線性代數(shù) 線代復(fù)習(xí)

矩陣1.矩陣的定義一些特殊的矩陣：零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)2.矩陣的基本運算矩陣相等:同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘：乘法滿足矩陣乘法不滿足：交換律、消去律線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)

A是n階方陣，

方陣的冪：方陣的多項式：并且（m,k為正整數(shù)）方陣的行列式：三種基本計算方法滿足:線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)解線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)轉(zhuǎn)置矩陣:一些特殊的矩陣:

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.滿足：對稱矩陣和反對稱矩陣：線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)伴隨矩陣：若若若線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)3.逆矩陣定義：A為n階方陣，若存在n階方陣,使得則稱矩陣A是可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣。唯一性：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.判定定理:n階方陣A可逆且推論：設(shè)A、B為同階方陣，若則A、B都可逆，且線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)滿足規(guī)律：逆矩陣求法：（1）伴隨矩陣法（2）推論法（3）初等變換法分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似．4.分塊矩陣線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)5.初等變換對換變換、倍乘變換、倍加變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．矩陣的等價：如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與矩陣B等價。記作初等矩陣：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.與矩陣的相似、合同相互比較定理：左乘變行，右乘變列線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)解矩陣方程的初等變換法(A、B可逆)矩陣方程解線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)Ⅰ、秩（A）：A的不等于0的子式的最高階數(shù)。Ⅱ、秩的基本關(guān)系式：Ⅲ、關(guān)于秩的重要結(jié)論：6、矩陣的秩線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)Ⅳ、秩的求法：1）初等變法：2）若P可逆，則4)當(dāng)時，5)有r階子式不為0所有r+1階子式全為0線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)例題2

設(shè)A、B

都是n

階方陣，則e線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)解線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)解：R(A)=2線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)例5解線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)一.向量組的線性相關(guān)性1.向量間的線性運算：加法、數(shù)乘。2.線性組合、線性表示(1)判斷向量可由向量組線性表示的常用方法方法1：向量組的線性相關(guān)性是否非零無要求

關(guān)鍵：存在某組使上式成立，線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)(2)在判斷或證明中，常用到的兩個重要結(jié)論結(jié)論1：向量可由向量組線性表示結(jié)論2：若向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式唯一。方法2：證下列非齊次線性方程組有解即：利用矩陣的初等行變換行最簡形矩陣線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)3.線性相關(guān)性的判別方法(1)一般方法：設(shè)數(shù)使得成立求系數(shù)是有非零解還是只有零解的問題。(2)利用向量組的秩判斷：設(shè)向量組的秩為當(dāng)時，線性相關(guān)；當(dāng)時，線性無關(guān)。(3)利用常用結(jié)論：1個零向量線性相關(guān)；一個非零向量線性無關(guān)。2個非零向量線性相關(guān)對應(yīng)分量成比例線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)4.最大無關(guān)組的選取或證明(1)初等變換法（最常用）將列向量組寫成矩陣初等行變換行階梯或行最簡形矩陣的一個極大無關(guān)組，例6：求向量組并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。n＋1個n維向量線性相關(guān)。部分相關(guān)整體相關(guān)；整體無關(guān)部分無關(guān)。短的無關(guān)，長的也無關(guān)；長的相關(guān)，短的也相關(guān)。線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)解：是一個極大無關(guān)組并且考慮：還有那些極大無關(guān)組？初等行變換線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)二.矩陣的秩、向量組的秩的求法初等變換后，看非零行的行數(shù)。三.關(guān)于向量組的秩、矩陣的秩的證明關(guān)于向量組的秩的兩個重要定理：（1）若向量組可以由向量組線性表示，則那么線性相關(guān)。(3)(三秩相等)

矩陣A的秩＝A的行秩＝A的列秩。（2）若向量組可以由向量組線性表示，并且線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)１．向量空間的概念：向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉；

由向量組生成的向量空間．２．子空間的概念．３．向量空間的基，維數(shù)和坐標(biāo)；求向量空間基和維數(shù)的方法（生成子空間）；求向量在給定基底下的坐標(biāo)。四.向量空間線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)五.正交化與正交矩陣1.正交化、單位化2.正交矩陣的n個列（行）向量組為單位正交向量組也是正交矩陣是正交矩陣，則也是正交矩陣線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)定理1

設(shè)有非齊次線性方程組(1)定理2

設(shè)有齊次線性方程組（2）設(shè)r(A)=r,則線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)定理1

設(shè)有齊次線性方程組（2）方程組的通解、基礎(chǔ)解系線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)定理2

設(shè)有非齊次線性方程組（1）線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)例7、

解1）是；2）線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)3）由（2）即得條件線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)1、特征值的求法2、特征向量的求法特征值和特征向量3、對角化看清要求的是可逆矩陣還是正交矩陣。方陣與對角矩陣相似的條件:充要條件:充分條件:①有n個不同特征值;或②A為實對稱矩陣線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)填空題１．已知三階方陣Ａ的三個特征值為１，－２，３．則|A|＝（），Ａ－１的特征值為（），ＡＴ的特征值為（），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值為（）．２．設(shè)Ａk=0，k是正整數(shù)，則Ａ的特征值為（）．

３．若Ａ２＝Ａ，則Ａ的特征值為（）．－６１，-1/2,1/3１，－２，３．4,1,1600,1線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)4．設(shè)A是3階方陣，已知方陣Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，則Ａ的特征值為（）．５．已知三階矩陣A的特征值為１，—１，２，則｜Ａ－５Ｅ｜＝（）。1,-1,3-72線性代數(shù)線代復(fù)習(xí)例8（1）求設(shè)相似于（1）由性質(zhì)（2）（2）解線性代數(shù)