浙江省紹興市東湖中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

浙江省紹興市東湖中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.若，，則(

)A、

B、

C、

D、 參考答案：D略3.已知復(fù)數(shù)、在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為、，則的虛部為（

）A．1

B．

C．-1

D．參考答案：A略4.矩形中,為的中點,為邊上一動點,則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．1參考答案：C5.已知函數(shù)f（x）=kx（≤x≤e2），與函數(shù)g（x）=（），若f（x）與g（x）的圖象上分別存在點M，N，使得MN關(guān)于直線y=x對稱，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣，e] B．[﹣，2e] C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【分析】求出g（x）的反函數(shù)h（x），則g（x）與f（x）的圖象在[，e2]上有交點，借助函數(shù)圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出k的范圍．【解答】解：g（x）=（）=（e）x關(guān)于直線y=x的對稱函數(shù)為h（x）=logx=﹣2lnx，則y=h（x）與y=f（x）=kx在[，e2]上有交點，作出y=h（x）與y=f（x）在[，e2]上的函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)y=k1x經(jīng)過點（，2），則k1=2e，設(shè)y=k2x與h（x）=﹣2lnx相切，切點為（x0，y0），則，解得x0=e，k2=﹣．∴≤k≤2e．故選B．6.已知雙曲線的右頂點到漸近線的距離等于虛軸長的則雙曲線的離心率是（

）A．

B．

C.

D．3參考答案：A由題意知，，漸近線方程為，則右頂點到漸近線的距離，即.故選A.7.設(shè)M（，）為拋物線C：上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是

(

）A．（0，2）

B．[0，2]

C．（2，+∞）

D．[2，+∞）參考答案：C由題意只要即可，而所以，簡單考查拋物線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、拋物線的定義及幾何性質(zhì)，是簡單題。

8.設(shè)A、B是非空集合，定義：且.已知，，則等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A，，，選A9.已知函數(shù)，則這個函數(shù)在點處的切線方程是A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知直線：，圓：.若對任意，存在被截得弦長為，則實數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C）

（D）參考答案：C【命題意圖】本小題主要考查直線與圓、點到直線的距離、解三角形等基礎(chǔ)知識；考查學(xué)生的抽象概括能力、運算求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、必然與或然思想；考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析等.【試題簡析】解法一：由題意可得，圓心到的距離，即，所以，又因為，所以，或.解法二：由題意可得，圓心到的距離，又：恒過定點，，所以，另設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以的斜率.【錯選原因】錯選A：在計算時，分子誤當(dāng)成1來計算；

錯選B：分離變量時，誤把寫成；

錯選D：把最后的計算成二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是

．參考答案：約束條件表示的平面區(qū)域為封閉的三角形，求出三角形的三個頂點坐標(biāo)分別為、、，帶入所得值分別為、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，當(dāng)直線經(jīng)過點時，截距取得最大值，此時取得最小值，為.12.在中，邊上的高為則AC+BC=____________.參考答案：略13.觀察下列各式：則___________.參考答案：123略14.若函數(shù)為奇函數(shù)，且在（0,+∞)上是增函數(shù)，又，則<0的解集為

.參考答案：（-2,0)∪(0,2)15.已知，，則=

▲

．參考答案：-7略16.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為．參考答案：．【分析】求出一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈，即可求出至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率．【解答】解：∵紅燈持續(xù)時間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，∴一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈，∴至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為=．故答案為．【點評】本題考查概率的計算，考查幾何概型，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．17.已知函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，定義如下：當(dāng)

時，；當(dāng)時，，則的最大值為__________．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知雙曲線﹣y2=1的焦點是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)動點M在橢圓C上，且|MN|=，記直線MN在y軸上的截距為m，求m的最大值．參考答案：【分析】（I）由題意求得橢圓的離心率，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）分類討論，當(dāng)斜率為0時，即可求得m的值，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式即可求得m的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求得m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵雙曲線﹣y2=1的焦點是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，∴a=，，=，∴c=，b=，∴橢圓C的方程為=1．（Ⅱ）當(dāng)直線MN的斜率為0時，由|MN|=，則M（，y），則y=，則直線MN在y軸上的截距為，當(dāng)直線MN的斜率不存時，與y軸無焦點，設(shè)MN為：y=kx+m，（k≠0）聯(lián)立，得（1+6k2）x2+12kmx+6m2﹣6=0，，，△=（12km）2﹣4（1+6k2）（6m2﹣6）＞0，△=144k2﹣24m2+24＞0，∴m2＜6k2+1，|MN|==，∴=，整理，得，∴＜6k2+1，整理得：36k4+12k2+1＞0，即6k2+1＞0，k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），則=，令k2+1=t，t＞1，則f（t）=﹣2t﹣+，t＞1，求導(dǎo)f′（t）=﹣2+，令f′（t）＞0，解得：1＜t＜，令f′（t）＜0，解得：t＞，則f（t）在（1，）單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減，∴當(dāng)t=時，f（t）取最大值，最大值為，∴m的最大值為，綜上可知：m的最大值為．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．19.為了對某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)A18B362C54（1）求.（2）若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自高校C的概率。參考答案：（1）由題意可得，所以（2）記從高校B抽取的2人為從高校C抽取的3人為則從高校抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有共10種.

設(shè)選中的2人都來自高校C的事件為則包含的基本事件有共3種，因此答：選中的2人都來自高校C的概率為.20.已知全集U=R，非空集合＜，＜.（1）當(dāng)時，求；（2）命題，命題，若q是p的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：略21.（本題滿分12分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）參考答案：解：設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”（i=1，2，…，13）．根據(jù)題意，，且…………2分（Ⅰ）設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則．∴…………4分）（Ⅱ）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且，∴X的分布列為：X012P

………………6分

故X的數(shù)學(xué)期望……8分（Ⅲ）從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大……12分

22.如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=1，，E是AD的中點，BE與AC交于點F，GF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：AF⊥面BEG；（Ⅱ）若AF=FG，求點E到平面ABG距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的判定．【分析】利用勾股定理證明AC⊥BE，然后證明AC⊥GF，即可證明AF⊥平面BEG．（2）設(shè)點E到平面ABG的距離為d，利用，求解即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴△AEF∽△CBF，∴…（1分）又∵矩形ABCD中，，∴在Rt△BEA中，∴，…（2分）在△ABF中，∴∠AFB=9