第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4 5 3模型應(yīng)用

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fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期4.5.3

函數(shù)模型的應(yīng)用課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在實際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),認(rèn)識函數(shù)模型的作用,提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、常見的函數(shù)模型在現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中,有許多問題蘊含著量與量之間的關(guān)系,可通過建立變量之間的函數(shù)關(guān)系并對所得函數(shù)進行研究的方式,使問題得到解決.到目前為止,我們已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型有哪些?提示:一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、冪函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型:y=kax+b(k≠0,a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型:y=klogax+b(k≠0,a>0,且a≠1).二、解決函數(shù)實際應(yīng)用問題的基本步驟解決函數(shù)實際應(yīng)用問題的一般步驟設(shè)恰當(dāng)?shù)淖兞?研究實際問題中的變量之間的關(guān)系,并用x,y表示問題中的變量.建立函數(shù)模型:將y表示為x的函數(shù),寫出y關(guān)于x的解析式,并注意標(biāo)明函數(shù)的定義域.求解函數(shù)模型:根據(jù)函數(shù)模型及其定義域,利用相應(yīng)的函數(shù)知識求解函數(shù)模型.給出實際問題的解:將數(shù)學(xué)模型的解還原為實際問題的解,得出實際問題的解.解決函數(shù)實際應(yīng)用問題的一般步驟設(shè)恰當(dāng)?shù)淖兞?研究實際問題中的變量之間的關(guān)系,并用x,y表示問題中的變量.建立函數(shù)模型:將y表示為x的函數(shù),寫出y關(guān)于x的解析式,并注意標(biāo)明函數(shù)的定義域.求解函數(shù)模型:根據(jù)函數(shù)模型及其定義域,利用相應(yīng)的函數(shù)知識求解函數(shù)模型.給出實際問題的解:將數(shù)學(xué)模型的解還原為實際問題的解,得出實際問題的解.【思考辨析】判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“ ”,錯誤的打“×”.(1)銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題可以用指數(shù)型函數(shù)?！绦蛠肀硎?(

)(2)在函數(shù)建模中,散點圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(

√)(3)當(dāng)自變量在不同的范圍下,對應(yīng)關(guān)系不同時,可以選擇分段√函數(shù)模型.(

)合作探究·釋疑解惑探究一與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥,假設(shè)成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:微克)與時間t(單位:小時)之間近似滿足曲線如圖所示.寫出服藥后y與t之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(t);據(jù)進一步測定:每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時,治療有效.求服藥一次后治療有效的時間.解:(1)當(dāng)0≤t<1

時,y=4t;??當(dāng)

t≥1

時,y=

??

??-??,因為點(1,4)在該曲線上,??

??所以

4=

??

??-??,解得

a=3,故

y=

??

??-??.所以y=f(t)=,,????

??-??

,.(2)由

f(t)≥0.25,得

.

,或??

??-????.

,.解得??????≤t≤5.所以服藥一次后治療有效的時間為5-??

=4????(小時).????

????若將本例中(2)改為:據(jù)進一步測定,每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時,治療有效.如果第一次服藥在上午7:00,那么第二次服藥應(yīng)該在什么時間?1解:設(shè)第二次服藥在第一次服藥

t

小時后,依題意有????????

-??=0.25,所以t1=5,因此第二次服藥應(yīng)該在12:00.反思感悟應(yīng)用與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型需注意的問題(1)在利用模型解決實際問題時,要注意自變量x的取值范圍;(2)對于函數(shù)y=kax,不僅要注意底數(shù)a的取值范圍,還要注意k的符號對函數(shù)性質(zhì)的影響;(3)若原有量為N,每次的減少率為p,經(jīng)過x次減少,原有量減少到y(tǒng),則y=N(1-p)x.探究二與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型的應(yīng)用氧量Q之間的關(guān)系為

(其中a,b是常數(shù)).據(jù)統(tǒng)計,該種候鳥在靜止時的耗氧量為30個單位,而其耗氧量為90個單位時,飛行速度為1

m·s-1.求a,b的值;若這種候鳥為趕路程,飛行的速度不能低于2m·s-1,則其耗氧量至少要多少個單位?v=a+blog3【例2】候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進行大規(guī)模遷徙,研究某種候鳥的專家發(fā)現(xiàn),該種候鳥的飛行速度v(單位:m·s-1)與其耗??????解:(1)由題意可知,當(dāng)這種候鳥靜止時,它的速度為0m·s-1,耗氧量為30個單位,所以

a+blog

????=0,即

a+b=0.

①3????當(dāng)耗氧量為90

個單位時,速度為1

m·s-1,3????故有

a+blog

????=1,整理得

a+2b=1.

②,聯(lián)立①②得

,

解得-

,.????

????(2)由(1),知v=a+blog3

??

=-1+log3

??

.要使飛行速度不能低于2m·s-1,則有v≥2,即-1+log3

??

≥2,即log3

??

≥3,????

????解得??

