超靜定結(jié)構(gòu)解法

超靜定結(jié)構(gòu)解法第1頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月能正確判定超靜定次數(shù)，恰當(dāng)?shù)剡x好求解的方法；了解矩陣位移法的解題過程及超靜定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。了解力法、位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的過程。目的：要求：超靜定結(jié)構(gòu)解法退出第2頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-1超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)的確定8-2力法和典型方程8-3對(duì)稱性的利用*8-4超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化和支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算8-5位移法的基本概念*8-7矩陣位移法8-6轉(zhuǎn)角位移方程解法8-8力矩分配法退出第3頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月8-1超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)的確定

超靜定結(jié)構(gòu)也叫靜不定結(jié)構(gòu)，是工程中常見的一類結(jié)構(gòu)。從結(jié)構(gòu)組成分析來講，就是有多余約束的幾何不變體。由于有多余約束存在，相應(yīng)地就有多余約束力，因此單靠靜力學(xué)平衡方程就不能確定所有未知力，故名靜不定。超靜定結(jié)構(gòu)解法求解超靜定問題的方法有多種，力法是最基本、也是歷史最悠久的一種。它是以多余約束力為未知數(shù)，列出變形補(bǔ)充方程求解后，其他未知力和變形等就可按靜定結(jié)構(gòu)來計(jì)算。所謂超靜定次數(shù)，就是多余約束的個(gè)數(shù)，它可從超靜定結(jié)構(gòu)中解除多余約束的個(gè)數(shù)來確定，即它等于將有多余約束的幾何不變體變?yōu)闊o多余約束的幾何不變體時(shí)所要解除的約束數(shù)。end第4頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法★而在體系內(nèi)去掉一個(gè)鉸，則相當(dāng)于解除2個(gè)約束；★切斷一根梁(桿)則相當(dāng)于解除3個(gè)約束?！?/p>

切斷一根鏈桿或在桿件內(nèi)添加一個(gè)鉸，相當(dāng)于解除1個(gè)約束；超靜定次數(shù)的多少就等于使超靜定結(jié)構(gòu)成為無多余約束的幾何不變體所要解除的約束數(shù)。(a)1次(c)1次(c)4次(e)1次(b)2次(i)4次(f)3次(h)9次(g)3次end第5頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-2力法和典型方程以一封閉剛架為例來說明其解法，并由此導(dǎo)得用力法求解超靜定問題的一個(gè)典型方程。今設(shè)在剛架中央截面C處截開，則得兩個(gè)半剛架的靜定基，超靜定次數(shù)為3，故加三對(duì)多余約束力X1，X2，X3以取代解除的約束作用；X1X1X2X2X3X3(b)PP(a)ACBend第6頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法然后再分別求出外荷載P及各未知內(nèi)力例如X1在解除約束處的相應(yīng)位移。由于是線彈性結(jié)構(gòu)，所以：式中分別是X1方向的單位荷載在X1，X2，X3方向所引起的位移，見圖(d)(d)(c)D

2PD

1PD

3P(e)(f)P同理也可求出其他內(nèi)力X2，X3在此三方向上所引起的位移。由于結(jié)構(gòu)在C處是連續(xù)的，因此，所有外荷載及各多余約束力在該處引起的相對(duì)變形應(yīng)為零。end第7頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法(8-1)其中——位移互等定理典型方程對(duì)于n次的超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)然也可以寫出類似的n個(gè)變形補(bǔ)充方程，可解出n個(gè)多余約束力。多余約束力解出后，問題就變成靜定的了，其他未知反力、內(nèi)力、位移等都可按靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算方式進(jìn)行計(jì)算。end第8頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法總結(jié)一下力法的解題步驟如下：(1)判斷結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)；(2)解除多余約束，代以相應(yīng)的多余約束力Xi，選好靜定基；

(5)用疊加法作出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖后，可進(jìn)行各種計(jì)算。以作彎矩圖為例，本題中的彎矩計(jì)算式可寫為：

(6)校核：對(duì)力法計(jì)算結(jié)果的校核，主要是看解算典型方程時(shí)是否有問題。因?yàn)閺睦碚撋现v，滿足超靜定結(jié)構(gòu)平衡方程的多余約束力可有無限多，但只有又滿足變形連續(xù)條件的那一組多余約束力，才是超靜定結(jié)構(gòu)中唯一的那組真實(shí)的力。所以在求得多余約束力后，再按計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)位移的方法，計(jì)算一下超靜定結(jié)構(gòu)的位移，看它是否滿足巳知的變形條件或連續(xù)性條件。如滿足，則結(jié)果正確。

