2023屆新高考卷數學概率與統(tǒng)計熱門考題匯編

2023屆新高考卷概率與統(tǒng)計熱門考題匯編

第一部分:基本原理和重要概念

一、分類加法計數原理和分步乘法計數原理

分類加法計數原理分步乘法計數原理

相同點用來計算完成一件事的方法種類

分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

每步依次完成才算完成這件事(每

不同點每類方案中的每一種方法都能獨立

步中的一種方法不能獨立完成這件

完成這件事

事)

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整

二、常見的一些排列問題及其解決方法

直接法把符合條件的排列數直接列式計算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排

捆綁法

列

對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面

插空法

元素排列的空當中

定序問題

對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法處理

間接法正難則反，等價轉化的方法

三、分蛆分配問題

(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種：

①完全均勻分組，每組的元素個數均相等；

②部分均勻分組，應注意不要重復，有八組均勻，最后必須除以九?。?/p>

③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復現象.

(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.

四、二項式定理

(1)一般地，對于任意正整數,都有：

(a+b)”=C^an+Ckan-'b+---+C^an~rbr+…+C?"(n€N*),

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.

式中的做二項展開式的通項，用Tr+l表示，即通項為展開式的第r+1項：￡+產Ca"-'，,其

中的系數C：(r=o,1,2,…，71)叫做二項式系數,

2.(2)兩個常用的二項展開式：

①(a—by=&屋+。：屋-辦+L+(-l)rWV+L+(-l)nOn(n€AT),

②(1+c)"=1+C\x+&+L+CH+L+

(3)二項式系數的性質(楊輝三角形)

①每一行兩端都是1,即c=&；其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即a”cr'+c'n.

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等,即cr=crm.

③二項式系數和令a=6=i,則二項式系數的和為+…+a+…+&：=2",變形式a+a

+…+a+…+(X=2"T.

④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令a=1,6=—1,

則&Y+或Y+…+(-I)n(x=(1-I)n=o,

從而得到：&+叱+CM+G/+-??=&+C：+…+叱"工???=y-2n=2"-'.

⑤最大值:如果二項式的事指數n是偶數，則中間一項今一的二項式系數C?最大；

n-1n+1

如果二項式的事指數九是奇數，則中間兩項碑，琢+】的二項式系數。r7,cl相等且最大.

⑥求(a+W)”展開式中最大的項，一般采用待定系數法.設展開式中各項系數分別為41，…，

4+1，設第7+1項系數最大，應有之十，從而解出r來.

4+2

(4)二項式系數和的計算與賦值

五、二項分布

1.九重伯努利試驗的概念

只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行九次所組成的隨機

試驗稱為71重伯努利試驗.

2.71重伯努利試驗具有如下共同特征

(1)同一個伯努利試驗重復做九次；

(2)各次試驗的結果相互獨立.

3,二項分布

一般地,在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(()Vp<1),用X表示事件4發(fā)生

的次數，則X的分布列為：F(X=fc)=屐/(1-p)n-k,k=0,1,2,…n,如果隨機變量X的分布列具有上

式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布，記作

X~B(n,p)

4.一般地，可以證明：如果X~B(n,p)，那么EX=np,DX=np(l-p).

六、超幾何分布

1.超幾何分布模型是一種不放回抽樣，一般地，假設一批產品共有N件,其中有M件次品，從N件產品

中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的幾件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=%)=

-z,k=m,m,+l,m+2,■■■,r.

5

其中7i,N,“eN*,MWN,九WN,m=max{O,?i-N+A/},r=min{n,Al}.如果隨機變量X

的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

2.超幾何分布的期望

E(X)==np(p為N件產品的次品率).

七、二項分布與超幾何分布的區(qū)別

1.看總體數是否給出，未給出或給出總體數較大一般考查二項分布,此時往往會出現重要的題眼“將頻

率視為概率”.

2.看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項分布.

3.看一次抽取的結果是否只有兩個結果,若只有兩個對立的結果力或n,一般考查二項分布.

4.看抽樣方法,如果是有放回抽樣，一定是二項分布;若是無放回抽樣,需要考慮總體數再確定.

5.看每一次抽樣試驗中，事件是否獨立，事件發(fā)生概率是否不變，若事件獨立且概率不變,一定考查二項

分布，這也是判斷二項分布的最根本依據.

