2022屆新高考數(shù)學精準沖刺復(fù)習空間向量求夾角及距離

2022屆新高考數(shù)學精準沖刺復(fù)習

利用空間向量求夾角及距離

【教學目標】

本節(jié)內(nèi)容目標層級是否掌握

★★★★★☆

利用空間向量求夾角

★★★★★☆

利用空間向量求距離

一、利用空間向量求夾角

【知識點】

1.兩條異面直線所成的角

(1淀義：設(shè)a*是兩條異面直線，過空間任一點。作直線a'%,b'Hb，則"與"所夾的角叫做a與。所

成的角.

(2)范圍：兩異面直線所成角。的取值范圍是0,y

(3)向量求法：設(shè)異面直線a,力的夾角為。,方向向量為/；,T2,其夾角為。，則有

cos6=|cos同

2.直線與平面所成的角

(1)定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角.

(2)范圍：直線和平面所成的角。的取值范圍是0,^|

(3)向量求法：

設(shè)直線/的方向向量為『，平面a的法向量為萬，/與a所成的角為。,『與萬的夾角為。,則有

sin^=|cos(f\=

3.二面角

(1)定義：是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖

形叫做二面角.

(2)二面角的取值范圍是［(),句.

(3)二面角的向量求法：

①若AB.8分別是二面角a-l-(3的兩個面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與

麗的夾角(如圖①).

②設(shè)廟區(qū)分別是二面角a￡的兩個面a，△的法向量，則向量I與第的夾角(或其補角)的大小就是

二面角的平面角的大小(如圖②③).

此時，設(shè)，，展是二面角。-/-6的兩個面a,△的法向量，則向量加,后的夾角(或其補角)就是二

面角的平面角的大小.

若二面角。一/一,的平面角為。，則|cose|=3Q.

勺巧

注意事項：①兩個平面的夾角范圍為0,1，二面角的范圍為［0,句.

②選取平面法向量時，若兩法向量同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)，則兩個法向量的夾角大小與二面角互補；

若分別指向不同的兩側(cè)，則兩個法向量的夾角大/」與二面角相等.

【例題講解】

★★☆例題1.如圖，四邊形A3CD為菱形,120。，E,/是平面A3CD同一側(cè)的兩點,BE，平面

ABCD,DF1平面ABCD,BE=2DF,AELEC.

(1)證明:平面AEC±平面AFC.

(2)求直線AE與直線所成角的余弦值.

【答案】⑴連結(jié)BD,設(shè)BDCAC=G,i^EG,FG,EF.

在菱形ABCD中不妨設(shè)GB=1.由NABC=120。,可得AG=GC=>/^

由BEJ_平面ABCD.AB=BC可知AE=EC.又AE_LEC,所以EG=8，且EG1AC.

在RtZXEBG中，可得BE=0,J^DF=—

2

在RtAFDG中，可得FG=—

2

r~5/23J2

在直角梯形BDFE中面BD=2,BE=V2,DF=—，可得EF=——

22

從而EG?+FG2=EF2,所以EG±FG.

又ACCIFG=G，可得EG_L平面AFC.

又因為EGu平面AEC,所以平面AEC_L平面AFC.

—?T

⑵如圖以G為坐標原點,分別以GB,GC的方向為x軸,y軸正方向.|GB|為單位長度,建立空間直角坐標系G-xyz.

由⑴可得A(O,-V3,O),￡(1,O,V2),F(-1,0,當,C(0,50),

2

所以亞=(1,6,右),甌=(-1,-6,

故皿運方>=償急=一4

所以葭A￡與直線CF所成角的余弦值為當

★★☆練習1.如圖，在平行六面體ABCD-44GA中，44,J?平面ABCD.且A8=A￡>=2,AA,=6,

乙%。=。.求異面直線與所成角的余弦值；

120AtBAG

【答案】在平面ABC。內(nèi)，過A作Ax_LA。，

：A4|」一平面ABCD,AO、Aru平面ABCD,

AAAilAr,AAiLAD,

以A為坐標原點，分別以Ax、AD,A4所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

?；AB=AD=2,例=73,ZBAD=nO0,

：.A(0,0,0),A(血—1,0),C(后1,0),0(0,2,0),B：

A(0,0,⑹,c(6,1,碼.

