN是否與平面△ABC平行。

O分析：要判斷直線MN與△ABC是否平行，實際上是要看△ABC平面內(nèi)能否作出一條與直線MN平行的線。如果能作出來，那么說明直線MN與△ABC平行，否那么，直線MN與△ABC不平行。a作圖：〔1〕在△ABC上作一直線BD，使bd∥mn?！?〕求出直線的BD的水平投影bd。〔3〕bd與mn不平行，那么可判斷出MN與△ABC不平行。cbXacbmm5.1直線與平面、平面與平面平行dd4特殊情況下，假設直線與投影面垂直面平行，那么該投影面垂直面的積聚投影與該直線的同面投影平行。nOabXabm(n)m5.1直線與平面、平面與平面平行cfdec(d)f(e)距離實長直線與平面平行55.1.2平面與平面平行平面與平面平行的幾何條件：假設一平面內(nèi)兩條相交直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，那么該兩平面相互平行。5.1直線與平面、平面與平面平行6【例5-3】試判斷平面ABC和DEFG是否平行。5.1直線與平面、平面與平面平行分析：判斷兩平面是否平行，可以先在一個平面上作出兩相交直線，然后在另一個面上看能否找到與這兩條相交線分別平行的兩相交線。如果能找到，那么兩平面相互平行，否那么，不平行。作圖：〔1〕在DEFG平面上過D點作直線段DⅡ,令其正投影d2∥ab。〔2〕作出DⅡ的水平投影d2，判斷d2與AB的水平投影ab不平行。不平行ccOaebXagbdd2fgef27特殊情況下，當兩平面都是同一投影面的垂直面時，如果兩平面平行，那么在有積聚性投影面上的投影相互平行。OabXabe5.1直線與平面、平面與平面平行cfgf距離實長5.1.2平面與平面平行cge85.2

直線與平面、平面與平面相交

5.2直線與平面、平面與平面相交直線與平面相交于一點，該點稱為交點，它是直線和平面的共有點。兩平面相交于一條直線，該線稱為交線，它是兩平面的共有線。直線與平面、平面與平面相交問題，主要是求交點和交線問題。即直線、平面的投影，求交點和交線的投影；此外，還要判別直線與平面或平面與平面的重影局部的可見性。95.2.1特殊位置的直線或平面相交

5.2直線與平面、平面與平面相交特殊位置的相交問題是指相交的兩要素〔直線或平面〕中至少其一是垂直于投影面的。此時該要素的一個投影具有積聚性，因此利用積聚投影直接確定交點或交線的一個投影。然后用直線上取點、平面上取點和線的作圖方法求出交點、交線的另一投影?？梢娦缘呐袆e原那么：在有積聚性的投影面上，可見性無需判別，另一投影面上的投影可見性可通過直接觀察相交線面或面面的積聚投影的相對位置來確定或者借助重影點判斷可見性。10【例5-4】求鉛垂線DE與一般位置平面△ABC的交點，并判斷可見性。1．投影面垂直線與一般位置平面相交分析：

投影面垂直線在其垂直的投影面上的投影積聚成一點，那么它與一般位置平面的交點在此投影面上的投影也在該點上。同時該交點又屬于一般位置平面內(nèi)，從而利用面上作點的方法求出另一投影面上的投影。ccOabXabedd(e)5.2直線與平面、平面與平面相交11【例5-4】求鉛垂線DE與一般位置平面△ABC的交點，并判斷可見性。1．投影面垂直線與一般位置平面相交ccOabXabedd(e)作圖：〔1〕在平面△ABC的水平投影abc內(nèi)，過點d〔e〕作一直線am交bc邊于點m?！?〕由m作連系線交b'c'邊于點m'。連結(jié)a'm'與直線d'e'交于點k'。mmk5.2直線與平面、平面與平面相交12【例5-4】求鉛垂線DE與一般位置平面△ABC的交點，并判斷可見性。1．投影面垂直線與一般位置平面相交ccOabXabedd(e)判斷可見性：利用直線DE與平面上邊AB的重影點1'、2'來判斷可見性，由于1點在前，2點在后，故1'點可見，2'不可見，2'k'畫虛線。k1(2)mmk215.2直線與平面、平面與平面相交13【例5-5】求直線DE與鉛垂面△ABC的交點，并判斷可見性。2.一般位置直線與特殊位置平面相交

分析及作圖：△ABC在水平投影面上的投影積聚成一直線。因此它們的交點K的水平投影為DE與△ABC水平投影de與abc的交點k，然后由k作連系線交d'e'于k'。點K〔k，k'〕即為直線DE和△ABC的交點。ccOabXabede5.2直線與平面、平面與平面相交dkk14【例5-5】求直線DE與鉛垂面△ABC的交點，并判斷可見性。2.一般位置直線與特殊位置平面相交

ccOabXabede5.2直線與平面、平面與平面相交dk判斷可見性：利用直線DE與△ABC上的邊AB重影點3'、4'判斷它們的可見性。由水平投影看出，點4在后、點3在前，故直線3'k'可見，畫實線，另一段不可見，畫虛線。3(4)43k153.兩特殊位置平面相交

