可靠度統(tǒng)計分析法教案

致遠(yuǎn)管理學(xué)院工業(yè)工程與管理系課程：可靠度工程授課者：林東成助理教授時刻：2003/2/**~2003/6/**參參考資料Kapur,K.C.andLamberson,L.R.,ReliabilityinEngineeringDesign,JohnWiley&Sons,Inc.,1977.柯輝耀編著，可靠度保證，中華民國質(zhì)量學(xué)會發(fā)行?？螺x耀編著，預(yù)防性失效分析---FMECA&FTA之之應(yīng)用，中華民國質(zhì)量學(xué)會發(fā)行。KekiR.BhoteandAdiK.Bhote,WorldClassQuality,2ndEdition,AmericanManagementAssociation.潘淅楠著，預(yù)防性質(zhì)量保證，華泰書局。IntegratedLogisticsSupportHandbook.李登梅，趙浡霖合著，裝備可靠度工程，五洲出版社。關(guān)季明編著，維護(hù)度工程與系統(tǒng)可用度，中華民國質(zhì)量學(xué)會發(fā)行。授課目錄差不多可靠度原理可靠度統(tǒng)計分析可靠度目標(biāo)訂定、配當(dāng)與保固系統(tǒng)可靠度模式可靠度設(shè)計分析可靠度試驗之規(guī)劃與執(zhí)行以可靠度為中心之維護(hù)作業(yè)規(guī)劃符合國際標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量系統(tǒng)需求之可靠度方案治理一位品管工程師須具備之條件：AGoodCoordinatorAGoodTeacherAGoodEngineerwithComputerKnowledgeAGoodStatisticalDataAnalysis可靠度統(tǒng)計分析2.1前言BS5760『可靠度概述指南』謂：在達(dá)成可靠度之實務(wù)中，有80%是屬于治理性的工作，只有20%須運(yùn)用統(tǒng)分析技術(shù)。統(tǒng)計分析技術(shù)可協(xié)助治理者作決策。產(chǎn)品可靠度現(xiàn)況可由各種統(tǒng)計推定之---可能(Estimation)[點可能與區(qū)間可能]與檢定(Test)，即對產(chǎn)品失效時刻分布的參數(shù)推定之。本章目的介紹差不多統(tǒng)計推定分析技術(shù)、數(shù)據(jù)處理、機(jī)率分布模式選定、參數(shù)可能、以及產(chǎn)品可靠度可能。2.2常用的壽命分布、可靠度函數(shù)與失效率函數(shù) 每一種可靠度函數(shù)R(t)均有其特定的相關(guān)失效時刻分布f(t)，因此每一可靠度函數(shù)只有一個且唯一的失效率函數(shù)(t)，反之亦然。2.2.1二項式分布(離散隨機(jī)變數(shù)) 有些只使用一次的產(chǎn)品[單發(fā)功能裝置(One-ShotDevice)]，如頻道切換、發(fā)動機(jī)點火、彈頭引爆、飛彈命中目標(biāo)與汽車安全氣囊等，其功能或性能值的屬性為計數(shù)型，使用『結(jié)果』只有好或不行，而無連續(xù)數(shù)據(jù)。一般均以二項分布(Binomial)表示，其機(jī)率密度函數(shù)為， f(r)=C(n,r)pr(1-p)n-r r=0,1,2,…,n (2.1)(2.1)式代表在n次試驗中，r(=n-y)次失效(y代表成功次數(shù))。此機(jī)率密度函數(shù)有兩項假設(shè)每一產(chǎn)品之失效機(jī)率均同為p。所有樣品之測試結(jié)果均互為獨立事件。由此可預(yù)估每一次測試之失效機(jī)率為， E[r/n]=p (2.2)進(jìn)行n次試驗發(fā)生失效機(jī)率之期望值()與變異數(shù)(2) E[r]=np (2.3a)2V[r]=np(1-p) (2.3b)2.2.2卜氏分布(離散隨機(jī)變數(shù)) 由于可靠度分析要緊是每單位時刻內(nèi)，有限的失效次數(shù)，卜氏分布亦相當(dāng)適用。