還=(6,-1,-石)福=(6,i,@

X

麗=(M-3,0),西=僅,-2,@.

???儂府樸湍二，一

??房面直線4B與AG所成角的余弦值為，

★★☆例題2.如圖，長方體ABC?！?4GA中,48=16,60=10,44,=8，點及F分別在A片,RG上,

AE=A尸=4，過點民廠的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

(1)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由).

(2)求直線AF與平面a所成角的正弦值.

【答案】⑴交線圍成的正方形EHGF如圖：

(2)作EM_LAB,垂足為M,則AM=A,E=4,EM=AA|=8.

因為四邊形EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.

于是MH=JEH2—EM2=6，所以AH=10.

以D為坐標原點,日\的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則

A(10,0,0),H(l0,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(l0,0,0),HE=(0,-6,8).

-n-FE=0fl(k=0

設(shè)〃=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，則《_____.。八.

n-HE=0〔一6y+8z=0

-*—?——?In-AFI4A/5

所以可取n=(0,4,3)，又=(-10,4,8)，故|cos<〃,AF>|==」=*.

|〃||A用15

4

所以Ab與平面E”GF所成的角的正弦值亞省.

★★☆練習1.在平行四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1,A3，80,CD_L.

將AABO沿BQ折起，使得平面ABO1平面BCD,如下圖.

(1)求證：AB_LCD;

(2)若M為A。中點，求直線AO與平面M8C所成角的正弦值.

【答案】⑴；平面ABC平面BCD,且兩平面的交線為BD.

ABU平面ABD,ABLBD,

平面BCD,又CDU平面BCD,：.ABLCD；

⑵過點B在平面BCD內(nèi)作BEA.BD,如圖，

由(1)知AB_L平面BCD,BEu平面BCD,HDu平面3C￡>,

二AB±BE,ABBD,

以B為坐標原點原點，以BE,BD,BA分別為x軸，)，軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意,

得8(0,0,0)01,1,0),0(0,1,0),A(O,O,l),M(O,g,g)

則冊=(1,1,0),*=(0,g,g),A/5=(0,1,-1),

設(shè)平面MBC的法向量〃=(玉),%,z0),

[n.BC=0「0+%=。

則｛_.，即《11，取z。=1,

n-BM=0-yo+-zo=O

得平面MBC的一個法向n=,

設(shè)直線AQ與平面M8C所成角為。，

=3*

則sin0=|cos<n,

同同3

即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為半

★★☆練習2.如圖，在三棱錐P-A3C中，PAJ_底面ABC,NBAC=90°.點。,E,N分別為棱

PAPCBC的中點，M是線段AQ的中點，1ft4=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN//平面BDE;

(2)已知點”在棱上，且直線NH與直線跖所成角的余弦值為百

的長.

【答案】如圖，以4為原點，分別以通，AC,Q方向為工軸、)，軸、z

建立空間直角坐標系.依題意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,

2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).

(1)證明：DE=(0,2,0),DB=(2,0,—2).設(shè)〃=(x,y,z),為

平面8DE的法向量,

〃.嚀°，即2V=0

則2=2z=。.不妨設(shè)z=l'可得"a,。.又而力,

n-DB=0

2,-1),可得?〃=0.因為MN(Z平面BDE,所以平面BDE.

(2)解：依題意，設(shè)AH=h(0</J<4)，則〃(0,0,〃)，進而可得M/=(-1,-22),麗=(-2,2,2).由已

，整理得10后_21〃+8=0，解得/?=號，或〃=L

知W*黯翳瑞》哼52

所以，麒A"的長為|哈

★★☆例題3.如圖，在平行六面體ABCD-A4GA中，M，平面ABCD且AB=AD=2,A4,=#>,

ZBAD=120°.求二面角B—4。一A的正弦值.