6.把握住超幾何分布與二項分布在定義敘述中的區(qū)別，超幾何分布多與分層抽樣結合，出現“先抽，再

抽”的題干信息.

7.二項分布

一般地，在九重伯努利試驗中，設每次試驗中事件＞1發(fā)生的概率為p(0VPV1),用X表示事件A發(fā)生

的次數，則X的分布列為：P(X=k)=C,y(l-p)"T；k=(),1,2,…打,如果隨機變量X的分布列具有上

式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作

X~B(n,p)

8.一般地，可以證明：如果X~B(n,p),那么EX=np,DX=np[\—p).

八、二項分布的兩類，值

⑴當p給定時，可得到函數/(fc)=cy(l-Py-\k=0,1,2,…n,這個是數列的最值問題.

pG：p”(l-p)nk_(九-k+l)pfc(l—p)+(n+l)pk(ri+l)p—k

.k=......■-'■",*，“，，?，?-?■-—，“一，….........■，■，"，，

Pk-1p)"T+lfc(l-p)...........fc(l-p)fc(l-p)

分析：當(rz+l)p時，網>"-1,隨A:值的增加而增加；當k>(九+l)p時，

p*VpkT,以隨A:值的增加而減少.如果(zi+l)p為正整數，當％=(n+l)p時，PA=PA-I,此時這兩項概

率均為最大值.如果(n+l)p為非整數，而k取(n+l)p的整數部分，則”是唯一的最大值.

注:在二項分布中，若數學期望為整數，則當隨機變量k等于期望時,概率最大.

(2)當k給定時，可得到函數/(p)=Cpk(l—p)nT；pW(0,1),這個是函數的最值問題，

這可以用導數求函數最值與最值點.

kk

分析:f'(p)=C^kp-\\-py--p\n-fc)(l-0尸F

=臉尸(1-p)n-fc-1[fc(l-p)-(n-fc)p]=C曠P-p)n-k-\k-np\

當拈=1,2,…,打一1時，由于當pV曳時，/(p)>0J(p)單調遞增，當p>圾時，r(p)V0,f(p)單調

nn

遞減，故當P=&時，/(P)取得最大值J(P)max=/(").又當PTO，/(P)-1,當P-0時，/(P)T。，從

而/(p)無最小值.

九、復雜概率計算

(1)善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標”的形式表示事件“第幾局勝利”，例如：A表示“第i

局比賽勝利”，則可表示“第i局比賽失敗”.

(2)理解事件中常見詞語的含義：

中至少有一個發(fā)生的事件為AUB；43都發(fā)生的事件為AB；力,8都不發(fā)生的事件為；48恰

有一個發(fā)生的事件為AUB；4B至多一個發(fā)生的事件為AUBU.

(3)善于“正難則反”求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用P(A)=1-

P(Z)解出所求事件概率.

十、條件概率

1.條件概率定義

一艇地，設4B為兩個隨機事件，且P(4)>0,我們稱尸(回⑷=為在事件4發(fā)生的條件下，

產(力J

事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

可以看到，P(B|A)的計算，亦可理解為在樣本空間4中，計算AB的概率.于是就得到計算條件概率

n{AB)

n(AB)n⑼P(AB)

的第二種途，即P{B\A)=

n(A)過?P⑷

n(￡2)

特別地,當P(B\A)=P(B)時，即AB相互獨立，則P(AB)=P⑷P(B).

2.條件概率的性質

設P(⑷>0,全樣本空間定義為Q,則

⑴P(。⑷=1；

(2)如果5與。是兩個互斥事件，則P((BU⑦⑷=P(B⑷+P(C|A)；

(3)設事件4和B互為對立事件,則P(BIA)=1-P(BIA).

十一、全概率公式與貝葉斯公式

1.在全概率的實際問題中我們經常會碰到一些較為復雜的概率計算，這時.，我們可以用“化整為零”的思

想將它們分解為一些較為容易的情況分別進行考慮

一般地，設4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，4U4U…U4=。，且P(A)>o,i=i,2,…，

心則對任意的事件Bq。,有p⑻=E>(4)P(BIA,).

￡=1

我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一.

2.貝葉斯公式

設4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，&U力2U…U4”=R,且P(A)>0,i=l,2,…，孫則對任

意事件BGQ,P(B)>0,

有0(415)=0(43314)=f(4)P(BI4),i=i,2,…,n.在貝葉斯公式中，P(4)和

')￡p(4)P(B14)

k=\

P(A|B)分別稱為先驗概率和后驗概率.