另此分布函數(shù)為二項分布之機(jī)率密度函數(shù)(np=m常數(shù),p0,n)之極限推導(dǎo)為， f(r)=mre-m/r! r=0,1,2,… (2.4)其機(jī)率期望值()與變異數(shù)(2) E[r]=m (2.5a)2V[r]=m (2.5b)另卜氏分布有其程序(PoissonProcess)，并差不多假設(shè)則包括，每一時段t內(nèi)只發(fā)生一次失效。每一時段t內(nèi)所發(fā)生的失效次數(shù)與往常所發(fā)生之失效無關(guān)。在任一時段t內(nèi)，發(fā)生一次失效的機(jī)率與t成正比，其比例常數(shù)為(一次失效/t)。2.2.3指數(shù)分布(連續(xù)隨機(jī)變量) 倘隨機(jī)變量t符合指數(shù)分布，其機(jī)率密度函數(shù)為 f(t)=e-t//,t0 (2.6)此處t所代表之?dāng)?shù)值為失效發(fā)生的時刻間隔，或里程等?？煽慷群瘮?shù)之形式，則為R(t)=e-t/,t0 (2.7)此分布有一參數(shù)，且0。 指數(shù)分布與卜氏分布有緊密關(guān)系，假設(shè)在時刻t往常發(fā)生r次失效之機(jī)率為f(r)=mre-m/r! r=0,1,2,… (2.4)Pr(r)=(t)re-(t)/r! =(t)rexp(-t)/r! r=0,1,2,… (2.8)其中時刻t為確定值(Determinate)，而失效數(shù)r為隨機(jī)變數(shù)。依可靠度定義，在時刻t往常不發(fā)生失效之機(jī)率，亦即，R(t)=Pr(r=0)=exp(-t)現(xiàn)在，失效數(shù)(r=0)為確定數(shù)，而其失效時刻則為隨機(jī)變量。另 dR(t)/dt=-f(t) f(t)=-exp(-t)若令=1/，則上式與(2.6)式指數(shù)分布之失效時刻機(jī)率密度函數(shù)完全相同。故以指數(shù)分布為產(chǎn)品失效時刻機(jī)率密度函數(shù)時，其原始假設(shè)系產(chǎn)品發(fā)生失效之事件須遵循卜氏程序。因此，倘在一時刻內(nèi)失效發(fā)生之次數(shù)為卜氏分布，則失效的間隔時刻為指數(shù)分布，反之亦然。 由(2.6)式知，產(chǎn)品指數(shù)分布之失效函數(shù)、期望值()與變異數(shù)(2)為f(t)=e-t//R(t)=tf()d=te-//d=e-/|t= e-t/=f(t)/R(t)=[e-t//]/[e-t/]=1/ (2.9a) E[t]=0tf(t)dt=1/= (2.9b)2V[t]=1/2=2 (2.9c)其中即產(chǎn)品之平均失效間隔時刻MTBF。關(guān)于使用零組件大多是標(biāo)準(zhǔn)化或已進(jìn)展成熟之電子產(chǎn)品而言，均以此值為其可靠度指標(biāo)。產(chǎn)品在MTBF時刻范圍內(nèi)可靠度高，但R(t=)=0.368，即產(chǎn)品壽命如為指數(shù)分布，則能運(yùn)作達(dá)到MTBF之機(jī)會并不大。另卜氏程序(PoissonProcess)之差不多假設(shè)第2項所述---『每一時段t內(nèi)所發(fā)生的失效次數(shù)與往常所發(fā)生之失效無關(guān)』，亦稱為卜氏分布或指數(shù)分布的”無經(jīng)歷(NoMemory)”特征。換言之，假設(shè)某一產(chǎn)品已使用t時刻，尚未失效，欲知該產(chǎn)品還能再使用接著使用a時刻之機(jī)率(系條件機(jī)率)， Pr(xt+a|xt)=e-(t+a)//e-t/=e-a/此機(jī)率與使用過但未失效之使用時刻t無關(guān)，此即表示此產(chǎn)品并未因使用的時刻稍長，而有磨耗的阻礙。注意”無經(jīng)歷”產(chǎn)品須機(jī)率密度函數(shù)屬于常數(shù)失效率(=Constant)之型式。但實務(wù)上此現(xiàn)象不多見。 