初中數(shù)學(xué)定義、定理(大全)

初中數(shù)學(xué)定義、定理(大全)

第一節(jié)數(shù)與代數(shù)一、實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩類，其中整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)，如π、√2等。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。二、數(shù)軸數(shù)軸是一條直線，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)。三、絕對值數(shù)a的絕對值表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，記作|a|。正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0。例如，|－3|=3，|3.14－π|=π－3.14。四、相反數(shù)符號不同、絕對值相等的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù)。a的相反數(shù)是－a，0的相反數(shù)是0。五、有效數(shù)字一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。例如，0.05972精確到0.001得0.060，結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6和0.6。六、科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)寫成a×10^n的形式（其中1≤a<10，n是整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。例如，407000=4.07×10^5，0.000043=4.3×10^-5。七、大小比較正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。八、數(shù)的乘方求相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫冪。九、平方根如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x^2=a，那么這個(gè)數(shù)a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；只有一個(gè)平方根，它是本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。十、開平方求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。十一、算術(shù)平方根如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x^2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，-a的算術(shù)平方根是無意義。十二、立方根如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x^3=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0。十三、開立方求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開立方。十四、平方根易錯(cuò)點(diǎn)（1）平方根與算術(shù)平方根不分，如64的平方根為8，易丟掉－8，而求為64的算術(shù)平方根；（2）-1的平方根是無意義，應(yīng)知道√(-1)=i。十五、二次根式二次根式是指形如a+b√c（其中a、b、c均為實(shí)數(shù)，c>0且不為完全平方數(shù)）的式子。二次根式是指被開方數(shù)為一次式或常數(shù)的根式。為了化簡二次根式，需要將被開方數(shù)中不能再開根的因數(shù)或因式提出來，并將剩余部分化為最簡二次根式。同類二次根式是指被開方數(shù)相同的多個(gè)二次根式，可以通過化簡合并為一個(gè)最簡二次根式。在進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算時(shí)，需要注意先化為最簡形式，合并同類項(xiàng)，避免化簡或合并出錯(cuò)。有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算也有相應(yīng)的規(guī)則和法則，需要掌握。代數(shù)式是由數(shù)和字母通過運(yùn)算符號連接而成的式子，同類項(xiàng)可以合并，形成整式。整式的乘法和除法需要遵循相應(yīng)的規(guī)則和性質(zhì)，如同底數(shù)冪的乘除法則。1.幾個(gè)單項(xiàng)式相乘除時(shí)，需要將系數(shù)與系數(shù)相乘除，同時(shí)將同底數(shù)的冪結(jié)合起來相乘除。2.當(dāng)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，需要用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一個(gè)項(xiàng)。3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，需要用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。4.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，需要將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)式。5.平方差公式表明兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方。6.完全平方公式表明兩數(shù)和（或差）的平方等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。3.分解因式是指把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，可以使用提公因式法或運(yùn)用公式法。4.分解因式的步驟是首先考慮是否有公因式，如果有公因式，先提取公團(tuán)式，然后再考慮是否能用公式法分解。6.在分解因式時(shí)，常見的思維誤區(qū)包括提公因式時(shí)應(yīng)找字母指數(shù)最低的，提取公因式時(shí)需要注意括號內(nèi)的項(xiàng)“1”易漏掉，以及分解不徹底的問題。4.分式是指整式A除以整式B得到的形式，若B≠0，則有意義，否則無意義，若A=0且B≠0，則結(jié)果為0。5.分式的基本性質(zhì)是分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。3.