(3)分別求出外荷載和多余約束力在靜定基的解除約束處和其約束相應(yīng)的位移；(4)將代入典型方程，求出多余約束力Xi；end第9頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法例8-1

圖示一對(duì)稱剛架，即平分剛架的左、右兩半部分，不但由軸線所構(gòu)成的幾何圖形是對(duì)稱的，而且所用材料、截面尺寸、支座條件也是相同的。設(shè)尺寸和受力如圖，桿的剛度為EI，試作其彎矩圖。X1X1X2X2X3X3(b)P(c)P(d)11ll(e)l/2l/2(f)11本題為剛架，用圖形互乘法求解較方便。作出外載和各單位荷載在靜定基上的內(nèi)力圖(c,d,e,f)，不難求得典型方程中各系數(shù)如下：PEI(a)ABCDllend第10頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法式中,d12=d21=0，d23=d32=0是由于M10和M30圖形對(duì)于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸來說是正對(duì)稱的(即圖形的左半繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)180o后，和右半的圖形完全重合)；而圖形M20則是反對(duì)稱的(即圖形的左半繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)180o后，和右半圖形的坐標(biāo)值大小相等而符號(hào)相反)。正、反對(duì)稱圖形互乘后，所得位移恒為零。將上述系數(shù)代入典型方程后得：end第11頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法(b)M0(c)1M0解之得：(a)ABCD根據(jù)作圖end第12頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月8-3對(duì)稱性的利用超靜定結(jié)構(gòu)解法由前節(jié)所舉的例中巳經(jīng)看到：當(dāng)結(jié)構(gòu)有對(duì)稱性時(shí)，則在對(duì)稱截面處切開，解除其多余約束，利用軸力和彎矩的正對(duì)稱性、剪力的反對(duì)稱性，可得知:d12=d21=0;d23=d32=0。這樣，原來的高階方程組可以分解為低階方程組。

反對(duì)稱荷載在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱截面處

(不引起正對(duì)稱的內(nèi)力)只引起反對(duì)稱性內(nèi)力。作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的荷載也有正、反對(duì)稱性時(shí)，典型方程也可簡化。正對(duì)稱荷載在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱截面處

(不引起反對(duì)稱的內(nèi)力)只引起正對(duì)稱的內(nèi)力；end第13頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法另外，一般說來，對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下(圖8-8a)，其反力、內(nèi)力、變形都是對(duì)稱的；而對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下(圖8-9a)，其反力、內(nèi)力、變形都是反對(duì)稱的。利用這個(gè)特點(diǎn)，我們對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算，還可以從計(jì)算簡圖上作出簡化，即只需取出結(jié)構(gòu)的一半來計(jì)算。P(a)PABC(b)ACAC(b)P(a)PABC(b)ACPP(a)ABCPend第14頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法P(a)PABC(b)ACPP(a)ABCPIIQC(b)ABI2I2QC(c)BI2Pend第15頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)受有不對(duì)稱荷載時(shí)，可將此不對(duì)稱荷載分解為正對(duì)稱和反對(duì)稱的兩組荷載，再利用上述方法分別取半結(jié)構(gòu)來計(jì)算以上節(jié)中所討論的剛架為例來說明：若按現(xiàn)在的方法計(jì)算，則要簡單些代入典型方程得(a)X2(b)MpPl/2(c)l/2l/2Mp0end第16頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法例8-2

求圖示半徑為R的超靜定拱中拉桿的拉力，巳知曲梁的剛度為EI及桿的剛度為EA。EIPEA(a)RP(c)11j(b)PP/2P/2jend第17頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法*8-4超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化和支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化和支座移動(dòng)時(shí)，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部不會(huì)引起內(nèi)力。但對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)，由于存在多余約束，結(jié)構(gòu)不能自由地變形，其內(nèi)部就要引起內(nèi)力。1.溫度變化時(shí)的內(nèi)力計(jì)算圖示剛架為2次超靜定結(jié)構(gòu)，外側(cè)溫度為t1，內(nèi)側(cè)溫度為t2。t2t1(a)X1X2(b)式中Δ1t，Δ2t

分別表示靜定基在溫度變化時(shí)在X1，X2方向的相應(yīng)位移，它們由上章的(7-28b)公式計(jì)算如下：(i=1，2)方程中的其他系數(shù)dij的計(jì)算仍和以前的相同，它們是和溫度變化無關(guān)的。end第18頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法例8-3

圖(a)

