參數(shù)估計區(qū)間估計

參數(shù)估計區(qū)間估計第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2、置信區(qū)間定義設(shè)統(tǒng)計量(X1,X2,???,Xn)<(X1,X2,???,Xn)，則稱[,]為隨機(jī)區(qū)間，、稱為此隨機(jī)區(qū)間的下限、上限。定義2設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;)的形式中僅含一個未知參數(shù),對于給定的任意常數(shù)(0<<1),若由的樣本X1,X2,???,Xn確定的兩個統(tǒng)計量

=(X1,X2,???,Xn)與=(X1,X2,???,Xn)，則稱1-為置信度，隨機(jī)區(qū)間(，)為未知參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間，、稱為置信度為1-的置信下限、置信上限。第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

目的參數(shù)的區(qū)間估計，就是求總體X分布中未知參數(shù)的置信度為1-置信區(qū)間。

意義

置信度1-反映了區(qū)間估計的可靠程度，表示誤判的風(fēng)險，即進(jìn)行多輪抽樣，每輪樣本值都確定一個區(qū)間(，)，此區(qū)間含參數(shù)真值的概率是1-，不含參數(shù)真值的概率是(不準(zhǔn)的概率，也稱為檢驗(yàn)水平)，另外，置信區(qū)間的長度反映了區(qū)間估計的精確度。第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3、選取置信區(qū)間的原則原則一般地第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月二、構(gòu)造置信區(qū)間的一般步驟求c,d一般利用不僅一組。第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月三、總體X的數(shù)學(xué)期望EX的區(qū)間估計(一)、總體X的方差2已知1.總體X的分布未知思想：利用契比雪夫不等式進(jìn)行估計，即方法：設(shè)樣本X1,X2,???,Xn來自總體X，EX=,DX=2,

(0,1),尋找統(tǒng)計量

(X1,X2,???,Xn)和(X1,X2,???,Xn)，使得第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月EX置信區(qū)間長為為提高精度,容量n需教大,因此估計較粗略。如：置信度為0.95的EX置信區(qū)間可為因此置信度為1-的EX置信區(qū)間可為第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.在某制造廠一天中發(fā)生著火的次數(shù)X是一個隨機(jī)變量，設(shè)X～P(),其中未知，現(xiàn)在隨機(jī)抽取該廠250天的記錄如下：設(shè)DX=8，試求未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間。解=1.22置信度為0.95的置信區(qū)間為(0.42，2.02)。著火的次數(shù)0123456發(fā)生k次著火的天數(shù)nk75905422621第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.單個正態(tài)總體X～N(,2),2為已知方法：設(shè)樣本X1,X2,???,Xn來自總體X，

(0,1),尋找統(tǒng)計量(X1,X2,???,Xn)和(X1,X2,???,Xn)，使得第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月因此置信度為1-的置信區(qū)間可為置信區(qū)間長為如：求樣本容量n=16,=1,X=5.20,置信度為0.95的置信區(qū)間，置信區(qū)間可為(4.71,6.69)第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月在置信度為0.95的置信區(qū)間可為(0.828,1.612)I=0.784例2在例1制造廠一天中發(fā)生著火的次數(shù)X~N(,10),其中未知,現(xiàn)在隨機(jī)抽取該廠250天記錄得X=1.22,求在置信度為0.95的置信區(qū)間。第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)在置信度為0.95的置信區(qū)間也可為I=0.814參數(shù)在置信度為0.95的置信區(qū)間也可為其它形式。第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解置信區(qū)間為(4.413，4.555)例3.鋼廠鐵水含碳量X~N(,0.1082),

