湖南省株洲市板杉中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

湖南省株洲市板杉中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知P為矩形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AB=4，AD=3，，，則=（）A．﹣5 B．﹣5或0 C．0 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可判斷⊥，繼而可得⊥，問題得以解決．【解答】解：P為矩形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AB=4，AD=3，∴AC=5，∵，，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥，∴⊥，∴=0，故選：D．2.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過區(qū)域，則a的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.若，且為第二象限角，則（

）A． B．

C．

D．參考答案：B略4.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)為A. B. C. D.參考答案：B略5.四個(gè)小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號位上（如圖），第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第2014次互換座位后，小兔坐在第（

）號座位上

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B略6.在直角梯形ABCD中，，，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B

考點(diǎn)：余弦定理.7.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足（2+i）·Z=1－2i3，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)

（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限參考答案：A略8.設(shè),則

A.{1,2,4}

B.{1,3,5}

C.{2,4}

D.U參考答案：C略9.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的值是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝2，則

()

A．x＝，y＝

B．x＝，y＝C．x＝，y＝

D．x＝，y＝參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)是直線（）上一動點(diǎn)，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是2，則的值為________.參考答案：2考點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)的和為，則當(dāng)取最大值時(shí)，

.參考答案：513.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若判斷框內(nèi)填的條件是i≤2014，則輸出的結(jié)果S是＿＿參考答案：0根據(jù)程序框圖，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，即當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)S為－1，當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)S為0，因?yàn)樗暂敵龅腟為0．14.已知橢圓（a＞b＞0），圓O：x2+y2=b2，過橢圓上任一與頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M，N，則=．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．

【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則可得切線PA、PB的方程，即可得到A，B是xP?x+yP?y=b2和圓x2+y2=b2的交點(diǎn)，求出點(diǎn)M（，0），N（0，），從而得到=+=（）?=．【解答】解：設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則切線PA、PB的方程分別為xA?x+yA?y=b2，xB?x+yB?y=b2．由于點(diǎn)P是切線PA、PB的交點(diǎn)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足切線PA的方程，也滿足切線PB的方程．故A，B是xP?x+yP?y=b2和圓x2+y2=b2的交點(diǎn)，故點(diǎn)M（，0），N（0，）．又，∴=+=（）?=，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到故A，B是xP?x+yP?y=b2和圓x2+y2=b2的交點(diǎn)，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵，屬于中檔題．15.已知a，b為不共線的向量，設(shè)條件M：；條件N：對一切，不等式恒成立．則M是N的

▲

條件．參考答案：答案：充要16.已知函數(shù)f（x）=asin2x+（a+1）cos2x，a∈R，則函數(shù)f（x）的最小正周期為

，振幅的最小值為

．參考答案：π，．【考點(diǎn)】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用輔助角公式化簡，根據(jù)周期公式可得最小正周期，根據(jù)性質(zhì)可得振幅的最小值．【解答】解：函數(shù)f（x）=asin2x+（a+1）cos2x，a∈R，化簡可得：f（x）=sin（2x+θ）=sin（2x+θ），其tanθ=．函數(shù)f（x）的最小正周期T=．振幅為，當(dāng)a=時(shí)，可得振幅的最小值．故答案為：π，．17.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于正整數(shù)n，如果個(gè)整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為n的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求k的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù)n，證明:;并求出使得等號成立的n的值.(注:對于n的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)參考答案：(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，；(Ⅲ)證明見解析，，【分析】(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到，再計(jì)算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；綜上所述：n為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當(dāng)時(shí)，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項(xiàng)不全為1的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為1的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的n為：或.【點(diǎn)睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x+y=4，曲線C2：（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2）若射線l：θ=α（p＞0）分別交C1，C2于A，B兩點(diǎn)，求的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）由曲線C1：x+y=4可得曲線C1的極坐標(biāo)方程；先將曲線C2化為普通方程，進(jìn)而可得曲線C2的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，則ρ1=，ρ2=2cosα，則=，進(jìn)而得到答案．【解答】解：（1）∵在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x+y=4，曲線C1的極坐標(biāo)方程為：ρ（cosθ+sinθ）=4，C2的普通方程為（x﹣1）2+y2=1，所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為：ρ=2cosθ．…（2）設(shè)A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，則ρ1=，ρ2=2cosα，…==×2cosα（cosα+sinα）=（cos2α+sin2α+1）=[cos（2α﹣）+1]，…當(dāng)α=時(shí)，取得最大值（+1）．…20.（本小題滿分10分）某品牌設(shè)計(jì)了編號依次為的種不同款式的時(shí)裝，由甲、乙兩位模特分別獨(dú)立地從中隨機(jī)選擇種款式用來拍攝廣告．(I)若，且甲在1到為給定的正整數(shù)，且號中選擇，乙在到號中選擇．記Pst為款式（編號）和同時(shí)被選中的概率，求所有的Pst的和；(II)求至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可的概率．參考答案：解：（1）甲從1到為給定的正整數(shù)，且號中任選兩款，乙從到號中

任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)為，

記“款式和同時(shí)被選中”為事件B，則事件B包含的基本事件

的種數(shù)為，

所以，

則所有的的和為：；(4分)

（2）甲從種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為：，

同理得，乙從種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為，

據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，所有等可能的基本事件的種數(shù)為：，

記“至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”為事件A，則事件A的對立事件為：“沒有

一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”，

而事件包含的基本事件種數(shù)為：

，

所以.(10分)

略21.對于數(shù)列,若存在常數(shù)M>0,對任意,恒有，則稱數(shù)列為數(shù)列.求證：⑴設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和,若是數(shù)列，則也是數(shù)列.⑵若數(shù)列都是數(shù)列，則也是數(shù)列.參考答案：證明：(1)∵｛Sn｝為數(shù)列，∴存在M>0,使

∴，又.

∴｛an｝也是數(shù)列.

(2)∵數(shù)列｛an｝｛bn｝都是數(shù)列，∴存在M,M'使得：

，對任意都成立.考慮

∴

同理，

∴

∴｛anbn｝也是數(shù)列.

22.如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．（Ⅰ）求證：PC⊥AC；（Ⅱ）求三棱錐的體積。

參考答案：解析：（I）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，又