方差分析方法

方差分析方法第1頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月一、試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)造模型（一）單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型1、數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)誤差對每一次試驗(yàn)來說是一個(gè)不確定的量（數(shù)學(xué)上稱為隨機(jī)變量）。但在多次試驗(yàn)中它式有一定規(guī)律的。第2頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月真實(shí)值處理效應(yīng)該數(shù)學(xué)模型的意義是：某因數(shù)在不同水平下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果由（2-1-3）式中的三部分組成。第4頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2、參數(shù)估計(jì)第6頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月試驗(yàn)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵：是把水平效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)誤差分開，估計(jì)它們的值，并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。第7頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例2－1考察溫度對一化工產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗(yàn)，結(jié)果如下：

AA1A2A3A4A5溫度(℃)6065707580得率(%)平均得率

979684849396838688929388829094958584表2－1測定結(jié)果水平因素指標(biāo)第8頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月對其它數(shù)據(jù)也進(jìn)行類似分解，通過對數(shù)據(jù)的分解，可以看到分組因素（溫度）影響的大小和試驗(yàn)誤差的大小。（見39頁表2-2）第10頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)第12頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月表2-3

單因素多水平重復(fù)試驗(yàn)的方差分析表方差來源差方和(平方和)自由度f均方(方差估計(jì)值)組間（A）p-1組內(nèi)(試驗(yàn)誤差)p(r-1)總合pr-1第15頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）正交試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型1、數(shù)學(xué)模型根據(jù)一般線性模型的假定，若9次試驗(yàn)結(jié)果(如p1例1-1中的轉(zhuǎn)化率)以x1、x2,…,x９表示,我們首先假定：(1)三個(gè)因素間沒有交互作用。(2)為9個(gè)數(shù)據(jù)可分解為:x1=μ+a1+b1+c1+ε1x2=μ+a1+b2+c2+ε2x3=μ+a1+b3+c3+ε3x4=μ+a2+b1+c2+ε4x5=μ+a2+b２+c3+ε5第17頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月x6=μ+a2+b3+c1+ε6x7=μ+a3+b1+c3+ε7x8=μ+a3+b2+c1+ε8x9=μ+a３+b３+c２+ε9其中:μ——一般平均;估計(jì)=1/9∑xi=1/9（x1+x2+……+x9）叫全部數(shù)據(jù)的總體平均值。a1、a2、a3表示A在不同水平時(shí)的效應(yīng)。b1、b2、b3表示B在不同水平時(shí)的效應(yīng)。c1、c2、c3表示C在不同水平時(shí)的效應(yīng)。(3)各因素的效應(yīng)為零,或者,各因素的效應(yīng)的加和為零∑ai=0∑bi=0∑ci=0第18頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4){εi}是試驗(yàn)誤差,它們相互獨(dú)立,且遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),所以多個(gè)試驗(yàn)誤差的平均值近似等于零。2、參數(shù)估計(jì)有了數(shù)學(xué)模型,還應(yīng)通過子樣的實(shí)測值,對以上的各個(gè)參數(shù)作出估計(jì)。由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識第19頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月二、正交試驗(yàn)的方差分析法（一）方差分析的必要性

極差分析不能估計(jì)試驗(yàn)中以及試驗(yàn)結(jié)果測定中必然存在的誤差大小。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺點(diǎn)，可采用方差分析的方法。

方差分析法是將因素水平（或交互作用）的變化所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異與誤差波動所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異區(qū)分開來的一種數(shù)學(xué)方法。 所謂方差分析，就是給出離散度的各種因素將總變差平方和進(jìn)行分解，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的一種數(shù)學(xué)方法。第20頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）單因素方差分析法（以例2－1為例）方差分析法的基本思路：（1）由數(shù)據(jù)中的總變差平方和中分出組內(nèi)變差平方和、組間變差平方和，并賦予它們的數(shù)量表示；（2）用組間變差平方和與組內(nèi)變差平方和在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說明因素水平的變化對指標(biāo)影響不大；如兩者相差較大，組間變差平方和比組內(nèi)變差平方和大得多，說明因素水平的變化影響很大，不可忽視；（3）選擇較好的工藝條件或進(jìn)一步的試驗(yàn)方向。第21頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月方差來源變差平方和自由度平方差平方和F臨FA顯著性ASA=303.6475.93.515.18**eSe=50.0105.06.0總和第29頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）正交試驗(yàn)的方差分析

A溫度（℃）1

B時(shí)間（Min）2

C用堿量（x%）3

4轉(zhuǎn)化率（x%）1 1(80℃)1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃)2(120Min) 2(6%)25431(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃) 2(120Min)3(7%) 14962(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 25783(90℃)2(120Min) 1(5%) 36293(90℃)3(150Min) 2(6%) 164列號試驗(yàn)號1、無交互作用情況（以例1－1為例）第31頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

A溫度（℃）1

B時(shí)間（Min）2

C用堿量（x%）3

4轉(zhuǎn)化率（x%）1 1(80℃) 1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃) 2(120Min) 2(6%)2543 1(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃)2(120Min)3(7%) 1496 2(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 2578 3(90℃)2(120Min) 1(5%) 3629 3(90℃)3(150Min) 2(6%) 164K1123141135144K2144165171153K3183144144153Qi23118226142273422518Si61811423418列號試驗(yàn)號（1）總平方和等于各列的平方和第33頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析表4列平方和剛好等于總平方和：