假設(shè)整個系統(tǒng)的可靠度為Rs(t)，而第i個分系統(tǒng)的可靠度為Ri(t)，則關(guān)于由m個分統(tǒng)串聯(lián)組成之系統(tǒng)，則Rs(t)為Rs(t)=i=1mRi(t) (2.10)假設(shè)而各個分系統(tǒng)的失效率函數(shù)型式為，s(t)=i(t)+citk，i=1,2,…,m, i，ci，k=Const.R(t)=e-∫(t)dt (1.21)Ri(t)=exp{-[it+citk+1/(k+1)tk)]} (2.11)Rs(t)=exp{-[ti=1mi+tk+1/(k+1)i=1mci)]} (2.12)當(dāng)m增加，假設(shè)i=1mi、且i=1mci/(k+1)i=1mi為有限值，則 limmRs(t)=exp(-i=1mit) (2.13,14,15)此表示系統(tǒng)的壽命分布趨近于指數(shù)。2.2.4常態(tài)分布(連續(xù)隨機(jī)變量)倘隨機(jī)變量t符合常態(tài)分布，其機(jī)率密度函數(shù)f(t)與累積分布函數(shù)F(t)為 f(t)=[1/(2)1/2]exp[-(t-)2/22],-t (2.16)F(t)=-tf()d=-t[1/(2)1/2]exp[-(-)2/22]d, (2.17)其中代表平均值，即位置參數(shù)(LocationParameter)，代表標(biāo)準(zhǔn)差，即尺度(或離散)參數(shù)(ScaleParameter)。其期望值、變異數(shù)、可靠度函數(shù)R(t)、與失效率函數(shù)(t)為， E[t]= ；V[t]=2 (2.18a,b)R(t)=tf()d=t[1/(2)1/2]exp[-(-)2/22]d(2.19)=f(t)/R(t)=exp[-(t-)2/22]/texp[-(-)2/22]d(2.20) 依中央極限定理(CentralLimitTheorem)，變數(shù)個數(shù)愈多時，多個隨機(jī)變數(shù)之和的機(jī)率分布愈接近常態(tài)分布。因此，常態(tài)分布適用于多個隨機(jī)因素之和的物理量。此外，常態(tài)分布的失效率函數(shù)屬于隨操作時刻增加而遞增(IncreasingFailureRate;IFR)的形式，專門適合用于描述磨耗型的失效。常態(tài)分布之標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換， z(t)=(t-)/ (2.21)則標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分布之機(jī)率密度函數(shù)、累積分布函數(shù)、可靠度函數(shù)與失效率函數(shù)為， f(z)=[1/(2)1/2]exp[-z2/2]=(z), -t (2.22a)F(z)=-t()d=(z) (2.22b)R(z)=1-(z)=z()d (2.22c)(z)=f(z)/R(z)=(z)/[1-(z)] (2.22d)2.2.5對數(shù)常態(tài)(LogNormal)分布(連續(xù)隨機(jī)變量) 此分布是壽命時刻t的對數(shù)符合常態(tài)分布N(,2)時，所采納之失效時刻機(jī)率密度函數(shù)。對數(shù)常態(tài)分布的機(jī)率密度函數(shù)f(t)、累積分布函數(shù)F(t)、可靠度函數(shù)R(t)與失效率函數(shù)(t)為，f(t)=[1/(2)1/2t]exp[-(lnt-)2/22],t0 (2.23a)F(t)=0t[1/(2)1/2]exp[-(ln-)2/22]d,t0=[(lnt-)/] (2.23b)R(t)=1-F(t)=1-[(lnt-)/] (2.23c)(t)=f(t)/R(t)=[(lnt-)/]/tR(t) (2.23d)對數(shù)常態(tài)分布的期望值與變異數(shù)為， E[t]=exp(+2/2) (2.24a) V[t]=exp(2+22)-exp(2+2) (2.24b) 若值專門小，則其變化接近常態(tài)分布，其特征是失效率函數(shù)隨時刻增高，而后不久即降下，此現(xiàn)象猶如制造廠去除早夭期失效后出貨，篩選未清所遺漏之初期故障將會在使用初期即顯現(xiàn)，而后逐漸穩(wěn)定的過程。 