固體物理第三章晶格振動(dòng)

固體物理第三章晶格振動(dòng)第1頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月晶格振動(dòng)與格波

實(shí)際晶體中的原子并非完全固定不動(dòng)，原子是不斷運(yùn)動(dòng)的，具有動(dòng)能，但是通常情況下原子又不能遠(yuǎn)離格點(diǎn)，被束縛在格點(diǎn)附近做周期性振動(dòng)

由于晶體具有周期性結(jié)構(gòu)，原子振動(dòng)相互關(guān)聯(lián)，在晶體中形成格波。第2頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1一維晶格的振動(dòng)一、一維簡(jiǎn)單格子

設(shè)晶格常量為

a，原子

n偏離平衡位置的位移為un，只考慮最近鄰的相互作用，晶格振動(dòng)時(shí)相鄰兩原子在t時(shí)刻的距離第3頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

晶格作小幅度振動(dòng)，即|d|<<a，則相鄰兩原子的相互作用能可以展開為其中U(a)為相鄰兩原子在間距等于晶格常量時(shí)的相互作用能，一般可取為0，而為相鄰原子間的作用力1、一維簡(jiǎn)單格子的互作用力第4頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

忽略高階項(xiàng)，只保留到2階項(xiàng)，則該近似稱為簡(jiǎn)諧近似，在該近似下，原子間的相互作用力是彈性恢復(fù)力，式中

是彈性恢復(fù)力常數(shù)第5頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第n

個(gè)原子的所受作用力為第6頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程與解

第

n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程

每個(gè)原子對(duì)應(yīng)一個(gè)方程，如果原子鏈有N

個(gè)原子則有N

個(gè)方程，上式實(shí)際上就是N

個(gè)聯(lián)立的齊次方程組第7頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、玻恩-卡門條件（周期性邊界條件）：

設(shè)想在實(shí)際晶體外，仍然有無(wú)限多個(gè)相同的晶體相聯(lián)結(jié)，各晶體中相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況都一樣。

12nNN+1N+2N+n第8頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

上述方程具有波動(dòng)形式的解其中A為振幅，是圓頻率，q是波矢。q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單

位距離兩點(diǎn)間的振動(dòng)位相差。格波解：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振

動(dòng)，不同原子間有振動(dòng)位相差，這種振動(dòng)以波

的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。

對(duì)于確定的n：第n個(gè)原子的位移隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧振動(dòng)

對(duì)于確定時(shí)刻t：不同的原子有不同的振動(dòng)位相第9頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把該解代入運(yùn)動(dòng)方程

即由上式可以看出頻率是波矢q的周期函數(shù)，周期為，正好為一維鏈的倒格矢，即格波頻率具有倒格子周期性,式中q換成-q時(shí)，頻率也不變，頻率具有反演對(duì)稱性。第10頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11設(shè)波包的傳播速度為v，則由得波格傳播的速度是波長(zhǎng)的函數(shù)，波長(zhǎng)不同的波格傳播速度不同。通常稱與q的關(guān)系稱為色散關(guān)系。第11頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12

格波的波矢量q

的取值范圍？對(duì)于指數(shù)函數(shù)如果qa

改變2p

值，結(jié)果并沒(méi)有什么不同，因?yàn)樗詑a

可以取在–p與p

之間，已涵蓋該指數(shù)函數(shù)的所有獨(dú)立值或此即一維單原子鏈的第一布里淵區(qū)第12頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月133、波矢q的個(gè)數(shù)，模式數(shù)由于晶體的體積是很有限的，因而格波波矢的取值不能是任意的，必然受到邊界條件的限制，設(shè)晶體包含N個(gè)原子，由邊界條件的周期性有：帶入位移的表達(dá)式可得到oq第13頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月14重要結(jié)論：上式說(shuō)明晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶格原胞數(shù)目，由色散關(guān)系式知給定一個(gè)q總有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)。給定一組就表示原子的一種振動(dòng)形式，我們稱之為振動(dòng)模式。這說(shuō)明q只能取一系列不連續(xù)的值，在q空間，一個(gè)q值與一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，這些點(diǎn)在空間均勻分布，相鄰q點(diǎn)的“距離”為，而q的取值在第一布里淵區(qū)，它的大小為,所以允許的q的總數(shù)為第14頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2一維雙原子鏈晶格的振動(dòng)一、一維雙原子鏈晶格的振動(dòng)第15頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第2n號(hào)原子,由虎克定律F2n-1

F2n+12n2n號(hào)原子的運(yùn)動(dòng)方程2n+22n

2n+1

2n-1第16頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、試探解

同理，2n+1號(hào)原子的運(yùn)動(dòng)方程為

F2n

F2n+2第17頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把u2n、u2n+1代入以上兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程關(guān)于A、B的兩個(gè)方程A、B非零解，系數(shù)行列式為0

第18頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、色散關(guān)系abMmMmβ1β2u2n－1色散關(guān)系與力常數(shù)β和格常數(shù)a有關(guān)

對(duì)于實(shí)際晶體，＋(0)在1013

~1014Hz，對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)紅外光范圍。離子晶體中光學(xué)波的共振可引起對(duì)遠(yuǎn)紅外光在＋(0)附近的強(qiáng)烈吸收。第19頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)q=0ωA=0

當(dāng)q=

第20頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5、波矢q

的取值、格波支數(shù)利用波恩—卡門邊界條件，波矢q的取值

m=0,±1,±2,……波矢數(shù)=原胞數(shù)