S總=SA+SB+SC+Se第34頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2、有交互作用的正交試驗(yàn)的方差分析當(dāng)任意兩因素之間(如A與B）存在交互作用而且顯著時(shí)，則不論因素A、B本身的影響是否顯著，A和B的最佳因素都應(yīng)從A與B的搭配中去選擇。 例2－2某分析試驗(yàn)，起測定值受A、B、C三種因素的影響，每因素去兩個(gè)水平，由于因素間存在交互作用，在設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案時(shí)，可選用L8(27)表，試驗(yàn)安排結(jié)果如表（試驗(yàn)指標(biāo)要求越小越好）第36頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月因素試驗(yàn)號12345678K1K2QiSiA1B1A×B3C4B×C6誤差7試驗(yàn)指標(biāo)（經(jīng)簡化后）A×C511112222-506.253.12511221122+10-1581.2578.125112222110-56.253.12512121212-4035706.25703.1252121212120-25256.25253.1512211221-506.253.125122121125-1031.2528.12505-100-520-1510正交試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算表第37頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月方差來源平方和自由度均方F

FA顯著性方差分析表BCA×CAA×BB×C誤差總和78.125703.125253.1253.1253.1253.12528.1251071.8751111111778.125703.125253.1258.37525F0.05(1,4)=7.1

F0.01(1,4)=21.2*****第39頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

結(jié)果表明：B、C、A×C對試驗(yàn)結(jié)果影響最大，B可取B2，而A和C見存在顯著的交互作用，可通過二元表和二元圖來確定其最優(yōu)水平。ACA1A2C1 -10 -20C2 5 30由圖可知，A2C1最好,故最佳試驗(yàn)條件為A2B2C1，這正好是第7號試驗(yàn)。事實(shí)上，從試驗(yàn)結(jié)果看，它的效果也最好。20100-10-20-30-40A1 A2指標(biāo)AC1C2第40頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

說明：對二水平因素，平方和的計(jì)算有一個(gè)簡單的公式。設(shè)計(jì)算方法對任何二水平的因素都是適用的，若共做了n次試驗(yàn)，某一列是二水平，相應(yīng)的K值是K1和K2，則該列的平方和S為:

第41頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2-3某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由黃豆餅粉、蛋白胨、葡萄糖、碳源1號、KH2PO4、無機(jī)鹽1號等組成?，F(xiàn)打算對其中五個(gè)成分的最適配比，以及最適裝量，按三種水平進(jìn)行試驗(yàn)，并將其兩個(gè)成分（黃豆餅與蛋白胨）合并為一個(gè)因素，這樣構(gòu)成一個(gè)五因素三水平試驗(yàn)。需考慮的交互作用有A×B、A×C、A×E。因素—水平表如表2-9所示。第42頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月試驗(yàn)方案及結(jié)果分析見表2-10第43頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月三、有重復(fù)試驗(yàn)的方差分析

正交試驗(yàn)中有重復(fù)試驗(yàn)的方差分析同單因素有重復(fù)試驗(yàn)的方差分析方法基本相同。在無重復(fù)的試驗(yàn)中，我們把空列的平方和作為誤差的平方和，其中既包括有試驗(yàn)誤差，也包含有模型誤差。稱為第一類誤差平方和，記為Se1，在重復(fù)試驗(yàn)中，還有第二類誤差平方和，記為Se2，定義如下：第44頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2-4某廠進(jìn)行硅橡膠工藝參數(shù)試驗(yàn)，指標(biāo)為老化前的抗拉強(qiáng)度，因素水平如表2－12所示。

因素

水平

A第一階段硫化溫度B第一階段硫化時(shí)間C硫化壓力D第二階段保溫溫度1130℃20（分）按壓強(qiáng)計(jì)算表壓150℃保溫1小時(shí)生至250℃保溫4小時(shí)2143℃15（分）以模具閉合為準(zhǔn)150℃保溫1小時(shí)升至250℃保溫6小時(shí)第46頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月表頭設(shè)計(jì)(因素)ABA×BCA×DD列號1234567需考慮的交互作用有A×B，A×D，每次試驗(yàn)重復(fù)四次，表頭設(shè)計(jì)如下：第47頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月表2－14方差分析表第48頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

結(jié)論：方差分析的結(jié)果表明，C、D對指標(biāo)影響不顯著，且C不涉及交互作用，依節(jié)方便的原則取C1.而A、B、D的最優(yōu)水平，通過作二元表及二元圖選出。二元表及二元圖如下:第49頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月從二元表及二元圖知，對A×B，好的搭配為A2B2對A×D，好的搭配為A2D1綜合考慮A、B、D三因素應(yīng)取水平搭配為A2D1B1C1.故，選出的最優(yōu)條件為A2D1B1C1第50頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

因?yàn)橹貜?fù)試驗(yàn)?zāi)艽蟠筇岣咴囼?yàn)的精度，所以在條件許可時(shí)，應(yīng)盡可能安排重復(fù)試驗(yàn)。

例2－5研究某三因素二水平體系，其取值如表2－15所示。試安排試驗(yàn)并從試驗(yàn)結(jié)果分析因素A、B、C及其交互作用對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。若有重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其結(jié)果又如何呢？選取L8(27)表安排試驗(yàn)，試驗(yàn)方案及結(jié)果計(jì)算如表2－16所示。

因素水平ABC11.5Ⅰ型2.521.0Ⅱ型2.0表2-15第51頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

表2-16實(shí)驗(yàn)方案及結(jié)果計(jì)算表第52頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，整個(gè)試驗(yàn)的最佳水平組合為A2B1C1二元表及二元圖如下0.500.250-0