2.2.6韋氏分布(WeibullDistribution)(連續(xù)隨機(jī)變量) 在壽命試驗之可靠度評估中，除指數(shù)分布外，應(yīng)用最廣者即韋氏分布。若t屬于三參數(shù)韋氏分布的隨機(jī)變量，則此隨機(jī)變量之累積分布函數(shù)為， F(t;,,)=1-exp[-(t-)/(-)],t (2.25)其中0，0，0。為形狀參數(shù)(ShapeParameter)或韋氏斜率(Slope)，為尺度參數(shù)(ScaleParameter)或特征壽命(CharacteristicLife)，為位置參數(shù)(LocationParameter)或最低壽命(MinimumLife)。 倘最低壽命為零(=0)即成為兩個參數(shù)的韋氏分布，則F(t;,)=1-exp(-t/),t0 (2.26)則其機(jī)率密度函數(shù)、可靠度函數(shù)與失效率函數(shù)為，f(t;,)=(/)(t/)-1exp[-(t/)],t0 (2.27)R(t)=exp[-(t/)],t0 (2.28)(t)=(/)(t/)-1,t0 (2.29)其期望值與變異數(shù)為， E[t]==(1+1/) (2.30-33a) V[t]=2=2[(1+2/)-2(1+1/)] (2.33b)當(dāng)形狀參數(shù)1時，(t)隨時刻而漸減；當(dāng)=1時，(t)成為一常數(shù)；當(dāng)1時，(t)隨時刻而漸增；當(dāng)值3.6~3.8時，韋氏分布特征將近似于常態(tài)分布。當(dāng)t=代入(2.26)式(F(t;,)=1-exp(-t/),t0) F(t=)=1-exp(-/)=1-exp(-1)=0.632 故不論任何韋氏分布，在t=往常，失效的機(jī)率小于0.632，亦即可將任何值的韋氏分布為兩部份，在t=往常的機(jī)率0.632，在t=以后的機(jī)率0.368。此即被稱為特征壽命(CharacteristicLife)的要緊緣故。2.3數(shù)據(jù)分析 差不多上，統(tǒng)計方法為處理由量測或試驗所得數(shù)據(jù)所描述現(xiàn)象的科學(xué)方法，可靠度統(tǒng)計分析亦是如此，其分析步驟，確認(rèn)產(chǎn)品形態(tài)(構(gòu)型)(Configuration)，界定合適之試件(確定樣本空間)；規(guī)劃并執(zhí)行可靠度試驗與抽樣；數(shù)據(jù)分析(包括原始數(shù)據(jù)分析、適合度檢定、失效時刻分布之參數(shù)可能；研究某種產(chǎn)品之可靠度特征，并對該產(chǎn)品之可靠度作推論。2.3.1母體與樣本所謂母體(Population)系指所有可能觀看得到之同類事件的全體。一個母體必有其特征，而其特征則是由一個(或一組)參數(shù)(Parameter)來描述?，F(xiàn)實中，不易觀看母體之真實特征，需采抽樣(Sampling)來描述母體之特征值。以樣本代表母體時，須是母體的每一個份子均具有相同的機(jī)會被抽中。一般均假設(shè)樣本為隨機(jī)樣本，意指每一個樣本值彼此互為獨立，從母體中抽樣時，該母體的分布情形均相同。在可靠度工程方面，須在研發(fā)時期(為量產(chǎn)之前)，即對研制件進(jìn)行可靠度水平的可能或檢定，其所依據(jù)的數(shù)據(jù)即是針對原型試制件或先導(dǎo)生產(chǎn)件可能而來。2.3.2原始數(shù)據(jù)分析 進(jìn)行失效數(shù)據(jù)分析時應(yīng)注意其結(jié)果在工程及統(tǒng)計上的顯著性。2.3.2.1對早期失效是否不正常的檢驗方法在產(chǎn)品壽命試驗中，極短的失效時刻可能是由于制造工藝不良，或由次等零組件(料材)所引起，此缺點不足代表產(chǎn)品質(zhì)量。故在分析測試數(shù)據(jù)之前，宜將此類數(shù)據(jù)予剔除。