【答案】在平面A8CD內(nèi)，過A作4U。，

J_平面ABCD,AO、Aru平面ABCD,

**.AAi±Ax,AA\LAD,

以A為坐標原點，分別以Ax、AD,所在直線為x、y、二軸建立空間直角坐標系.

AB=AD=2,A4,=石,ZBAD=U0°,

二A(0,0,0),A(6—1,0),c(61,o),￡>(0,2,0),

4(0,0,6),c,(73,1,5/3).

設(shè)平面8A。的一個法向量為〃=(x,y,z),

/麗=0l_/

由1,得，取x=5/3，得〃=V3,1,

取平面4A。的一個法向量為〃;=(1,0,0).

rn-n_3

聞“4

???二面角B-A\D-A的正弦值為也.

4

★★☆練習1.如圖，在四棱柱A3CO—AgGR中，底面ABCO是等腰梯形，ZDAB=60,

AB=2CD=2,M是線段A3的中點.

(1)求證：C.M//A,ADD,;

(2)若CA垂直于平面ABC。且C〃=下＞,求平面GA"和平面ABC。所成的角(銳角)的余弦值.

【答案】(1)連接AR

因為ABC。-ARCA為四棱柱，所以CD〃CRCD=C.Z),

又因為M為AB的中點，所以AM=1,所以C0〃AM,CD=4用

所以AM〃CQ,AM=CQ,所以AMCQi為平行四邊形，所以AQ〃MG

又因為GM?平面AADD,AD,u平面AADD,

所以4?1〃平面4/1。2

(2)方法一：因為48〃44Ag〃CQ,所以面口。幽與ABCQ共面

作CNLAR連接"N,則NQNC即為所求二面角

百

在A5CD中，￡>C=l,A3=2,Za48=60.-.C2V=—

2

在RtkDgN中，CD\=BCN=斗:.D\N=^~

COSZD1^C=-^-=—

D、N5

方法二：作CAB于p點,

以C為原點，8為x軸，CP為)，軸，CR為z軸建立空間坐標系,

所以G(TO,如,2(o,o,回*卓0),所以鈍=(1,0,0),麗=(；岑,-①

設(shè)平面GAM的法向量為〃=(%,y,馬)

%,=0

所以1也l所甌=(0,2,1)

產(chǎn)+丁弘_怎|=0

顯然平面A8CD的法向量為區(qū)=(1,0,0)

所以COS<及“%>=1?元4==—，顯然二面角為銳角，

碰2755

所以平面C,DM和平面A5C。所成角的余弦值為《

旦

所以cosND\CN=也=義=￡=與

DtNV15V155

★★☆練習2.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，%_L平面ABCD,

E為PZ）的中點.

（1）證明：PB//平面AEC；

（2）設(shè)置釬=1,AO=6,三棱錐P-MD的體積V=@，求A到平面

4

的距離.

（3）設(shè)二面角。—AE—C為60。，AP=\,AO=6，求三棱錐E—ACD的體積.

證明：（1）連結(jié)如、AC相交于O,連結(jié)OE,

?.?四邊形是矩形,

.?.AC和9互相平分，。是的中點,

?.?E是PD的中點,

:.OE是APBD的中位線，:.PB//OE,

?.?OEe平面ACE,PBU平面ACE,

：.PBH^ACE.

解：（2）?.?底面ABC。為矩形，E4_L平面ASC。，AP=i,AD=?,三棱錐的體積V=正

4

：.V=-S^,KrxPA=-x-xABxADxAP,即3=3AB,

33246

3

解得=

2

以4為原點，4?為x軸，A￡>為y軸，/1P為z軸，建立空間直角坐標系,

3

則A(0,0,0),8(—，0,0),D(0,6，0),P(0,0,1),

2

___3____

PB=(一,0,-1),PD=(0,6-1),PA=(0,0,-1),

2

設(shè)平面93。的法向量為二(九，y,z),

—.3

n?PB=—x—z=0r-

則2,取元=2,得。=(2,6,3),

n*PD=布y—z=0

二A到平面PBD的距離d=些電33

I萬I74+9+3-4

設(shè)則

(3)AB=f,r>0,A(0,0,0),C(f900),￡)(0,00),E(0,4,1),

AE=(0,4，g),AC=(tf50),AD=(0,50),

平面ADE的法向量為=(1,0,0),

設(shè)平面ACE的法向量沅=(x,y,z),

rffAC-tx+*J?ty=0/-

則./Ti，取y=l,得而=(...—?1,—\/3)?