十二、一罐通機游走與馬爾科夫彼

1.轉移概率:對于有限狀態(tài)集合S,定義：R產P(X.+E|X"=,)為從狀態(tài)，到狀態(tài),，的轉移概率.

2.馬爾可夫鏈：若P(X.+g|Xe,X-，…，居f)=P(X,i+1=/|X?=t.)=塢，即未來狀態(tài)Xn+i只受當前狀

態(tài)X,的影響，與之前的X—,Xn_2,…，X。無關.

3.一維隨機游走模型.

設數軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻力=0時,位于點名=可，eN+),下一個時刻，它將

以概率a或者6(ae(0,l),a+6=l)向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)X-表示：在時刻￡該點

位于位置X=i(iCN+),那么由全概率公式可得：

P(X,+g)=P(Xt=j)?P(Xt+i=|XgT)+P(X-+1)?P(X,+I$XE+I)

另一方面，由于P(Xt+i」X=I)=￡,P(X“U|XE+J)=a，代入上式可得：

Pi=a?R+i+S-Pi-i

進一步，我們假設在z=0與c=m(m>0,7九GN+)處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不

再游走.于是，笈=0,￡“=1隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.

進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為a,原地不動，其概率為b,向右

平移一個單位，其概率為c,那么根據全概率公式可得：

Pi-a-Pi+i+b-Pt+c?

有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為隨機游走模型在2019年全國1卷中的應用.

十三、統(tǒng)計

1.線性回歸方程與最小二乘法

⑴回歸直線方程過樣本點的中心（淳沙，是回歸直線方程最常用的一個特征

（2）我們將。=的+&稱為y關于z的線性回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為

經驗回歸直線.這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的&叫做b,a的最小二乘估計

匯3一動(仇一))^Xiyi-nx-y

5=-^-^----------------------------=鼻-------

(leastsquaresestimate)，其中力處-5)2f姆-臉2

?=1?-1

a=y—bx.

（3）殘差的概念

對于響應變量y,通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的。稱為預測值,觀測值

減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，

以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析.

（4）刻畫回歸效果的方式

⑴殘差圖法:作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作

出的圖形稱為殘差圖.若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果

越好.

（訪）殘差平方和法：殘差平方和殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模

i=l

型擬合效果越差.

（南）利用R2刻畫回歸效果:決定系數&是度量模型擬合效果的一種指標，在線性模型中，它代表解釋

力仇-2

變量客立預報變量的能力.店=1V------------，后越大，即擬合效果越好，&越小，模型擬合效果越

1=1

差.

第二部分.試題匯編

一、單選題

2.(福建省福州市普通高中2023屆高三畢業(yè)班及量檢測(二檢))若二項式卜M+1『展開式中存在常

數項，則正整數九可以是()

A.3B.5C.6D.7

nr2nir

【詳解】二項式,2+與廠展開式的通項為工+尸c;(3/yr(」7y=3-C；lx-,

?2zX

令2n—4r=0,解得：？■,=￡■,又因為九且r為整數，所以n為2的倍數，所以n=6,

故選：C.

3.(福建看福州市普通方中2023屆高三畢業(yè)班質量檢測(二檢))為培養(yǎng)學生“愛讀書讀好書普讀書”的

良好習慣，某校創(chuàng)建了人文社科類文學類自然科學類三個讀書社團.甲乙兩位同學各自參加其中

一個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，則這兩位同學恰好參加同一個社團的概率為()

A11「23

A'TBR?萬C-JDn.i

【詳解】記人文社科類文學類自然科學類三個讀書社團分別為a,b,c,則甲乙兩位同學各自參加其中

一個社團的基本事件有(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)共9種，而這兩位同學

恰好參加同一個社團包含的基本事件有(a,a),(b,b),(c,c)共3種，

故這兩位同學恰好參加同一個社團的概率P=曰=[.故選

yo

4.(福建省廈門市2023居高三下學期第二次質量檢測)(3+g)’的展開式中小d項的系數等于80,則實

數a=()

A.2B.±2C.2V2D.±2V2

2

【詳解】展開式的通項公式是1+尸6(az)5f.礦，當「=3時，xy項的系數為點?a=80,解得：a=

±272.故選：D

5.(福建省廈門市2023居高三下學期第二次質量檢測)廈門山海健康步道云海線全長約23公里,起于東

渡郵輪廣場，終于觀音山沙灘，沿線申聯(lián)貿鳥湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水

庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”.市民甲計劃從''八山三水”這11個景點中隨機選取相鄰的

3個游覽，則選取的景點中有“水”的概率為()

±Ac互D.