設(shè)(t1,t2,…,tr)為r個獨立、且屬相同”指數(shù)分布”之隨機(jī)變數(shù)。則可建立一符合F分布之隨機(jī)變量為，F(xiàn)2,2r-2=(r-1)t1/i=2rti (2.34)上式t1即代表所發(fā)生之最短失效時刻。倘失效時刻(t1)顯著過小，則此比值亦顯然專門小。換言之，若 F1-,2,2r-2(r-1)t1/i=2rti (2.35)則表示t1為一不正常的早夭失效。亦即F,2r-2,2i=2rti/(r-1)t1 (2.36)2.3.2.2對不正常過長失效時刻的檢定依上述原則，亦可檢定不正常過長失效時刻。以t1為不正常的過長失效時刻，則F0.05,2,2r-2(r-1)t1 /i=2rti (2.37)式中t1為任一時刻，不一定是第一個。2.3.3適合度檢定 由測試所搜集匯整之?dāng)?shù)據(jù)經(jīng)原始數(shù)據(jù)分析，剔除不足代表欲分析對象的不適用數(shù)據(jù)之后，仍須以適合度檢定(GoodnessofFit)就數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，進(jìn)一步確定所得數(shù)據(jù)之分布模式。然而在進(jìn)行檢定之前仍需對數(shù)據(jù)之分布作初步的分析，才可對數(shù)據(jù)的適合度徑行檢定，現(xiàn)在就所得數(shù)據(jù)加以適切分類，繪制直方圖(Histogram)，便可獲得某些額外的訊息據(jù)以分析。2.3.3.1卡方分布之適合度檢定(MIL-HDBK338A) 此檢定的差不多假設(shè)是將樣本數(shù)區(qū)分為NC個區(qū)間，則在每一區(qū)間之?dāng)?shù)據(jù)將正常地分布，且以期望值為其平均值。若Oi與Ei分不代表第i個區(qū)間之觀看失效數(shù)與期望失效數(shù)，則定義為， 2=NCi=1(Oi-Ei)2/Ei (2.39)將近似具有v個自由度之卡方分布(其中v=NC-k-1，k代表需利用測試數(shù)據(jù)所計算之失效分布參數(shù)之?dāng)?shù)目)。若顯著水平(LevelofSignificance)為，且2=NCi=1(Oi-Ei)2/Ei (2.40)則對虛無假設(shè)(NullHypothesis)應(yīng)產(chǎn)生懷疑，亦即應(yīng)否定原假設(shè)分布之假設(shè)；反之，則可接收虛無假設(shè)。以卡方分布做適合度檢定對失效分布并無任何預(yù)設(shè)假設(shè)，亦即可對任何失效分布進(jìn)行假設(shè)檢定。但為幸免期望數(shù)值過小對卡方分布之阻礙，常將期望數(shù)值過小者之?dāng)?shù)個區(qū)間合并計算，一般均要求區(qū)間內(nèi)理論上之失效期望數(shù)值不可小于5。2.3.3.2Kolmogorov-Smirnov檢定(MiL-HDBK338A) K-S檢定較卡方檢定更為簡便，且由于此法系以累積等級數(shù)據(jù)(CumulativeRankedData)為基礎(chǔ)，故可與機(jī)率繪圖法配合使用。此法之程序如下，將失效資料制表整理。計算其|Oi-Ei|值，其中Oi分不代表第i個累積等級值，Ei則為假設(shè)分布之期望累積位級值；確認(rèn)最大之|Oi-Ei|值；將此最大值與K-S值比較；若最大值小于K-S值，則作同意的決策，反之則否。2.4參數(shù)可能 決定描述數(shù)據(jù)的機(jī)率模式后，續(xù)之即可能該分布之參數(shù)值。然即使隨機(jī)變量的機(jī)率分布及其參數(shù)值已知，仍無法準(zhǔn)確的預(yù)測某特定事件一定或不一定發(fā)生，而只能預(yù)測此事件發(fā)生之機(jī)率為若干。此不確定性發(fā)生的緣故要緊是因為自然現(xiàn)象有固有的隨機(jī)性(InherentRandomness)。但不確定性的其它因素則可能包括分布模式選擇的不適切，或參數(shù)推定不準(zhǔn)確所致。盡管參數(shù)推定值的準(zhǔn)確性可因樣本數(shù)的增加而提高。