trfAE=——y+—z=0/

22

???二面角D—AE-C為60。,

33

由i>0,解得r=—,/.AB=—j

22

1廠門1日33石

Sc.=—xAADnxCD=—xv3x—=-----,

Arn2224

E到平面AC。的距離d=4=」，

22

二三棱錐E—ACD的體積％M8=:xSMcuXd=!x攣x：=^.

j34-Zo

★★☆例題4.如圖，四棱錐尸-ABC。中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面A8CD,

AB=BC=-AD,ABAD=ZABC=90°,E是PO的中點.

2

(1)證明：直線CE〃平面

(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為45",求二面角M-AB-。的余弦值.

【答案】(1)令以中點為F,連結(jié)4,BF,CE.

,:E,F為PD，PA中點EF為△/海＞的中位線EF^-AD.

一2

又：ZBAD=ZABC=90°,：.BC//AD.

XVAB=BC=-AD，,BCj^-AD，,EFj^BC.

2~2

.??四邊形8CE尸為平行四邊形，,CEHBF.又：BFu面「A3,

二CE〃面PAB

(2)以4)中點。為原點，如圖建立空間直角坐標系.

設(shè)AB=BC=I,則0(0,0,0),A(0,-1,0),B(l,-1,0),

C(1,0,0),￡)(0,1,0),

P(0,0,向.

用在底面ABCD上的投影為“，；..???NMB”=45。，

.*?^MBM'為等腰直角三角形.

???△POC為直角三角形，|0。=乎|0刈,ZPCO=60°.

設(shè),\CM'\=J^-a,|O”|=1—*.ATI-g“,0,0

A8=(l,0,0).設(shè)平面ABM的法向量碗=(0,x，z).

y1+—Zj=0，，6=(0,-y/6,2)

通=(0,2,0),通=(1,0,0).設(shè)平面Afi。的法向量為3=(0,0,z2),

〃=(0,0>1).

.---m-nV10

??cos<m,n>=--j—p-r=.

H-M5

，二面角M-45-Z)的余弦值為孚.

★★☆練習1.如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，ZABC=90°,AD//BC，側(cè)面ASCD為

鈍角三角形，CD=SD,平面SCO,平面438，點〃是棱SA上的動點，AB=AD=-BC.

2

(1)求證：平面M3￡)_L平面SCO；

(2)若直線S。與底面所成的角為60。，是否存在點M，使得二面角A余弦值為手?

若存在，確定點M的位置，若不存在，請說明理由.

【解答】(1)證明：取8C的中點E,連接班,

設(shè)AB=AD=a,則比'=勿,

依題意得，四邊形河田為正方形，且BE=DE=CE=a,BD=CD=RI,

所以BD2+CD2=BC2,BPBD1CE),

又平面SCO_L平面ABC。,平面SCOC平面45co=CD,8Z)u平面ABCD,

所以B￡>_L平面SCO,

因為BDu平面MBD,

所以平面平面SCO.