A。3B,9C.9D-165

【詳解】H個景點隨機選取相鄰的3個游覽，共有9種情況，選取景點中有“水”的對立事件是在狐尾

山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3個相鄰的，共有4種情況，則其概率P=1?，則11個景

點中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的景點中有“水”的概率P=1-故選：C

6.(廣東省2023屆高考一模)如圖,在兩行三列的網格中放入標有數字1,2,3,4,5,6的六張卡片,每格只

放一張卡片，則''只有中間一列兩個數字之和為5”的不同的排法有()

A.96種B.64種C.32種D.16種

【詳解】根據題意，分3步進行，

第一步，要求“只有中間一列兩個數字之和為5"，則中間的數字只能為兩組數1,4或2,3中的一組，共

有24=4種排法；

第二步，排第一步中剩余的一組數，共有用⑷=8種排法；

第三步，排數字5和6,共有A；=2種排法；

由分步計數原理知，共有不同的排法種數為4x8x2=64.故選：B.

7,(廣東省佛山市2023屆高三載學質量檢測(一))己知事件C的概率均不為(),則P(A)=P(B)

的充要條件是()

A.P(AU口)=P(⑷+P(B)B.P(4UC)=P(BUC)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AC)=P(BC)

【詳解】解：對于/:因為P(AUB)=P⑷+P(B)-P(An3),由P(AUB)=P⑷4-P(B),

只能得到P(4AB)=0,并不能得到P⑷=P(B)，故4錯誤;

對于B:因為P(4UC)=P(4)+P(。)-P(AnC),P(BUC)=P(B)+P(C)-P(BAC),

由P{AUC)=F(BUC),只能得到P(A)-P(AnC)=P(B)-P(BAC),

由于不能確定4,。是否相互獨立，故無法確定P(A)=P(B),故B錯誤；

對于C：因為P(AB)=P{A)-P(AB),P(AB)=P(b)-P(AB),

又P(4⑸=P(%B),所以P(A)=P但)，故。正確；對于O:由于不能確定是否相互獨立，

若A,B,C相互獨立，則P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

則由P(4C)=P(BC)可得P(4)=P(B),故由P(AC)=P(BC)無法確定P(A)=P(B)，故。錯

誤；故選：C

8.(廣東省廣州市2023屆高三舔合測試(一))“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人

人為我”等,數學上具有這樣特征的一類數稱為“回文數”、“回文數”是指從左到右與從右到左讀都一

樣的正整數，如121,241142等,在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”共有0

A.100個B.125個C.225個D.250個

【詳解】依題意，五位正整數中的“回文數”具有：方位與個位數字相同，且不能為0;千位與十位數字相

同，求有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”的個數有兩類辦法：

最多1個0,取奇數字有⑷種，取能重復的偶數字有4種，它們排入數位有4種，取偶數字占百位有

⑷種，不同"回文數"的個數是⑷⑷屬4=200個，

最少2個0,取奇數字有4種，占萬位和個位，兩個o占位有1種，取偶數字占百位有4種，

不同“回文數”的個數是25個，由分類加法計算原理知，在所有五位正整數中，有且僅有兩位數

字是奇數的"回文數”共有200+25=225個.故選：C

9.（廣東省深圳市2023居高三第一次調研）安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè),

每家企業(yè)至少安排1名大學生，則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為（）

【詳解】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；

當分為3,1,1人時，有綾⑷=60種實習方案，當分為2,2,1人時，有￡^?聞=90種實習方案，即共有

60+90=150種實習方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有C；⑷+或聞=36種，故大學生甲、乙

到同一家企業(yè)實習的概率為7^7=-^7,

15025

故選：D.

10.（湖北省七市（州）2023屆高三下學期3月聯(lián)合統(tǒng)一調研測試）一組數據按照從小到大的順序排列為1,

2,3,5,6,8,記這組數據的上四分位數為n,則二項式（2工一圭）”展開式的常數項為（）

A.-16（）B.60C.120D.240

【詳解】因為6x75%=4.5,所以九=6,所以（2?—展開式的通項為：

工+產砥2306f（一%了=瑪.26f（T）%/告，令6-*=0得:r=4,

所以展開式的常數項為盤x2?x（—1）4=60,故選：B.