但固有的變異性確可能因為樣本數(shù)增加而益形顯著。一般而言，參數(shù)可能有：點可能(PointEstimation)與區(qū)間可能(IntervalEstimation)。2.4.1點可能(PointEstimation)假設(shè)隨機(jī)變量X的母體機(jī)率密度函數(shù)f(x|)，其中為未知的參數(shù)。為可能此未知的參數(shù)，則由母體中抽取出數(shù)樣本，得到觀測值為x1,x2,…,xn。利用點可能方法算出一可能式(Estimator)，以表示。再將觀測值為x1,x2,…,xn代入可能式中得到一數(shù)值，此數(shù)值稱之為參數(shù)的可能值(Estimate)。常用方法：(1)最大概似法，(2)動差法。最大概似法(MaximumLikelihoodMethod)由Fisher(1912)提出。假設(shè)隨機(jī)變量X的母體機(jī)率密度函數(shù)f(x|)，其中為未知的參數(shù)，為可能此未知的參數(shù)，則由母體中抽取出數(shù)樣本，得到觀測值為x1,x2,…,xn。則概似函數(shù)定義為L(x1,x2,…,xn；)=f(x1,)f(x2,)…f(xn,) 使概似函數(shù)L(x1,x2,…,xn；)值為最大，則能求出可能值，稱此為最大概似可能式(MLE,MaximumLikelihoodMethod)。范例、某公司新推出光盤刻錄機(jī)，其使用壽命服從指數(shù)分配f(x)=e-x。為可能參數(shù)以了解平均使用壽命，隨機(jī)抽取出11臺樣本做測試，測得其壽命結(jié)果如下：8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52(百小時)。試以最大概似法可能值。SOL：L(x1,x2,…,xn；)=f(x1,)f(x2,)…f(xn,) lnL(x1,x2,…,xn；)=nln- d(lnL)/d=n/-=0 Estimator(可能式) =11/(8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)=11/267范例、假設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2)，從其中隨機(jī)抽取出一組樣本x1,x2,…,xn，試以最大概似法可能,2值。SOL：L(x1,x2,…,xn；,2)=f(x1,,2)f(x2,,2)…f(xn,,2)lnL(x1,x2,…,xn；,2)=ln =-(n/2)ln(2)-(n/2)ln(2)-((xi-)2)/22動差法(MomentMethod)由Pearson(1894)提出。假設(shè)隨機(jī)變量X的k次動差為k=E[Xk]，則樣本動差定義為 即為對k次動差k點可能。 ◎?qū)δ阁w平均值、變異數(shù)2做點可能一次動差(k=1)二次動差(k=2)對常態(tài)分配、2而言，用動差法可能與用最大概似法可能的結(jié)果是一樣的。但對其他分配，其結(jié)果有異。范例、假設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,)代表致遠(yuǎn)校門口學(xué)生等候出租車時刻所滿足之分配，茲從學(xué)生等候出租車時刻，隨機(jī)抽取出5樣本：0.5、1、2、3.5、8(分鐘)，試以動差法可能值。SOL：均勻分配以X~U(a,b)表示，其期望值與變異數(shù)為： E[X]=(a+b)/2 V[X]=(b-a)2/12 X~U(0,)E[X]=/2=/2=22(0.5+1+2+3.5+8)/5=6(動差法)若用最大概似法可能U(0,)，易得之最大概似法可能式 xi={0.5、1、2、3.5、8}=8如何評量『點可能』的優(yōu)良性 同一未知參數(shù)的可能式有專門多種，何者最佳?統(tǒng)計學(xué)定義三個準(zhǔn)則：(1)不偏(2)有效性(3)最小變異數(shù)。定義：不偏可能式(UnbiasedEstimator) 設(shè)未知參數(shù)的可能式為，可視為一隨機(jī)變數(shù)。