高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)

高數(shù)〔下〕復(fù)習(xí)指南不考內(nèi)容：1.打“*”號(hào)章節(jié)；函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用；二重積分的物理應(yīng)用；4.二次曲面；5.一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)；傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算重點(diǎn)內(nèi)容：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；幾何上的應(yīng)用；極值；二重積分、三重積分的計(jì)算；曲線積分、曲面積分的計(jì)算；格林公式〔包括積分與路徑無(wú)關(guān)、全微分求積〕；高斯公式；數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)、收斂域，函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)〔利用常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式〕；傅立葉級(jí)數(shù)的收斂定理；向量的運(yùn)算；平面與直線注：1.請(qǐng)同學(xué)們高度重視購(gòu)買的練習(xí)冊(cè)、補(bǔ)充與提高。2.本次考試較去年同期試題難度大一些。一多元函數(shù)微分學(xué)部分 ??f(x,y)dxdyTOC\o"1-5"\h\z2—Jxy+4 丄lim 2lim(1,sinxy)xy3limx2+y2<t2 (f(x,y)連續(xù)〕t€0+x€0 xy (x,y)€(0,3) t€0t€0+y€0設(shè)f(x,y)是可微函數(shù)，且f'(0,0)二f'(0,0)二0，求lim些壬x y (x,y)€(0,0p'x2+y2z z dz dz設(shè)z=z(x，y)由方程F(x+ ,y+—)=0所確定，證明x+y=z—xyy x dx dyczcz c2z設(shè)ez=arctan(xyz),求—5——7設(shè)ez=xyz?cxcy cxcy設(shè)z二xf(x,y),其中y二ex,求字9設(shè)z=u2lnv,u=蘆,v=3x-2y,求-,-dx 2x oxcy10設(shè)u=x+xy+xyz,求函數(shù)u在點(diǎn)〔1,1,1〕處的梯度及在點(diǎn)〔1,1,1〕處沿此處的梯度方向的方向?qū)?shù)。11求空間曲線x2+y2二2z2,x+y+2z二4在點(diǎn)〔1,-1,2〕處的切線方程與法平面方程。12證明：曲面F(y—az,x—bz)二0上任意一點(diǎn)處的切平面與一定直線平行。13求曲面36x2€9y2€4z2二36位于第一卦線內(nèi)的點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍立體體積的最小值，并求出最小值點(diǎn)的坐標(biāo)。14在半徑為a的半球內(nèi)作內(nèi)接長(zhǎng)方體，問(wèn)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為多少時(shí)，才能使體積最大？15求拋物線y二x2上的點(diǎn)到直線x-y二1的最短距離?！颤c(diǎn)〔1/2,1/4〕，最小值9/32〕16求曲面x2€y2€z2二16與x2€y2€z2+2x€2y€2z二24交線的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的坐標(biāo)?！病?,0,4〕,〔8/3,8/3,-4/3〕 〕多元函數(shù)積分學(xué)部分交換積分次序JadyJ2ayf(x,y)dx+卜dyJ3ayf(x,y)dx求JJIx2+y2—2xIdxdyD:0?x?1,0?y?1化Hf(x,y)d…(D:x二0,y二x,y二1所圍〕為極坐標(biāo)系下的二次積分化f(x,y,z)dv(0:z'Jx2+y2,1?x2+y2+z2?4所圍〕為球坐標(biāo)系下的三重積Q分化JJxdxdz(S:z二Jx2+y2,z二1所圍內(nèi)外表〕為二重積分s化JJJ[x2+(1，z)2]dv(0:z二Jx2+y2,z二1所圍〕為柱坐標(biāo)系下的三重積分0求JJJz2dv0:x2+y2+z2二R2,x2+y2+z2二2Rz所圍公共部分〔4^兀R5〕0求錐面z=p'3(x2€y2)和y+z二2所圍立體外表積〔(2+^2)、；6兀〕求JJ(ax+by+cz)2ds工：八面體IxI+IyI+Iz1?1外表〔-3(a2+b2+c2)〕8工求J!x2dydz+y2dzdx+z2dxdy工:z=、；1一x2一y2之外側(cè)。