11.（江蘇省八市（南通、泰州、揚州、徐州、津安、連云港、制運、拉城）2023居高三二模）已知（Y+亳）的展

開式中各項系數和為243,則展開式中常數項為（）

A.60B.80C.100D.120

【詳解】當7=1時，3"=243,解得n=5,則（/+§）”的展開式第『+1項工+產（^（二廣〃（勺）'=禺

/5Tr2，a；-2r=，令15-5T=0,解得r=3,所以點2：'=10x8=80,故選：B

12.（江蘇看南京市、拉城市2023屆高三下學期一模）某種品牌手機的電池使用壽命X（單位:年）服從正態(tài)

分布N（4,/）9>0）,且使用壽命不少于2年的概率為0.9,則該品牌手機電池至少使用6年的概率為

0

A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1

?-L9

【詳解】由題得：尸3>2）=0.9,故PQV2）=0.1,因為9/=4,所以根據對稱性得：P（x>6）=

PQV2）=O.L故選：D

13.（江蘇省蘇修常鐵四市2023屆高三下學期3月栽學情況調研（一））“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我

國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖童

頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”這6個景點中隨機選擇1個景

點游玩.記事件力為“兩位游客中至少有一人選擇太湖童頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點不

同”，則P（目力）=（）

A工B&C—D

A.99。11口11

【詳解】由題可得PG4）=6X：藍X5=11，p（謝=急=焉，

5

所以P（耳4）=，絮.=需=器.故選:D.

14.（2023年湖北省八市南三（3月）聯(lián)考）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現

有48。三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲

不在4小區(qū)的概率為（）

A293BWOc?DA

'243'243'3,9

【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有35=243種情況，再計算5個人去3個地方，且每

個地方至少有一個人去，5人被分為3,1,1或2,2,1當5人被分為3,1,1時，情況數為。權⑷=60;當5

人被分為2,2,1時，情況數為Clx&x&=90;所以共有60+90=150.由于所求甲不去情況數較

Ai

多，反向思考，求甲去4的情況數，最后用總數減即可，當5人被分為3,1,1時，且甲去人，甲若為1,則

C：義題=8,甲若為3,則C：義&=12，共計8+12=20種，

當5人被分為2,2,1時，且甲去4甲若為1,則烏x4=6,甲若為2,則C；x或x&=24,共計6+24

=30種，所以甲不在A小區(qū)的概率為二g""=騁，故選：B.

15.（山東省濟南市2023屆高三下學期3月一模）從正六邊形的6個頂點中任取3個構成三角形，則所得

三角形是直角三角形的概率為（）

A3Bc，—

10-i5

【詳解】以點力為例，以點4為其中一個頂點的三角形有AABC,△ABDAASE,△ABF,△力CD

A4CE,Z\ACR,△/￡)￡；,△ADR,ZVIEF,共10個,

其中直角三角形為△工共6個,

故所得三角形是直角三角形的概率為磊=,?

16.(山東省青島市2023屆高三下學期第一次迨應性檢測)某次考試共有4道單選題，某學生對其中3道

題有思路，1道題完全沒有思路.有思路的題目每道做對的概率為().8,沒有思路的題目，只好任意猜

一個答案,猜對的概率為0.25.若從這4道題中任選2道，則這個學生2道題全做對的概率為()

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

【詳解】設事件A表示“兩道題全做對”，若兩個題目都有思路，則B=鼻x0.82=0.32,

若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則P2=x0.8x0.25=0.1,故PG4)=P}+P>=0.32+

0.1=0.42,故選:C

17.(淅江霍溫州市普通高中2023居南三下學期3月第二次迨應性考試)已知隨機變量X服從正態(tài)分布

N(2,k),且P(X>3)=，則P(XV1)=()

A.1B.-y-C.3D.」

3366

【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,c?),顯然對稱軸X=2,所以由對稱性知P(x<1)=P(x>3)

=占，故選：C.

18.(浙江省溫州市普通高中2023居高三下學期3月第二次連應性考試)(1+0”展開式中二項式系數最

大的是CS則"不可能是()

A.8B.9C.10D.11

【詳解】當n=9時，然是最大的二項式系數，符合要求，當n=10時，。小是故大的二項式系數，符合要

求，

當71=11時，曲=仍是最大的二項式系數，符合要求，當n=8時，顯然C?VCt不滿足，

故選：A.