因此，隨機(jī)變量會服從某一機(jī)率分配，當(dāng)此分配的期望值E[]正好等于未知參數(shù)時，即E[]=，稱為的不偏可能式。定義：有效性(Efficiency) 設(shè)茲有二個不偏可能量，即為。若V[]V[]，則稱比有效率。定義：最小變異不偏可能式(Minimum-VarianceUnbiased)若一不偏可能式，且其變異數(shù)比其它不偏可能式的變異數(shù)小，則稱此不偏可能式為最小變異不偏可能式，亦稱最佳可能式(BestEstimator)。區(qū)間可能(IntervalEstimation) 用點可能方法找出的可能式為時，通常的樣本可能值不一定會準(zhǔn)確的落于上，而是略大于或小于，即的樣本可能值會落于附近區(qū)間內(nèi)。將可能結(jié)果以區(qū)間的形式表示之---『區(qū)間可能』，即『此區(qū)間包含了真正的參數(shù)』。 以機(jī)率表示： P(LU)=1- 其中1-為信賴水平(ConfidenceLevel)。為顯著水平(SignificanceLevel)。(L,U)為信賴區(qū)間(ConfidenceInterval)，即對參數(shù)所做可能的1-信賴水平的信賴區(qū)間。L為信賴區(qū)間下限，U為信賴區(qū)間上限。 以樣本平均值的95%信賴區(qū)間為例，即在100次抽樣中有95次包含母體平均值，亦確實是表示會有5次沒有包含母體平均值。=5%，P(LU)=1-=1-5%=95%。 令信賴區(qū)間長度=L-U，在1-信賴水平下，區(qū)間長度愈短，表示此區(qū)間可能的精確度愈高。亦即對未知的母體參數(shù)的可能變動范圍較小，其掌握度較高。2.5可靠度可能2.5.1二項式分布 在可靠度分析的應(yīng)用中，若測試數(shù)據(jù)屬二項分布時，產(chǎn)品可靠度點可能值為， =y/n (2.69)其中n為測試樣本數(shù)，y為成功(或正常)數(shù)。此外，其100%信賴水平之可靠度下限可能值為， =1/{1+[(n-y+1)/y]F1-,2(n-y+1),2y} (2.70)當(dāng)試驗結(jié)束失效數(shù)為零(即成功數(shù)等于試驗樣本數(shù))時，依(2.69)式，其可靠度點可能值為1.0。但任一產(chǎn)品均非十全十美，故建議采納，=n/(n+1) (2.69) =(1-)1/(n+1) (2.70)2.5.2指數(shù)分布 指數(shù)分布之為失效率之倒數(shù)。當(dāng)產(chǎn)品之可靠度變量為壽命時，產(chǎn)品在工作時刻(t)之可靠度點可能值即為，= (2.73)其中點估值()可由總試驗時刻(累積操作時刻)T，及所發(fā)生之失效數(shù)(r)計算為， =T/r (2.74)現(xiàn)在，其100%信賴水平之雙邊規(guī)格信賴區(qū)間(L,U)為，(L,U)=(2T/2/2,2r,2T/21-/2,2r) (2.75)其中=1-。(2.75)式系假設(shè)數(shù)據(jù)屬完整型數(shù)據(jù)(CompleteData)或?qū)儆谑z剔型(FailureCensored;Type=2\*ROMANIICensored)數(shù)據(jù)時之表達(dá)式。若屬于時刻檢剔型(TimeCensored;Type=1\*ROMANICensored)數(shù)據(jù)，則其100%信賴水平之雙邊規(guī)格信賴區(qū)間(L,U)為，(L,U)=(2T/2/2,2(r+1),2T/21-/2,2r) (2.76)時刻時刻試件123456完整數(shù)據(jù)(CompleteData)n=6時刻時刻試件123456單階時刻檢剔數(shù)據(jù)(SingleType=1\*ROMANICensoredData)tcn=6，r=3時刻時刻試件123456單階失效剔除數(shù)據(jù)(SingleType=2\*ROMANIICensoredData)trn=6，r=4上圖所示，各類不同的試驗型態(tài)之總試驗時刻(T)之計算為， (a)完整數(shù)據(jù) T=i=1nti (2