作圖：兩鉛垂面P、Q相交，其水平投影積聚為兩條直線p、q的交點m〔n〕為交線MN的水平投影，由之作連系線，可定出m'n'，它的長度僅為兩個平面的V面投影中共有的一段m'n'。ppOXq5.2直線與平面、平面與平面相交qm分析：兩個平面同時垂直于一個投影面時，那么交線是垂直于該投影面的直線，且交線的投影是兩平面積聚投影的交點。nm(n)163.兩特殊位置平面相交

正面投影中的可見性:可根據(jù)H面投影中p、q的前后位置來直觀地判斷。如MN右方，q位于p之前，故V面投影中，q′的右豎直線與P′重影局部可見，畫成實線；也可利用兩個平面上的重影點1′2′來判斷。ppOXq5.2直線與平面、平面與平面相交qm判斷可見性：在相交兩平面的投影公共區(qū)域，以交線MN為界，將平面圖形分為可見和不可見局部。由于水平面投影積聚成直線，故無需可見性判斷。121(2)nm(n)17121(2)4.特殊位置平面與一般位置平面相交

分析及作圖：

平面P是鉛垂面，其水平投影積聚為一條直線。根據(jù)共有性，平面P與△ABC的公共線段mn即是交線MN的水平投影，交線的兩端點M和N分別在△ABC的邊AB、AC上，對應求出m和n，連線即得交線的正面投影。PHOXp5.2直線與平面、平面與平面相交a判斷可見性：由于相交兩平面之一的水平投影積聚，故水平投影的可見性無需判斷。V面投影，可用重影點判斷。cbacbmnm'n'185.3直線與平面、平面與平面垂直

5.3直線與平面、平面與平面垂直．直線與平面垂直如果一直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么此直線垂直于該平面。Pl1l2BA如果一直線垂直于一平面，那么該直線垂直于平面上的所有直線。19fgf'g當直線垂直于平面時，那么該直線的水平投影必定垂直于該平面上水平線的水平投影；直線的正面投影必定垂直于該平面上正平線的正面投影。水平線正平線BCDEHAGFa'b'e'd'c'h'bedcha

5.3.1直線與平面垂直5.3直線與平面、平面與平面垂直AH⊥BCDE20fgf'g水平線正平線BCDEHAGFa'b'e'd'c'h'bedcha反之，假設一直線的水平投影垂直于某一平面的水平線的水平投影，直線的正面投影垂直于該平面的正平線的正面投影，那么該直線必垂直于該平面

5.3.1直線與平面垂直5.3直線與平面、平面與平面垂直AH⊥BCDE21【例5-8】求K點到△ABC的距離。分析：求點到平面的距離，需自該點向平面作垂線。根據(jù)線面垂直的條件，在面上作出兩條相交線〔一條為水平線，一條為正平線〕，然后過點作一條同時垂直于該兩條相交線的垂線，并求出垂線與平面的交點，點到垂足之間的距離即為所求。kaOX5.3直線與平面、平面與平面垂直bckabc22d【例5-8】求K點到△ABC的距離。作圖：〔1〕在△ABC上作一水平線BD〔bd，b'd'〕和正平線AE〔ae，a'e'〕?！?〕自K點向BD、AE引垂線KL，即作kl⊥bd，k'l'⊥a'e'。kaOX5.3直線與平面、平面與平面垂直bckabcdelle23【例5-8】求K點到△ABC的距離。作圖：〔1〕在△ABC上作一水平線BD〔bd，b'd'〕和正平線AE〔ae，a'e'〕?！?〕自K點向BD、AE引垂線KL，即作kl⊥bd，k'l'⊥a'e'?！?〕求KL與△ABC平面的交點F〔f，f'〕，即為垂足?！?〕用直角三角形法求出KF的實長K1f，那么K1f即為所求的距離。kaOX5.3直線與平面、平面與平面垂直bckabcll1212ffK124【例5-9】試過M點作直線與鉛垂面△ABC垂直。

aOX5.3直線與平面、平面與平面垂直b分析：特殊情況下，假設直線與特殊位置平面垂直，那么平面的積聚投影與直線的同面投影垂直，直線為該投影面的平行線。因為△ABC是鉛垂面，所以過點M作出的該面的垂線是一條水平線，線與面的H面投影相互垂直。accbmm25aOX5.3直線與平面、平面與平面垂直b作圖：〔1〕過m作直線mk⊥abc?！?〕過m'作平行于X軸的直線與過k作的豎直線交于點k'MK，即為所求。accbkkmm【例5-9】試過M點作直線與鉛垂面△ABC垂直。

265.3直線與平面、平面與平面垂直5.3.2平面與平面垂直如果一直線垂直于一平面，那么通過此直線的所有平面都垂直于該平面。275.3直線與平面、平面與平面垂直5.3.2平面與平面垂直反之，如果兩平面互相垂直，那么自第一個平面上的任意一點向第二個平面所作的垂線，一定在第一