19.(淅江省溫州市普通方中2023屆南三下學期3月第二次迨應性考試)一枚質地均勻的骰子，其六個面

的點數分別為1,2,3,4,5,6.現將此骰子任意拋擲2次，正面向上的點數分別為X1,X2.設匕=

1m.'設其=依‘魯X'記事件4="匕=5"，8="匕=3”,則P(B14)=()

A.看B.4C.JD.去

【詳解】將此骰子任意拋擲2次，則基本事件的方法總數為36種，顯然匕是取大函數，所以A="匕=

5"，則Xi，X2中有一個數字是5,另一個數字小于等于5,有5X2—1=9種；

顯然X是取小函數，所以A="K=5"，5=?H=3”同時發(fā)生，則有(3,5)和(5,3);

所以P(4)=4=；,P(A4)=系，所以P(BI4)=q^=系故選

Ou4ol)V

二、多選題

20.(福建省廈門市2023居商三下學期第二次質量檢測)李明每天7：00從家里出發(fā)去學校，有時坐公交

車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到:坐公交車平

均用時30分鐘,樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘,樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自

行車用時V都服從正態(tài)分布，則0

A.P(X>32)>P(y>32)B.P(X&36)=P(y436)

C.李明計劃7：34前到校，應選擇坐公交車D.李明計劃7：40前到校，應選擇騎自行車

【詳解】4由條件可知X?N(30,6?),V?77(34,22),根據對稱性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32),

故A錯誤；

B.RX436)=尸(X&A+O),P(y&36)=P(y&〃+(7),所以尸(X&36)=P(Y<36),故B正確；

C.P(XW34)>0.5=P(Y&34),所以P(XW34)>P(VW34),故。正確；

D.P(X<40)<P(X<42)=P(XV〃+2c),P(YW40)=P(丫&〃+3。)，所以P(X440)<

p(y440)，故。正確.

故選：BCD

21.(廣東店佛山市2023屆高三載學質量檢測(一))中國共產黨第二十次全國代表大會的報告中，一組組

數據折射出新時代十年的非凡成就，數字的背后是無數的付出，更是開啟新征程的希望.二十大首場

新聞發(fā)布會指出近十年我國居民生活水平進一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數為29.39%,

這是歷史上中國恩格爾系數首次跌破30%.恩格爾系數是由德國統(tǒng)計學家恩斯特恩格爾提出的，計算

公式是“恩格爾系數=食物支與金’ex100%”.恩格爾系數是國際上通用的衡量居民生活水平高低

總支出金額

的一項重要指標，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數達60%以上為貧困，

50%~60%為溫飽，40%~50%為小康，30%~40%為富裕，低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農村

與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數折線圖，由圖可知（）

一▲…農村居民恩格爾系數（％）—?一城鎮(zhèn)居民恩格爾系數（％）

36r―

3s、、

ZA

A-

Q1______JS"a

JU---4

/、

/

—r

4/

26---------

2012201320142015201620172018201920202021

A.城鎮(zhèn)居民2015年開始進入“最富?！彼?/p>

B.農村居民恩格爾系數的平均數低于32%

C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數的第45百分位數高于29%

D.全國居民恩格爾系數等于農村居民恩格爾系數和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數的平均數

【詳解】對于4從折線統(tǒng)計圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數均低于30%,即從2015年開始

進入"最富裕"水平，故4正確；

對于R:農村居民恩格爾系數只有2017、2018、2019這三年在30%?32%之間，

其余年份均大于32%,且2012、2013這兩年大于（等于）34%,

故農村居民恩格爾系數的平均數高于32%,故B錯誤；

對于。:城鎮(zhèn)居民恩格爾系數從小到大排列（所對應的年份）前5位分別為2019、2018、2017、2021、

2020,

因為10x45%=4.5,所以第45百分位數為第5位，即2020年的恩格爾系數，由圖可知2020年的恩格

爾系數高于29%,故C正確；

對于。：由于無法確定農村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，顯然農村居民占比要大于50%,

故不能用農村居民恩格爾系數和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數的平均數作為全國居民恩格爾系數，故。錯誤；

故選：AC

22.（廣東盾廣州市2023居高三綠合測試（一））某校隨機抽取了10（）名學生測量體重,經統(tǒng)計，這些學生的

體重數據（單位：kg）全部介于45至70之間，將數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.07