≥27,即Q≥270.????所以耗氧量至少要270

個單位.反思感悟求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型的技巧:先根據(jù)已知條件求出解析式中的參數(shù)值,或結(jié)合具體問題從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求解,再根據(jù)數(shù)值回答其實際意義.【變式訓(xùn)練1】

某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖,引入了一種以該昆蟲為食的動物.已知該動物的繁殖數(shù)量y(單位:只)與引入時間x(單位:年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只,則第7年它們發(fā)展到( )A.300只

B.400只

C.600只

D.700只解析:將x=1,y=100代入y=alog2(x+1),得100=alog2(1+1),解得a=100.所以當(dāng)x=7時,y=100log2(7+1)=300.答案:A第x年123產(chǎn)量/萬81830探究三函數(shù)模型的選擇【例3】某汽車制造商在2022年初公告:公司計劃2022年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛.分別將2019年,2020年,2021年定義為第

1,2,3年,已知該公司近三年汽車生產(chǎn)量如下表所示:現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型:y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0),y=g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),哪個模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與x的關(guān)系?解:建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù),可知函數(shù)圖象必過點(1,8),(2,18),(3,30).①構(gòu)造模型y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0),將以上三點坐標(biāo)代入,可得,,解得,,,.則y=f(x)=x2+7x.故f(4)=44,與計劃誤差為1.②構(gòu)造模型y=g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),將以上三點坐標(biāo)代入,可得,????,解得,??

??????

,??

??,-

.則y=g(x)=????????

????

??-42.故g(4)=????????

????

??-42=44.4,與計劃誤差為1.4.由①②可得,模型y=f(x)=x2+7x

能更好地反映公司年產(chǎn)量y

與x

的關(guān)系.反思感悟函數(shù)模型選取的依據(jù)(1)對于增長速度不變的實際問題,可建立線性函數(shù)增長模型;(2)對于增長速度急劇變化的實際問題,可建立指數(shù)函數(shù)增長模型;(3)對于增長速度平緩的實際問題,可建立對數(shù)函數(shù)增長模型.在解決具體問題時,需要提取問題中的關(guān)鍵信息,恰當(dāng)準(zhǔn)確地建立相應(yīng)的函數(shù)模型.【變式訓(xùn)練2】

某地區(qū)加大植樹造林力度,測得最近三年造林面積增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,則造林面積增加值y萬公頃關(guān)于年份序號x的函數(shù)解析式大致可以是(

)A.y=0.2x

B.y=

??

(x2+2x)C.y=????????16????D.y=0.2+log

x解析:對于選項A,當(dāng)x=1,2時,符合題意,當(dāng)x=3時,y=0.6,與0.76相差0.16;對于選項B,當(dāng)x=1時,y=0.3;當(dāng)x=2時,y=0.8;當(dāng)x=3時,y=1.5,相差較大,不符合題意;對于選項C,當(dāng)x=1,2時,符合題意;當(dāng)x=3時,y=0.8,與0.76相差0.04,與選項A比較,更符合題意;對于選項D,當(dāng)x=1時,y=0.2;當(dāng)x=2時,y=0.45;當(dāng)x=3時,y≈0.6<0.7,相差較大,不符合題意.答案:C易

錯

辨

析審題不清致錯【典例】

某工廠連續(xù)數(shù)年的產(chǎn)值月平均增長率為p,則它的年平均增長率為

.錯解:設(shè)第一年的產(chǎn)值為1,則經(jīng)過12個月后,即第二年的產(chǎn)值為(1+p)12,即它的年平均增長率為(1+p)12.答案:(1+p)12以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述錯解是由于對年平均增長率的含義理解不清導(dǎo)致的.正解:依題意可設(shè),連續(xù)兩年中每月的產(chǎn)值分別為:第一年:a,a(1+p),a(1+p)2,…,a(1+p)11,第二年:a(1+p)12,a(1+p)13,a(1+p)14,…,a(1+p)23,因此年平均增長率為[??(??+??)????+??(??+??)????+??(??+??)????+…+??(??+??)????]-[??+??(??+??)+??(??+??)??+…+??(??+??)????]??+??(??+??)+??(??+??)??+…+??(??+??)????=(1+p)12-1.答案:(1+p)12-1防范措施在增長率公式y(tǒng)=N(1+p)x中,指數(shù)x是指基數(shù)所在時間后所跨過的時間間隔數(shù).【變式訓(xùn)練】若某工廠連續(xù)兩年的產(chǎn)值月平均增長率都是a,則第二年某月的產(chǎn)值與第一年相應(yīng)月的產(chǎn)值相比,增長了

.解析:不妨設(shè)第一年1月的產(chǎn)值為b,則2月的產(chǎn)值為b(1+a),3月的產(chǎn)值為b(1+a)2,依次類推,第二年1月的產(chǎn)值為b(1+a)12.故第二年某月的產(chǎn)值與第一年相應(yīng)月的產(chǎn)值相比增長了??(??+??)????-??=(1+a)12-1.??答案:(1+a)12-1隨

堂

練

習(xí)1.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每15

min分裂1次(由1個分裂成2個),則這種細(xì)菌由1個分裂成256個需經(jīng)過()A.8

h

B.4

h

C.3

h

D.2

h解析:設(shè)細(xì)菌共分裂了x次,則有2x=256,即2x=28,即x=8.又此細(xì)菌每15min分裂1次,所以共需15×8=120(min),即2h,故選D.答案:D2.已知測得(x,y)的兩組值為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個擬合函數(shù)模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又測得(x,y)的另一組對應(yīng)值為(3,10.2),則選用

作為擬合模型較好.(填“甲”或“乙”)解析:對于甲:當(dāng)x=3時,y=32+1=10;對于乙:當(dāng)x=3時