過點S作SHLCD,交CD的延長線于點，，連接4H,

因為平面SCDJ.平面ABCD,平面SCDC平面ABCD=CE>,S”u平面SC?,

所以SH_L平面ABCD,

故。，為斜線SD在底面ABCD內(nèi)的射影，NSQ”為斜線SD與底面ABCZ）所成的角，即NSD”=60。，

由（1）得，SD=CD=0a,

所以DH=^-a,SH=^~a,

22

在A4D“中，ZADH^ZBCD=45°,

由余弦定理得，AH2=AD2+DH2-2AD.DHcosZADH=a2+-a2-2xax^axJ^=-a2,

2222

所以4H=也。，

2

^AH2+DH2=AD2,從而ZAHD=90。，

過點。作DF//S",則。P_L平面ABCD,

所以￡?、DC、D尸兩兩垂直，

以點D為原點，DB、DC、。下所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D(0,0,0),B('/2a,0,0),C(0,\f2a,0),S(0,——tz,—a),A(2a,---a,0),

所以立=(t”,0,一等a),DB=(s/2a,0,0),DS=(0,-—a,手a),

i§SW=2SA=2(—a,0,-^-a),2e[0,1],

所以麗=麗+甄=(@/la,-—a,^y(l-A)a),

[n.DB=0"?x=0

設(shè)平面MBD的法向量為萬=(x,y,z),則―■，即應(yīng)Jld6，

n.DM=0R^2ar-^ay+y-a(l-/l)z=0

令z=l,則x=0,>'=73(1-2)，所以后=(0,^(1-2),1),

因為。尸，平面鉆8,所以不妨取平面鉆。的法向量成=(0,0,1),

因為二面角A-M-M的余弦值為,

所以|cos<元,m>|=|-1=|.1=-1=2^,解得九=[或4=]走[0,1],

l?H^I小(1-團2+1xl722

所以2=(,

2

即當點M是棱SA的中點時，二面角A-M-M的余弦值為手.

備注：本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、線面角和二面角的求法，熟練掌握線面垂直、面面垂直的判定

定理與性質(zhì)定理，以及利用空間向量處理二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考直學生的空間立體感、邏輯推理

能力和運算能力，屬于中檔題.

★★☆例題5.如圖，等腰直角三角形ABC所在的平面與半圓弧所在的平面垂直，ACA.AB,P是弧A3

上一點，且“45=30°.

(1)證明：平面3cp_L平面ACP；

(2)若。是弧AP上異于A、P的一個動點，當三棱錐C-APQ體積最大時，求二面角A-PQ-C的

余弦值.

Q

P

【解答】(1)證明：,.?AB_LAC,平面ABC_L平面ABP,平面ABCC平面4爐=AB,

.?.人^平面人〃/5,：.AC1BP,

?.?AB是半圓弧的直徑，,APL3P,

又ACp|AP=A,

.?.砂_1_平面"。,又BPu平面P8C,

,平面BCP_L平面ACP.

解：

(2)?.?％_”o=gsw>o?4C,

當MPQ的面積最大時，棱錐C-APQ的體積最大，

故當三棱錐C-APQ體積最大時，。為AP的中點，

以A為原點，以AC,鉆為x,)，軸建立空間直角坐標系如圖所示：

設(shè)AB=AC=4,則C(4,0,0),P(0,3,6，Q(0,1,我，

ACP=(-4,3,5/3),QP=(0,2,0),

設(shè)平面CPQ的法向量為五=(x,y,z),則11=°,即尸+3丫+任=。，

n.QP=0t2y=0

令x=6可得元=(右，0,4),又用=(1,0,0)是平面AP。的一法向量，

???二面角4-PQ-C的余弦值為里.

19

★★☆練習1.已知，如圖四棱錐尸-他CD中，底面ABCD為菱形，ZABC=60°,AB=PA=2,平

面ABC。,E,M分別是BC,PD中點，點F在棱PC上移動.

(1)證明無論點F在PC上如何移動,都有平面A￡F_L平面；

(2)當直線A尸與平面PCD所成的角最大時，求二面角的余弦值.

【解答】（1）證明：連接AC,

?.?底面A5CZ）為菱形，ZABC=60。，為正三角形，

,.?E是8c的中點，.?.?!￡J_BC,

又AD〃BC,:.AE±AD,

平面MCD,AEu平面MCD,.-.PA±AE,

-.■PA^AD=A,PA.ADu平面勿￡>,..MJ"平面RV）,

?.?AEu平面AEF，，平面>1￡F_L平面RW.