(蘭■+ )105 32工求(x+y2)zdxdy+(x2+z)ydzdx,工是z二1-(x2+y2)/4被z=0所截得部分的下側(cè)slo兀〔一T〕12求J!xz2dydz,工:z=ja2一x2一y2之上側(cè)?！怖?〕

13求……(x2一yz)dydz,(y2一zx)dzdx,2zdxdy,€:z=x2,y2(0?z?1)其法向量與z€軸正向間的夾角為銳角?！?2?！?4求ff(x3一yz)dydz，zdxdy,€:x2,y2=a2(0?z?1)之外側(cè)?！病?€15求…(x2sin3y一3y+1)dx+(x3cos3y一x+3)dy,L:y=--<2x一x2由〔o,0〕至2L兀小〔2,0〕。〔丁，2〕416求…(exsiny一my+2x)dx+(excosy一m+y)dy,L:x2+y2=a2由〔0，0〕沿上半圓Lm兀、至(a，O).〔a2(l- )〕817求曲線L:<x=117求曲線L:<在t從-1到1部分所圍區(qū)域面積。〔1/5〕y=t218已知L是平面上不通過(guò)原點(diǎn)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線正向，為使積分(…°加一ydy=0,與x2+y2L路徑無(wú)關(guān)，a應(yīng)取何值?19假設(shè)(3x+4S:豊3y)2(x2，y2<°’ab<0)是某二元函數(shù)的全微分，則a,b關(guān)系如何？(a,b=0)x220設(shè)Jk(x2+y2)adx, (x2+y2)ady在不與y=0相交的區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，求a。并Ly y2(1,1)yy25所圍立體的體積〔6兀a3〕求u(x,y)=J(x’y)壬(x2+y2)adx+—(x2+y2)ady。(a=—(1,1)yy25所圍立體的體積〔6兀a3〕21求x2,y2=az與z=2a—Jx2,y2(a>0)三空間解析幾何部分1設(shè)向量a={1，一1,1},b={3,一4,5}，無(wú)=a+kb，試證：使模1x1最小的向量x垂直于向量b2已知a,b,c=0,1a1=3,1b1=5,1c1=7,求(a,b).(―)3設(shè)a、b、c為單位向量，且滿足a,b,c=0,求+b?c+c?a4已知a=i,j,b=i—j求 ? ? ? ?(a€b)a,(a_b)xa,p一(a_b), ((a_b),a)rja”X，1… x?1y?2z_15求與兩直線L:<y=_l_tL:―廠，二都平行，且過(guò)原點(diǎn)的平面方程1…2121z，2?t(x—y?z，0)x_4y?3z6求過(guò)點(diǎn)〔3,1,—2〕且通過(guò)直線一亍，—，1的平面方程(8x-9y-22z-59，0)TOC\o"1-5"\h\zJ 厶 丄7一直線L過(guò)點(diǎn)〔1,2,3〕與y軸相交，且與直線x，y，z垂直，求直線L的方程x_1y_2z_3，，——1 _4 38求過(guò)點(diǎn)〔一1，0,4〕，且平行于平面3x—4y?z—10，0，又與直線，丄”，|相交的直線方程(亡1，丄，匚)交的直線方程I16 19 28高等數(shù)學(xué)試卷〔一〕一、填空題〔2X10=20分〕1、limsinxy(X,y)T(0,0)2_\；4?XVTOC\o"1-5"\h\z2、已知a，(2,-3,1),b，(1,一1,3),a?b，3、函數(shù)z，ln(1?x2?y2)在x，1,y，2處的全微分dz， 。4、 設(shè)I，\2dy\2yf(x,y)dx，交換積分次序后，I， 。0 y25、 函數(shù)z，x2?y2在點(diǎn)〔1,2〕處沿從點(diǎn)〔1,2〕至u點(diǎn)(2,2+屈)的方向?qū)?shù)為 6、曲面z，x2+y2—1在點(diǎn)〔2,1,4〕處的法線方程為 7、 函數(shù)u，xy2z在點(diǎn)M〔1,—1,2〕處的梯度graduI=M8、 J(x2+y2)ds， 。其中C:x2+y2，1(y>0)。