分式的約分是指把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去。4.分式的通分是指根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將異分母的分式化為同分母的分式。5.分式的加減法法則是同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算。6.分式的乘除法法則是兩個(gè)分式相乘，將分子相乘的積作為積的分子，將分母相乘的積作為積的分母；兩個(gè)分式相除，將除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。7.通分的注意事項(xiàng)包括確定最簡公分母，最簡公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有相同因式的最高次冪的積；易把通分與去分母混淆，需要注意不要把分式中的分母丟掉。8.分式的混合運(yùn)算順序?yàn)橄人愠朔?，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的。9.在化簡求值的題型中，要注意解題格式，先化簡，再進(jìn)行計(jì)算。一、一元一次方程1.方程是含有未知數(shù)的等式。2.一元一次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）系數(shù)不為0的方程。3.解一元一次方程的一般步驟及注意事項(xiàng)：二、二元一次方程（組）1.二元一次方程是含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。2.二元一次方程組是含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程。3.二元一次方程組的解是二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解。4.二元一次方程組的解法：（1）代人消元法：解方程組的基本思路是將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組的方法稱為代人消元法，簡稱代入法。（2）加減消元法：通過方程兩邊分別相加（減）消去其中一個(gè)未知數(shù)，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。三、分式方程1.分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程。2.解分式方程的步驟為：①去分母，化為整式方程；②解整式方程；③驗(yàn)根；④下結(jié)論。3.分式方程的增根問題：⑴增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根，即增根。⑵驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根。四、一元二次方程1.一元二次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為0的方程。2.一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一種以配方為手段，以開平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法。用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠）的一般步驟是：①化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；②移項(xiàng)，即使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；③配方，即將方程的左邊配成一個(gè)完全平方，右邊加上相應(yīng)的常數(shù)，使得方程兩邊相等；④開方，即對方程兩邊同時(shí)開方，得到兩個(gè)解。⑵公式法：一元二次方程的一般解法是公式法，即利用求根公式求解方程。對于一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠），其兩個(gè)解分別為：x1＝（-b＋√(b2-4ac)）/2a，x2＝（-b－√(b2-4ac)）/2a。⑶因式分解法：一元二次方程有時(shí)可以通過因式分解來求解。(1)定義：三角形內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；三角形外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。(2)內(nèi)心和外心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，且外心是三角形外接圓的圓心。(3)內(nèi)心和外心的判定：①三角形三條角平分線交于一點(diǎn)的三角形有內(nèi)心；②三角形三條邊垂直平分線交于一點(diǎn)的三角形有外心。2.圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，圓心角、弦和弧三者之間有如下關(guān)系：如果有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。垂徑定理指出，垂直于弦的直徑會平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。圓心角定理說明，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。圓心角與圓周角的關(guān)系是，同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的國心角的一半。圓內(nèi)接四邊形是指頂點(diǎn)都在國上的四邊形，對角互補(bǔ)。圓周角定理指出，直徑所對的圓周角是直角，反過來，的圓周角所對的弦是直徑。切線的判定定理說明，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理是指圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。切線長定理說明，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，這一點(diǎn)到兩切點(diǎn)的線段相等，它與圓心的連線平分兩切線的夾角。3.三角形的內(nèi)心和外心：三角形內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，且外心是三角形外接圓的圓心。判定內(nèi)心和外心的方法是，三角形三條角平分線交于一點(diǎn)的三角形有內(nèi)心，三角形三條邊垂直平分線交于一點(diǎn)的三角形有外心。1.圓的確定條件是由三個(gè)不在同一直線上的點(diǎn)確定一個(gè)圓。2.三角形的外心是由三個(gè)頂點(diǎn)確定的圓的圓心，該圓稱為三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)。