（2）解：由（1）知，AE、AD、"兩兩垂直，故以A￡、AD.”所在直線分別為x、、z軸建立

如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0),B4,-1,0),C(6,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),A/(0,1,1),E4,

0,0),

PC=(^,1,-2),PD=(0,2,-2),A戶=(0,0,2),

設(shè)麗=2方=(6l,A,-2A),則AF=Q+即=(0,2,2-2㈤,

設(shè)平面PCD的法向量為比=(玉,y,,z,),則卜￡=宿+*?-24=0,

麗

,PD=2yl-2z,=0

令馬=6，貝！Jx1=l,必=6，，海=（1,&,4），

設(shè)直線AF與平面尸8所成的角為。，

mil.?-TV；_..AF?fhy/3A4-4-2\/3—2>/3A2>/3

則sinn9=|cos<AF,------|斗-^-----1^~^l=----------l=

|A尸卜⑻依2+無+(2-2.)晨""2加一.+；

當時，sin。最大，此時尸為PC的中點，即下(3,-,1),

222

斯=(更二，1)，通=(有,0,0),AM=(0,1,1),

22

設(shè)平面AE尸的法向量為1=（。，/?,c）,則，__

-二0

.?AF=

22

令Z?=2，貝［1。=0,c=-\,=(0,2,-1),

同理可得，平面的法向量后=（。,1,-1）,

一一%?4335/10

/.cos<n,,n,>=-=r-邑-=—7=——==-------

\n}Hn2|V5xV210

由圖可知，二面角歹-他為銳角，

故二面角尸-AE-M的余弦值為零.

★★☆練習2.如圖,已知AC_L8c,/)8，平面A5C,,平面A8C，過點。且垂直于D5的平面a與平

面8c。的交線為/,AC=BD=\,BC=C,AE=2.

(1)證明：/±平面AEC；

(2)設(shè)點P是/上任意一點，求平面P石與平面AC。所成銳二面角的最小值.

C

【解答】(1)證明：因為3O_La,8。_L平面A6c,所以a//平面ABC,

又aC平面8C￡)=/,平面A3CC平面BC￡)=BC,所以8C/〃,

因為E4_L平面8C4；所以8C_LA￡，又BCLAC,AE^\AC=A，所以8CL平面A￡C，從而平面A￡C.

(2)作//AE,以點C為坐標原點,VXCB,CA所在直線分別為x軸和)，軸，C/;'為z軸，建立直角坐

標系C-乎,

則A(0,1,0),C(0,0,0),D(幣。,0),￡(0,1,2),設(shè)P(a,0,1),平面E4E、平面ACD的

法向量分別為：m=(x,y,z),n=(r,s,t)，則A戶=(〃,-1,1),AE=(0,0,2),AC=(0,-1,

0),CD=(＞/3,0,1),因為疣，平面以E,所以：+“=°,令x=l,y=a,z=0,見I力=(1,

[2z=0

-5=0_廠

a,。)，同理)廠，令尸=1,貝！Js=0,，=一6，所以萬=(1,0,-6).

V3/*+/=0

因為|cos＜麗，萬＞|=—=?1,當且僅當a=。時，取等號，

277+12

所以平面P歸與平面ACD所成銳二面角的最小值為60°.

★★☆例題6.在平面a內(nèi)的四邊形ABCD（如圖1）,AABC和AACD均為等腰三角形，其中AC=2,

AB=BCf,AD=CD=^，現(xiàn)將AABC和AACZ）均沿AC邊向上折起（如圖2）,使得5,。兩點到

平面口的距離分別為1和2.

（I）求證：BD1AC；

（II）求二面角A-BD-C余弦值.

【解答】（I）證明：取AC的中點。，連接8。,DO,

.AD=CD,AB=BC,

:.DOLAC,BOLAC,

又80口”>=。,

AC±平面BOD,又3。u平面BOD,

:.AC1BD.