c級(jí)數(shù)藝(2n_1)(2n+1)的和為—1,_n—1,_n<x<01,0<x<兀10、f(x)是以2兀為周期的周期函數(shù)，其在［-兀,兀］上的表達(dá)式為f(x)=<€設(shè)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則s(0)二 ,s(-)二 。二、計(jì)算題〔8X8=64分〕,dzdz1、 設(shè)z二u2ev,u二xy,v二x—y，求=，丁excy2、 在曲線x二t,y二t2,z二—313上求點(diǎn)，使得此點(diǎn)上的切線平行于平面x?2y?z二4〔〔-1/5，1/25，1/75〕，〔1，1，-5/3〕〕3、 計(jì)算JJ(x2?y2)d…，D:y二x,y二x?a,y二a,y二3a(a>0)所圍。〔14a4〕D4、計(jì)算J(exsiny+y)dx+(excosy-x)dy,L:y=一—x2由點(diǎn)〔2,0〕至l」〔一2,0〕L的那段弧?！?€〕，如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？，如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？件收斂〕Ix—2y+4z—7=06、求過(guò)點(diǎn)〔2,。，一3〕且與直線<3x?5y,2z?I=0垂直的平面方程?！惨?6x?14y?11z?65=0〕17、將函數(shù)f(x)= 展成x+4的幕級(jí)數(shù)。x2?3x?28、 計(jì)算I=JJ(y2一z)dydz+(z2一x)dzdx+(x2一y)dxdy,工:x2+y2=z2(0<z<h)外€側(cè)?！病?h4〕?b三、選取a、b使 dx- dy為某函數(shù)u(x,y)的全微分，并求u(x,y)?！?x2?y2 x2?y2x1分〕(a=1,b=0,u(x,y)=arctan—+—ln(x2+y2)+c)y2四、在橢球面4x2+y2+z2=4的第一卦限上求一點(diǎn)，使得橢圓面在該店的切平面與三個(gè)坐〔2x0〔2x0=y0=z0=丁〕高等數(shù)學(xué)試卷〔二〕、填空題〔2X10=20分〕1、lim1、lim2 4+xy=TOC\o"1-5"\h\z2、 設(shè)a€(—1,0,3),b€(—3,5,0),a?b€ ,a,b= .3、 設(shè)I=J2dxf2xf(x,y)dy,交換積分次序后，I= 。0x4、 曲面x2?2y2?3z2=6在點(diǎn)(1,1,1〕處的切平面方程為 5、函數(shù)f(x)=ex2關(guān)于x的幕級(jí)數(shù)的展開(kāi)式為 。6、 f(2x?2y)ds= ,L為連接〔1,0〕及〔0,1〕兩點(diǎn)的直線段。L7、 函數(shù)f(x,y)€xy+sin(x+2y)在點(diǎn)〔0,0〕處的梯度為 8、 函數(shù)z€xe2y在點(diǎn)〔1,0〕處沿此點(diǎn)〔1,0〕到點(diǎn)〔2,—1〕的方向?qū)?shù)為 。X9、函數(shù)z€ey的全微分dz€ 。10、 f(x)是以2…為周期的周期函數(shù)，其在［-…,…)上的表達(dá)式為f(x)€x,設(shè)f(x)的傅3…里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則s(…)€ ,s(_^)€ 。二、計(jì)算題〔8X8=64分〕dzdz1、設(shè)z€uv,u€2x?y2,v€xy,求 ，丁dxdy2、3、求曲線x€t,y€2t2,z€3t3在t€2、3、計(jì)算xydQ,D:y€hx€2,y€所圍。(~—ln2)x4D4、計(jì)算f(x?y)2dx—(x2?y2siny)dy,L:y=x2沿點(diǎn)〔一1,1〕到點(diǎn)〔1,14、L16/15〕5、 判定級(jí)數(shù)藝(—1)n—是否收斂，假設(shè)收斂，求其和。〔一9/16〕3n—1n€16、 一直線L過(guò)點(diǎn)〔1,2,3〕與y軸相交，且與直線x=y=z垂直，求直線L的方程。x—1y—2z—31 —1 —4 37、將函數(shù)心=丄展成x—1的幕級(jí)數(shù)'并求收斂域。8、計(jì)算I€ffz4dxdy+x3dydz+y3dzdx,其中工：x2?y2?z2=1的內(nèi)側(cè)。〔——〕3

