角平分線的性質(zhì)

11.3.1角平分線的性質(zhì)２.分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧．兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C；

如何用尺規(guī)作角的平分線？AＢＯＭＮＣ

作法：１.以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ；３.作射線OC,則射線OC即為所求（如圖）．

已知：∠AOB求作：∠AOB的平分線探究角平分線的性質(zhì)(1)實(shí)驗(yàn)：畫(huà)一個(gè)∠AOB,用尺規(guī)作出∠AOB的平分線OP，過(guò)P畫(huà)PD⊥OA，PE⊥OB問(wèn)題：①比較PD和PE的大小關(guān)系（量一量）。

PD=PE②再換一個(gè)新的位置看看情況會(huì)怎樣？(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等PAOBCED證明：∵OC平分∠AOB（已知）

∴∠1=∠2（角平分線的定義）

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）

∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.求證:PD=PE.(3)驗(yàn)證猜想角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.幾何語(yǔ)言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E∴PD=PE（角平分線的性質(zhì)）PAOBCED角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等幾何語(yǔ)言也可以寫(xiě)為：∵∠1=∠2PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E∴PD=PE（角平分線的性質(zhì)）12練習(xí)1、判斷正誤，并說(shuō)明理由：①如圖1，②如圖2，∵

P是∠AOB的平分線∵

PD⊥OA于D，OC上任意一點(diǎn)，PE⊥OB于E，∴

PD＝PE．∴

PD＝PE．

圖1

圖2練習(xí)2、填空：如圖，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為

cm．

E3證明：∵

AD平分∠CAB

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴

CD＝DE(角平分線的性質(zhì))

在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,

CD=DE（已證）

DF=DB（已知）

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ACDEBF例1.已知：如圖，△ABC中∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，求證：CF=EB。證明：∵

CD⊥AB，BE⊥AC，∠1＝∠2，∴

OE=OD（角平分線的性質(zhì)）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴

∠CEO=∠BDO=90o

在△EOC和△DOB中，

∠BOD＝∠EOCOE=OD∠CEO=∠BDO∴△EOC≌△DOB（ASA）∴OC=OB練習(xí)1.已知：如圖，∠1＝∠2，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD交于點(diǎn)O．

求證：OC=OB．2.在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。求證：∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°

BAEDFC

【變式】如圖：P為∠AOB的平分線上一點(diǎn)，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求OA+BO的值。D3、如圖，在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求證：PE=PFAPEFDCB4.如圖：在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，點(diǎn)E恰在AD上，EF⊥BC。(1)求證：CE⊥BE；(2)若∠D=90°，猜想CB、CD、AB之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。課堂小結(jié)1.尺規(guī)作圖：角平分線2.角平分線性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.3.幾何語(yǔ)言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分線的性質(zhì)）PA