（II）解：分別過B,。作平面a的垂線，垂足分別為E,尸，則E,。，F(xiàn)三點共線,

由（I）可知AC_L平面80。,:.AC1EF,

08=^/J=T=&,?！?gt;=而7=石,BE=\,DF=2,

：.OE=\,OF=\,

以。為原點建立空間直角坐標系O-W,如圖所示：

則A(1,0,0),B(O,1,1),C(-l,0,0),D(0,-1,2),

則8方=(0,-2,1),AB=(-1,1,1),CB=(1,1,1),

設(shè)平面AB￡)的法向量為而=(X|,y,Z|),平面8co的法向量為”=(*2,為，z?),

貝1卜用,8萬n^BD即(-2y+Z1=0(~2y2+z2=0

[mA.AB'[nlCB'[-x,++z1=0'[x2+y2+z2=0'

令乂=1可得而=(3,1,2)，令必=1可得萬=(-3,1,2),

_rth?n-42

/.cos<m,n>=-----=—=——==——,

I玩II利7

由圖形可知二面角A-BD-C為銳二面角，

2

故二面角A-Q-C的余弦值為一.

★★☆練習1.如圖1,在AA8C中，AB=7lBC=2&,ZABC=—,。為AC的中點，將AA&)沿折

4

起，得到如圖2所示的三棱錐尸-BCD,二面角尸-%>-。為直二面角.

圖I圖2

(1)求證：平面P3CJ_平面PBD；

(2)設(shè)“為PC的中點，Ck=3萬,求二面角C-DE-E的余弦值.

【解答】解：(1)證明：在AA8C中,AC2=AB2+BC2-2AB.BC-cosZABC=20,

BD1+BC2=CD2,：.BCLBD,

,二面角P-8。-C為直二面角，；.平面8C￡)"L平面fW,因為平面BCDC平面PBD=3C,BCu面

BCD,

.?.8。_1平面只2,

,.?8Cu平面P3C，，平面P8C_L平面P8Z).

(2)解：以B為坐標原點，8C為x軸，8。為y軸，過點B作垂直于平面BDC的垂線為z軸，建立空間

直角坐標系,H!|B(0,0,0),C(2,0,0),0(0,1,0),P(0,2,2),

?.?設(shè)E為PC,CF=3FB,/.E(1,1,1),,0,0),

_.__.—.1

ACD=(-2,1,0),DE=(1,0,1),DF=(-,-l,0),

2

設(shè)平面CDE的法向量為例=(x,y,z),平面的法向量為后=(a,h,c).

???二面角C-QE-尸的余弦值為手.

二、利用空間向量求距離

【知識點】

點到點的距離

點A與點B之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應(yīng)向量近的摸|麗讓夏.

點到線的距離

在直線/上找一點P,過定點A且垂直于直線/的向量為萬,則定點A到直線/的距離為

PAn

d-pf|COS(PA,n)|=L

同

點到面距離

點P是平面a外一點，A是平面a內(nèi)的一定點，n為平面a的一個法向量，則點P到平面a的距離為

d=|PA||cos(PA,n)|=

★★☆例題1.如圖直角梯形中，NCOA=NO4B=￥,OC=2,

2

OA=AB=\,SO,平面Q4BC,SO=1,求0到平面SBC的距離.

【答案】以。為坐標原點建立空間直角坐標系

0(0,0,0)4(1,0,0)C(0,2,0),0)S(0,0,1)

BC=(-1,1,O)SC=(0,2,-l)05=(1,1,0)

設(shè)面SBC的法向量為〃=(x,y,z)

八~=_/、，OB-n娓

解得〃=。,1,2),d-=—

同3

★☆☆練習1.如圖，在四棱錐尸-MC。中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱底面ABC。,AB=y/3,BC=1,

PA=2,E為PD的中點.

(1)求cos〈冠，市〉的值;

(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NEL平面PAC,并求出N到AB和AP的距離.

側(cè)棱抬_L底面ABC。，AB=W),BC=\,%=2,￡為PD的中點.