現(xiàn)在隨機(jī)測定該廠9爐鐵水得X=4.484,求在置信度為0.95的條件下鐵水平均含碳量的置信區(qū)間。第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3.一般總體的大樣下EX的區(qū)間估計(1)2為已知(2)2為未知用S2代替2為未知選取選取第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)、總體X的方差2未知置信度為1-選取因此置信度為1-的置信區(qū)間可為第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例4某糖廠生產(chǎn)一批糖果，設(shè)袋裝糖果的重量X~N(,2),現(xiàn)從中取出16袋稱得重量如下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496。試求總體X的均值置信度為0.95的置信區(qū)間。解=(500.4，507.1)置信區(qū)間為選取第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月四、正態(tài)總體X~N(,2)方差2的區(qū)間估計(一)、總體X數(shù)學(xué)期望=0已知樣本X1,X2,???,Xn.且2有估計量選取樣本函數(shù)第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本X1,X2,???,Xn,且S2是2的無偏估計.因此置信度為1-的2置信區(qū)間可為(二)、總體X數(shù)學(xué)期望未知選取樣本函數(shù)第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月因此置信度為1-的2置信區(qū)間可為注意：情形(一)也可以參照(二)來估計。第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例5某糖廠生產(chǎn)一批糖果，設(shè)袋裝糖果的重量X~N(,2),現(xiàn)從中取出16袋稱得重量如下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496。試求總體X的方差

2置信度為0.95的置信區(qū)間。解

,2未知,符號情形(二),S=6.2022,n=16.置信區(qū)間為=27.5，查表得=6.26，選取第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)求的置信區(qū)間,

2未知,n=16,=0.05.選取查表得置信區(qū)間為=(2.690,2.720)例6.測量一批鉛錠的比重，設(shè)鉛錠的比重X~N(,2),現(xiàn)進(jìn)行16次檢測得鉛錠的比重有X=2.705，S2=0.0292，試求總體X的均值和方差

2置信度為0.95的置信區(qū)間。第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)求2

的置信區(qū)間,未知,n=16,=0.05.置信區(qū)間為=27.5，查表得=6.26，選取=(0.00046,0.002)第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月問題:產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標(biāo)符合正態(tài)分布,但由于種種因素,引起均值、方差的變化，現(xiàn)需要知道這種變化的大小，可考慮進(jìn)行均值的差以及方差比的估計。五、兩個正態(tài)總體X~N(1,12)和

Y~N(2,22)的區(qū)間估計設(shè)總體X~N(1,12)與Y~N(2,22)相互獨(dú)立。樣本來自總體X~N(1,12),樣本來自總體Y~N(2,22)第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)合方差第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1、1-2的1-置信區(qū)間(1)、12、22已知選取因此置信度為1-的1-2置信區(qū)間可為第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)、12、22未知，且n1,n2較大(如大于50)由于n1,n2較大，12S12、22S22，仿(1)選取因此置信度為1-的1-2置信區(qū)間可為第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)、12=22=2未知選取因此置信度為1-的1-2置信區(qū)間可為其中r=n1+n2-2第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月選取因此置信度為1-的置信區(qū)間可為第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例7以商店銷售某種商品來自甲、乙兩廠家，為檢測商品的性能差異，現(xiàn)從甲、乙兩廠產(chǎn)品中分別抽取8件和9件產(chǎn)品，檢得性能指標(biāo)X數(shù)據(jù)如下表：設(shè)兩廠的產(chǎn)品性能指標(biāo)服從X1~N(1,12)和X2~N(2,22)(1)若12=0.0064,22=0.0081,求1-2置信度為0.9置信區(qū)間。

(2)求和1-2置信度為0.9置信區(qū)間。

甲廠X10.300.120.180.250.270.080.190.13乙廠X20.280.300.110.140.350.260.140.310.20第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解因此置信度為0.9的1-2置信區(qū)間可為(1)、12、22已知=(-0.042-1.64*0.041,-0.042+1.64*0.041)=(-0.109,0.025)第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)求和1-2置信度為0.9置信區(qū)間。

的置信度為0.9置信區(qū)間=0.1,查表得F0.05(7,8)=3.50F0.05(8,7)=3.73因此置信度為0.9的置信區(qū)間可為=(0.226,2.947)第32頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1-2置信度為0.9置信區(qū)間視12=22情形,=0.1,查表得聯(lián)合方差:=0.0084t0.05(15)=1.7531因此置信度為0.90的1-2置信區(qū)間可為=(-0.048892,-0.0351)此區(qū)間不含零，可認(rèn)為兩廠的產(chǎn)品性能有顯著差異。第33頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例8在測量反應(yīng)時間時，一個心理學(xué)家估計的標(biāo)準(zhǔn)差是0.05秒，為了能以95％的置信度使得他對平均反應(yīng)時間的估計誤差不超過0.01秒，問應(yīng)該抽取多大的樣本容量n。解選取n>96第34頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年