三、確定常數(shù)€,使得在右半平面x>0上’―九ydx+ x dy為某函數(shù)u(x,y)的全x2+y2 x2+y2微分’并求u(x,y)?！?分〕〔€?1,u(x,y)?arctan'〕x四、要造一個(gè)容積為32立方米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，問(wèn)如何選擇水池的尺寸，方可使它的外表積最小。〔8分〕〔x?y?4,z?2)〕高等數(shù)學(xué)試卷〔三〕一、填空題〔2X10=20分〕1、limxy?(x,y)…(0,0) 12、設(shè)a?(—1、limxy?(x,y)…(0,0) 12、設(shè)a?(—2,0,4),b?(—3,6,—2),a.b?3、設(shè)I?f1dyfyf(x,y)dx,交換積分次序后，I二004、t 兀曲線x?t-sint,y?1-cost,z?4sin-在點(diǎn)(亍—1,1,2叮2)處的切線方程為.5、函數(shù)u?xy2+z3-xyz在點(diǎn)〔1,1,2〕的梯度為,6、,L為連接〔1,0〕及〔0,1〕兩點(diǎn)的直線段。7、幕級(jí)數(shù)工(n+1)xn的收斂區(qū)間為.n?18、9、函數(shù)z?ye2x在點(diǎn)〔1,0〕處沿此點(diǎn)〔1,0〕到點(diǎn)〔8、9、級(jí)數(shù)工a收斂’級(jí)數(shù)工b發(fā)散’則級(jí)數(shù)n n nnn?1 n-1 n?1Ix,—兀<xv010、/(x)是以2兀為周期的周期函數(shù)'其在”,“)上的表達(dá)式為f(x)?仁0<x5設(shè)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則s(-兀)?二、計(jì)算題〔8X8=64分〕x QzQz1、設(shè)z?u2lnv，u?,v?3x—2y,求 ，：一y QxQy2、求曲線ez-z+xy?3在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面及法線方程。

3、 計(jì)算JJxyd€,D:y=1,x=3,y=x所圍。D4、 計(jì)算,(x2-y)dx-(x?sin2y)dy,L:y=p2x-x2上由點(diǎn)〔0,0〕到點(diǎn)〔1,1〕的一L71段弧?！病猄in2〕645、判定級(jí)數(shù)無(wú)匕如sin-^是發(fā)否收斂，假設(shè)收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？〔絕…n?1 n?1n=1對(duì)收斂〕6、求與直線6、求與直線L=t+1及牛=字=F都平行且過(guò)點(diǎn)〔3，-2，1〕的平面7、 將函數(shù)f(x)=-展成x的幕級(jí)數(shù),并求收斂域。4+x28、 計(jì)算I=,,x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中工：z=丘2工三、驗(yàn)證(2xy2+x+2)dx+(2x2y—y2+3)dy為某函數(shù)u(x,y)的全微分，求出一個(gè)u(x,y)，并計(jì)算f(0,0)(2xy2+x+2)dx+(2x2y-y2+3)dy〔8分〕〔-6 〕(1,1)6四、求內(nèi)接于球面x2+y2+z2=a2(a>0)，且有最大體積的長(zhǎng)方體(:x=y=z=￡a〕8分〕高等數(shù)學(xué)試卷〔四〕一、填空題〔2X10=20分〕TOC\o"1-5"\h\z1、 lim3二吋= 。(x,y)T(0,0) xy2、已知a=(1,0,-3),b=(1,-8,3),a.b= 。3、 函數(shù)z=ex在x=1,y=2處的全微分dz= 。4、 設(shè)I=,2dx,2xf(x,y)dy，交換積分次序后，I= 。0x5、 函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)〔1，0〕處沿從點(diǎn)〔1，0〕到點(diǎn)(2,-1)的方向?qū)?shù)為

TOC\o"1-5"\h\z7、 函數(shù)u€ln(x2+y2+z2)在點(diǎn)M〔1,2,-2〕處的梯度graduI= 。M8、 ,(x+y)ds€ 。其中C位連接〔1,0〕及〔0,1〕的直線段。c9、 級(jí)數(shù)? 的和為 。n(n+1)n€1「―2,-…至xv010、 f(x)是以2…為周期的周期函數(shù)，其在［-…,…］上的表達(dá)式為f(x)€^ ,<2,0<xv……設(shè)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則s(0)€ ,s(亍€ 。二、計(jì)算題〔8X8=64分〕1、八xIny十比比1、 設(shè)_€In，求=^―zz dxdyt 1+12、 求曲線x€ ,y€ ,z€t2在對(duì)應(yīng)t=1的點(diǎn)處的切線及法平面。