以4為原點，A8為x軸，4)為)，軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),C(幣,1,0),尸(0,0,2),8(6,0,0),

AC=(73,1,0),P月=(6,0,-2),

AC.PB33用

/.COS〈AC,PJB〉=

|而H麗14,

(2)設(shè)在側(cè)面碗內(nèi)找一點N(a,0,c),使NEL平面PAC,

1一1

D(0,1,0),￡(0,-,1),NE=(-a,-,1-c),

22

A戶=(0,0,2),AC=(^,1,0),

NE?AP=2(l-c)=0A

,被而=-島+』=0'解得':=1/

2

，Ng,0,1),

叵

??.N到4?的距離為1,N到AP的距離為-

61

z

A

A--------7X

4B

★★☆練習2.如圖，在四棱錐P-中底面A5CD為正方形，%_L底面ABC。，PA=AB=4,E為

總的中點，F(xiàn)為線段8C上的動點.

(I)求證：平面小尸，平面P3C；

(II)求點B到平面PCD的距離.

【解答】(I)證明：?.?外！_平面488,BCu平面A8CE),

:.PA±BC,又BCLAB,PA[^AB=A,

，8CJ_平面RS,

：.BC1AE,

?：PA=AB,E為PB中點,

.-.AEA.PB,

又叼*8,

.?.AE_L平面PW,又AEu平面AE尸,

，平面4方，平面23.

(II)解：?.?AB//C。,ABC平面PC。，COu平面PC。,

.?.A3//平面PC￡),

：.B到平面PCD的距離等于A到平面PCD的距離，

取PD的中點G，連接AG,

平面ABC。,:.PA±CD,

又CDL4),AD[\PA=A,

.?.CE>J_平面皿),:.CDLAG,

.PA=AD,G是的中點，二47，叨,

又叼8=。，

二.AG_L平面PC。,

?.PA=AD=4,PArAD,:.PD=4y/2,

.,.AG=』PO=20,

2

.-?點B到平面PCD的距離為2應(yīng).

*

D

知識點要點總結(jié)：

【課后練習】

【鞏固練習】

★★☆1.如圖，在四棱柱ABCO-A4GA中，側(cè)棱AA_L底面ABC。,AB//DC,AAt=\,AB^3k,

AD=4左,BC=5k,DC=6k(k>0).

(1)求證：CO1?平面A。。圈;

(2)若直線AA與平面AB。所成角的正弦值為，求k的值。

【答案】解：(1)取CD中點￡，連接晅

QAB//DE,AB=DE=3k

.?四邊形ABED為平行四邊形

BE//AD且BE=AD=必

在VBCE中，QBE=4k,CE=3k,BC=5k,BE2+CE2=BC2

/BEC=90°，即BEC￡>,又QBE//AD，所以CDJ_A￡)

QA41_L平面ABCD,8u平面ABCD

：.A4,1CD，又A4JAD=A,.?.C￡)_L平面A￡>〃A

UUllUUUUULU

(2以。為原點，DA,DC,DR的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系A(chǔ)(4Z,0,0),C(0,6k,0),

4(4人,3幺1),A(4&,0,l)

UUIUUUUUUll

所以AC=(-4Z,6N0),4旦=(0,3攵,1),A4,=(0,0,1)

fuuw

AC〃=0

設(shè)平面AB{C的法向量n=(x,y,z)，則由<{uuir

-4fcc+6^y=0

得c,八取y=2,得〃=(3,2,-6幻

3ky+z=0

UUll

uuuAAN

設(shè)AA與平面AB。所成角為8，則sineTcosVAA，"〉^-tod—

|AAI-|H|

,6k,解得Z=l。故所求攵的值為1

V36F+137

★★☆2.如圖，在幾何體ABCEI應(yīng)中，四邊形ABC。是矩形，平面8EC,BE工EC,

AB=BE=EC=2,G,/分別是線段BE,DC的中點.

(1)求證：GF//平面ADE；

(2)求平面AEV與平面8EC所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)如圖，取AE的中點，，連接HG,HD

又G是BE的中點，所以G”〃A8，且