B.這100名學生中體重低于60kg的人數為60

C.據此可以估計該校學生體重的第78百分位數約為62

D.據此可以估計該校學生體重的平均數約為62.5

【詳解】對于工項，因為5x(0.01+a+0.06+0.04+0.02)=1,解得：a=0.07,故4項正確；

對于B項，(0.01+0.07+0.06)x5x100=70人，故B項錯誤;

對于C項,因為0.01X5+0.07X5+0.06x5=0.7,().01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9,

0.7V0.78V0.9,所以第78百分位數位于［60,65)之間，

設第78百分位數為x,則0.01X5+0.07x5+0.06x5+(x-60)x0.04=0.78,解得：a;=62,故。項

正確；對于。項，因為0.01x5x47.5+0.07x5x52.5+0.06x5x57.54-0.04x5x62.5+0.02x5

x67.5=57.25,即：估計該校學生體重的平均數約為57.25,故。項錯誤.故選：AC.

23.(湖北省七市(州)2023屆甫三下學期3月聯(lián)合統(tǒng)一調研測試)下列命題中正確的是()

A.若樣本數據為，g，…，物)的樣本方差為3,則數據2?+l,2a；2+l，…，2如)+1的方差為7

B.經驗回歸方程為。=0.3—0.7工時，變量劣和“負相關

C.對于隨機事件4與F(A)>0,P(B)>0,若P(4|6)=F(A),則事件A與B相互獨立

D.若X?B(7、),則P(X=k)取最大值時k=4

【詳解】對于4數據2電+1,2g+l,…，2颯+1的方差為22x3=12,所以力錯誤;

對于B,回歸方程的直線斜率為負數，所以變量力與“呈負的線性相關關系，所以B正確；

對于C,由P(A\B)=.及)=P(A),得P(AB)=P(A)?P(B),所以事件A與事件3獨立，所以C

正確；

小尸小二卜)>。(X=k+1)1比‘田',”?)7

解得k=3或k=4,所以。錯誤.故選：BC.

24.（湖北省武漢市2023屆高三下學期二月調研）在一次全市視力達標測試后,該市甲乙兩所學校統(tǒng)計本

校理科和文科學生視力達標率結果得到下表：

甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生

達標率60%70%65%75%

定義總達標率為理科與文科學生達標人數之和與文理科學生總人數的比，則下列說法中正確的有（）

A.乙校的理科生達標率和文科生達標率都分別高于甲校

B.兩校的文科生達標率都分別高于其理科生達標率

C.若甲校理科生和文科生達標人數相同，則甲?？傔_標率為65%

D.甲校的總達標率可能高于乙校的總達標率

【詳解】由表中數據可得甲校理科生達標率為60%,文科生達標率為70%,

乙校理科生達標率為65%,文科生達標率為75%,故選項AB正確；

設甲校理科生有工人，文科生有y人，若0.6c=0.7y,即6x=7y,則甲校總達標率為=

x+y

祟，選項C錯誤；

65

由總達標率的計算公式可知當學校理科生文科生的人數相差較大時，所占的權重不同，總達標率會接

近理科生達標率或文科生達標率，

當甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生時，甲校的總達標率可能高于乙校的總達標率，選

項。正確；

故選：ABD

25.（湖北看丈漢市2023居赤三下學期二月調研）已知離散型隨機變量X服從二項分布B（n,p），其中九C

M,0VpVI,記X為奇數的概率為a,X為偶數的概率為3則下列說法中正確的有（）

A.a+b—1B.p=■時,a=b

C.0<pV《時，a隨著n,的增大而增大D.-y<p<l時，a隨著八的增大而減小

【詳解】對于入選項，由概率的基本性質可知，a+匕=1,故4正確，

對于口選項，由p=J時，離散型隨機變量X服從二項分布

則p=（x=k）=。嗎『（1-=0,1,2,3,…㈤,

所以a=（4）"?+&+&+……）=（y）"x2"-1=X,

一（/a+a+a+……）=怎心2-=/

所以a=b，故B正確,

升a「格-Ki—P）+P/—［（1—P）—_i-（1-2p）7?

又寸于。選項，a—--------------------------------------------------------,

I1—（1—2n）n

當0VpV］時，a=-------------為正項且單調遞增的數列，

故Q隨著燈的增