1+1 t3、 計(jì)算,,—da,D:y€x,x€2,xy=1所圍?！?/4〕x2D4、 計(jì)算,(exsiny+y+…)dx+(excosy-x)dy,L:(x-4)2+y2=9右半圓周逆時(shí)針的封Lxn閉曲線〔-9…xnn€15、求級(jí)數(shù)?二的收斂域及和函數(shù)?！病猯n(1-x),xg［-1,1］n€1x—4y+3z6、求過(guò)點(diǎn)〔3,1,—2〕且通過(guò)直線一亍€—€1的平面方程?！?x-9y-22z-59二0〕5 2 17、將函數(shù)f(x)€一^―-展成x的幕級(jí)數(shù)。x2+x—28、計(jì)算I€,,x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,?:x2+y2=乙2(0<z<a)的外側(cè)。〔=a4〕2三、確定常數(shù)九，使得在右半平面x>0上,J2xy(x4+y2)九dx-x2(x4+y2)九dy與積分L路徑無(wú)關(guān)，并求I€J(2,2)2xy(x4+y2)入—x2(x4+y2)入dy(1,1)y… 1r九€-1,u(x,y)€-arctan—,I=_-arctan_〕( x2 4 2〕

四、求外表積為a2而體積最大的長(zhǎng)方體的體積。〔8分〕高等數(shù)學(xué)試卷〔五〕、填空題〔3X10=30分〕1、lim(x,y)T(0,0) 廠2、已知a€(2,，3,5),b€(3,1,，2),a.b€3、1、lim(x,y)T(0,0) 廠2、已知a€(2,，3,5),b€(3,1,，2),a.b€3、4、5、函數(shù)z€ex2y2，則dzI€ 。(i,i)函數(shù)z€xy在點(diǎn)A(5,1)處沿從點(diǎn)A(5,1)到點(diǎn)B(9,4)的方向?qū)?shù)為函數(shù)z€x+xy+xyz在點(diǎn)M〔1,2,-1〕處的梯度gradu|6、曲面x2+2y2+3z2€6在點(diǎn)〔1,1,1〕處的切平面方程為.7、8、設(shè)I€?2dx?xf(x,y)dy，交換積分次序后，i二00?(x2+y2)ds€L。其中L為上半圓周：x2+y2€R2,(R…0)9、級(jí)數(shù)無(wú)(]+ )的和為2n3nn€110、f(x)是以2兀為周期的周期函數(shù)，其在［-兀,兀］上的表達(dá)式為f(x)€彳設(shè)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則s(0)€_二、計(jì)算題〔7X8=56分〕1、dzdz設(shè)x2+2y2+3z2+xy—z—9€0，在點(diǎn)〔1,-2,1〕處求亍〔0； 5〕dxdy2、t 兀求曲線x€t,sint，y€1—cost，z€4sin—在t€—相應(yīng)處的點(diǎn)處的切線及法平面方程。223、計(jì)算??也丄do,D:y€x2,y=x所圍。yD-sin1〕4、計(jì)算I€J(exsiny，b(x+y))dx+(excosy，ax)dy,L:x2+y2=2ax上由0(0,0)到L點(diǎn)A(2a,0)a,b為正的常數(shù)兀[(a一b)一2b]a227、將函數(shù)f(x)= 1展成x-17、x(x€3)8、計(jì)算I=??xdydz€ydzdx€(z2-2z)dxdy,其中工：z=Jx2€y28、計(jì)算I=工3…分的外側(cè)?！踩橙ⅰ?分〕求f(x,y,z)=Inx€Iny€3lnz在條件x2€y2€z2=5r2,x>0,y>0,z>0下的最大值 〔x=y=z,z= 2lnr€31np3r〕四、〔7分〕設(shè)函數(shù)f(x)在+8)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為(a,b),終點(diǎn)為〔c,d〕，記I=TOC\o"1-5"\h\z?丄[1+y2f(xy)]dx曲線，其起點(diǎn)為(a,b),終點(diǎn)為〔c,d〕，記I=L〔1〕證明曲線積分I與路徑無(wú)關(guān)，bc—ad⑵當(dāng)ab=cd時(shí)，求I的值 〔bd高等數(shù)學(xué)試卷〔六〕一、填空題〔3X10=30分〕1、 z=lnjx2€y2的定義域?yàn)?。2、 已知a=i—4j,b=，2i—j€3k,a.b= o3、 函數(shù)z=ln(xyyx),則dz= 。4、 極限limtan()= o(x,y)