3.三角形的內(nèi)心是由三條角平分線的交點(diǎn)確定的與三角形三邊都相切的圓的圓心，該圓稱為三角形的內(nèi)切圓。4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可分為點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓內(nèi)三種情況。若圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則點(diǎn)在圓外的條件為d＞r，點(diǎn)在圓上的條件為d=r，點(diǎn)在圓內(nèi)的條件為d＜r。5.直線和圓的位置關(guān)系有三種，即相交、相切和相離。設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓相交的條件為d＜r，直線與圓相切的條件為d=r，直線與圓相離的條件為d＞r。6.圓與圓的位置關(guān)系可分為兩圓外離、兩圓外切、兩圓相交、兩圓內(nèi)切和兩圓內(nèi)含五種情況。設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則兩圓外離的條件為d＞R+r，兩圓外切的條件為d=R＋r，兩圓相交的條件為R－r＜d＜R+r（R＞r），兩圓內(nèi)切的條件為d=R－r（R＞r），兩圓內(nèi)含的條件為d＜R—r（R＞r）。7.圓的相關(guān)計(jì)算公式包括弧長計(jì)算公式和扇形面積計(jì)算公式。其中，弧長計(jì)算公式為L=Rn，扇形面積計(jì)算公式為S=（1/2）R2n或S=R2πn/360。8.尺規(guī)作圖包括作一條線段等于已知線段、作一個(gè)角等于已知角、作已知角的平分線、作線段的垂直平分線、過一點(diǎn)作已知直線的垂線等基本作圖。9.視圖與投影包括主視圖、左視圖和俯視圖等三視圖畫法，以及平行投影和中心投影兩種投影方式。10.圖形的軸對稱性質(zhì)包括對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸平分，等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓均為軸對稱圖形。11.圖形的平移是指將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動一定的距離，平移不改變圖形的形狀和大小。和累計(jì)頻率分布曲線：頻率分布直方圖是用矩形表示每個(gè)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的頻數(shù)，橫軸表示數(shù)據(jù)范圍，縱軸表示頻數(shù)；累計(jì)頻率分布曲線是用連續(xù)的曲線表示每個(gè)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的累計(jì)頻率，橫軸表示數(shù)據(jù)范圍，縱軸表示累計(jì)頻率。5.統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等，用于描述數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度。二.概率1.基本概念：試驗(yàn)、樣本空間、事件、概率；2.概率的計(jì)算方法：古典概型、幾何概型、統(tǒng)計(jì)概型；3.概率的性質(zhì)：互補(bǔ)事件概率之和為1，事件的概率不小于0且不大于1；4.條件概率：在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率；5.乘法定理和加法定理：乘法定理用于計(jì)算多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，加法定理用于計(jì)算多個(gè)事件中至少發(fā)生一個(gè)的概率；6.獨(dú)立事件和互不獨(dú)立事件：獨(dú)立事件的發(fā)生不受其他事件的影響，互不獨(dú)立事件的發(fā)生受其他事件的影響；7.貝葉斯定理：在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率的修正公式。三.小結(jié)本篇文章介紹了數(shù)學(xué)中的三個(gè)重要分支之一——概率與統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)部分主要涵蓋了數(shù)據(jù)的收集、表示和統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的計(jì)算；概率部分主要涵蓋了概率的基本概念、計(jì)算方法、性質(zhì)、條件概率、乘法定理、加法定理、獨(dú)立事件和互不獨(dú)立事件以及貝葉斯定理。這些知識點(diǎn)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如市場調(diào)研、醫(yī)學(xué)診斷、風(fēng)險(xiǎn)評估等。除了明顯有問題的段落之外，文章還存在一些格式錯(cuò)誤，需要進(jìn)行修正。修正后的文章如下：把一組數(shù)分成若干個(gè)小組，組距等于最大值減去最小值除以組數(shù)（求組數(shù)時(shí)，用收尾法取整數(shù)）。這時(shí)，落在某小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做這組的頻數(shù)，每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)的比值叫做這一小組的頻率。因此，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1。在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率。平均數(shù)有兩個(gè)公式。①n個(gè)數(shù)的平均數(shù)為它們的和除以n。②如果在n個(gè)數(shù)中，有些數(shù)出現(xiàn)多次，并且它們的出現(xiàn)次數(shù)分別為a1，a2，……，ak，那么這時(shí)它們的平均數(shù)也可以表示為它們的總和除以n，其中，每個(gè)數(shù)ai的權(quán)重為它出現(xiàn)的次數(shù)。極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式分別為：(1)極差=最大值-最小值；(2)方差=各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；(3)標(biāo)準(zhǔn)差=方差的算術(shù)平方根。概率分為不可能事件、必然事件和隨機(jī)事件。不可能事件是不可能發(fā)生的事件，必然事件是一定會發(fā)生的事件，隨機(jī)事件是有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。對于等可能事件，如果事件A發(fā)生的可能性與其他事件發(fā)生的可能性相同，那么事件A發(fā)