N格波模式總數(shù)=原子總數(shù)=2N第21頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月原子間力常數(shù)均為β第22頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第23頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ωAωOqωo第24頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3.2三維晶格振動(dòng)一、關(guān)于波矢q一個(gè)m值對(duì)應(yīng)一個(gè)q點(diǎn)，波矢取分離值，均勻分布相鄰q點(diǎn)“距離”為內(nèi)，q

點(diǎn)的取值數(shù)=（1）一維第25頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)N1、N2和N3分別為晶體沿三個(gè)基矢方向的原胞數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N＝N1N2N3

a1a2a3（2）三維h1,h2,h3＝整數(shù)一組（h1、h2、h3）確定一個(gè)波矢q點(diǎn)，波矢q分離值、均勻分布。第26頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可取的q

點(diǎn)數(shù)=在q空間中，每一個(gè)q的取值（狀態(tài)）所占的空間為：第27頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：三維晶體有N個(gè)原胞，每個(gè)原胞內(nèi)有s個(gè)原子（一個(gè)基元）波矢數(shù)=原胞數(shù)N振動(dòng)模式數(shù)=所有原子自由度數(shù)3sN第28頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3晶格振動(dòng)的量子化和聲子

在簡(jiǎn)諧近似下，晶體中存在3sN個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)諧格波，晶體中任一原子的實(shí)際振動(dòng)狀態(tài)由這3sN個(gè)簡(jiǎn)諧格波共同決定.

晶格振動(dòng)的系統(tǒng)能量是否可表示成3sN個(gè)獨(dú)立諧振子能量之和嗎？第29頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月首先以單原子為例波矢為q的格波引起的第n個(gè)原子的位移為格波不同引起的原子位移一般也不同一、簡(jiǎn)正振動(dòng)第n個(gè)原子的總位移應(yīng)為所有格波引起位移的迭加第30頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將和Aq寫在同一表達(dá)式中其中按經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為動(dòng)能和勢(shì)能之和包含交叉項(xiàng)交叉項(xiàng)第31頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有交叉項(xiàng)對(duì)建立物理模型和數(shù)學(xué)處理都帶來(lái)困難.簡(jiǎn)正變換:式中稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo).

Q(q,t)代表一個(gè)新的空間坐標(biāo)，它已不再是描述某個(gè)原子運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)了，而是反映晶體中所有原子整體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)，稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)。第32頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月廣義動(dòng)量經(jīng)典諧振子能量簡(jiǎn)正坐標(biāo)

由N個(gè)原子組成的一維晶體，其晶格振動(dòng)能量可看成N個(gè)諧振子的能量之和.廣義坐標(biāo)第33頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月按照量子力學(xué)，獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子的能量所以一維晶格振動(dòng)的總能量晶格振動(dòng)的能量是量子化的，能量的增減以計(jì)量.當(dāng)n=0時(shí)---零點(diǎn)能上述方法可以推廣到三維晶格,設(shè)每個(gè)原胞中含p個(gè)原子第34頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月光子1905年愛(ài)因斯坦在研究光電效應(yīng)時(shí)提出光子的概念.光是運(yùn)動(dòng)著的粒子流→光子每個(gè)光子的能量為對(duì)照光子的概念,我們將格波的能量量子稱為聲子.注:(1)聲子是準(zhǔn)粒子.光子是真實(shí)粒子,可在真空中存在.聲子是人們?yōu)榱烁美斫夂吞幚砭Ц窦w振動(dòng)而設(shè)想的一種粒子,不能游離于固體之外.二、聲子第35頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6晶格的比熱一、固體的定容熱容E—固體的平均內(nèi)能按照經(jīng)典理論,每個(gè)自由度的平均能量---能均定理N個(gè)原子，晶體總能量熱容是一個(gè)與溫度和材料無(wú)關(guān)的常數(shù).---杜?。晏娑蓪?shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)熱容量隨溫度迅速趨于零!與實(shí)驗(yàn)不符第36頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)量子理論,在簡(jiǎn)諧近似下,晶體的能量為

頻率的計(jì)算比較復(fù)雜,在一般討論中，常用愛(ài)因斯坦模型和德拜模型.比熱的量子理論第37頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、愛(ài)因斯坦模型

1907年愛(ài)因斯坦采用了非常簡(jiǎn)單的假設(shè)：假設(shè)晶體中的原子振動(dòng)是相互獨(dú)立的，所有原子都具有同一頻率0.

第38頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月---愛(ài)因斯坦溫度溫度較高時(shí)——與杜隆—珀替定律相符溫度非常低時(shí)——按溫度的指數(shù)形式降低第39頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月——按溫度的指數(shù)形式降低

這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果，解決了長(zhǎng)期以來(lái)困擾物理學(xué)的一個(gè)疑難問(wèn)題.實(shí)驗(yàn)表明:溫度很低時(shí)---愛(ài)因斯坦模型過(guò)于簡(jiǎn)單,忽略了各格波之間的頻率差別.溫度較高時(shí)

——與杜隆—珀替定律相符溫度非常低時(shí)第40頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

德拜于1912年提出了另一個(gè)簡(jiǎn)化模型,考慮了格波的的頻率分布.(1)把晶體視為連續(xù)介質(zhì),即把格波看作是彈性波.(2)假定橫波和縱波的波速相等.低溫時(shí)，只有長(zhǎng)聲學(xué)波被激發(fā)，對(duì)比熱容產(chǎn)生影響，所以實(shí)際上，德拜模型考慮的正是長(zhǎng)聲學(xué)波對(duì)比熱的影響.基本思想:三、德拜模型第41頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月q是準(zhǔn)連續(xù)的,所以頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的，則第42頁(yè)，課件共45頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月德拜T3定律：低溫時(shí)晶體的比熱與T3成正比。低溫

T<<

高溫T