所示的剛架，當(dāng)外側(cè)溫度為20℃，內(nèi)側(cè)溫度為30℃

時(shí)，試作其彎矩圖。巳知截面對(duì)稱于形心軸，截面高度h=l/10，EI、EA均為常數(shù)，材料的線膨脹系數(shù)為a。X1(b)1(c)N0ll(d)M0(e)Mll(a)ACBend第19頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法2.支座位移時(shí)的內(nèi)力計(jì)算(a)lABjAX1X2(b)(e)1(d)l1(c)1圖示一等截面兩端固定梁。設(shè)固定端A有一順時(shí)針轉(zhuǎn)角j，求支座反力，并作彎矩圖。end第20頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法(a)ABX1’X2’(e)1(c)1如果上題取靜定基如圖(b)jAD1CD2C1(d)l所得結(jié)果可以看出：超靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的內(nèi)力也是和桿件剛度的絕對(duì)值有關(guān)的。end第21頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法當(dāng)單跨超靜定梁受到各種荷載及支座位移的共同作用時(shí)，其桿端力可根據(jù)疊加原理，由表8-1中相應(yīng)的桿端力疊加而得。如對(duì)于圖示兩端固定的等截面梁，其桿端彎矩和剪力(或?qū)懗删仃囆问?為：ABPq(a)DABjAbABjBend第22頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法對(duì)于圖所示的A端固定、B端鉸支的等截面梁，其桿端力為：ABPq(a)A’B’DABjAbAB(b)end第23頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法對(duì)于一端固定、一端定向支承的等截面梁，如圖所示，其桿端彎矩為：ABPq上述公式習(xí)慣上常稱為等截面桿的轉(zhuǎn)角位移方程。它表達(dá)了桿件兩端內(nèi)力與所受荷載及兩端位移間的關(guān)系。上述公式中的比DAB/l

又可寫成：bAB=DAB/l

——桿AB的弦轉(zhuǎn)角。公式中jA、jB的符號(hào)都以順時(shí)針轉(zhuǎn)向的為正，而DAB則以使整個(gè)桿順時(shí)針轉(zhuǎn)向的為正，即弦轉(zhuǎn)角也以順時(shí)針轉(zhuǎn)向的為正。end第24頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月P(a)ADCBDDjBjBjCjC超靜定結(jié)構(gòu)解法上面轉(zhuǎn)角位移方程是在單跨超靜定梁中導(dǎo)出。對(duì)于剛架，同樣適用。圖(a)可以離散化為(b)、(c)、(d)

。QBAABDjBMBAQABMAB(b)jBjCQCBMCBQBCMBC(c)DCDjCQCDMCDQDC(d)若已知節(jié)點(diǎn)位移jB，jC和

D，則可由轉(zhuǎn)角位移方程求得桿端力，進(jìn)而求得任一截面的內(nèi)力。end第25頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-5位移法的基本概念這種以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移為未知量求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法稱為位移法。由于在一定的外因作用下，結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移間恒有一定的關(guān)系存在。因此—般說來，我們也可用結(jié)構(gòu)的某些位移作為基本未知量，首先求出它們，然后再由內(nèi)力—位移關(guān)系式求得內(nèi)力，再算其他力學(xué)量。jjjPPACBCjBPCBADDjBend第26頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法②結(jié)構(gòu)的獨(dú)立的線位移數(shù)，即是使和結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的鏈桿結(jié)構(gòu)變?yōu)闊o多余約束的幾何不變體時(shí)，所需添加的鏈桿數(shù)。決定結(jié)構(gòu)變形狀況的結(jié)點(diǎn)位移不外是角位移和線位移兩種。①結(jié)構(gòu)獨(dú)立的角位移數(shù)，可明顯看出即為結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點(diǎn)數(shù)；用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，首先需要確定結(jié)構(gòu)的未知的位移數(shù)?？紤]到支座處的位移條件及一般工程結(jié)構(gòu)計(jì)算中常忽略桿的軸向變形而認(rèn)為桿長不變的條件，此時(shí)決定結(jié)構(gòu)變形狀況的位移數(shù)稱獨(dú)立位移數(shù)。ACDBEFG(a)ACDBEFG(b)ACDBEFG(c)end第27頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-6轉(zhuǎn)角位移方程解法在不計(jì)桿的軸向變形的情況下，該結(jié)構(gòu)只有B結(jié)點(diǎn)處的一個(gè)獨(dú)立角位移設(shè)為Z1，方向和m同。寫出剛架在此種變形情況下各桿的桿端力如下：位移法解超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路是：首先將結(jié)構(gòu)離散為如表8-1中的三種單跨超靜定梁，并使其在載荷及所設(shè)定的位移下變形，由此可寫出各桿端的桿端力表達(dá)式(即轉(zhuǎn)角位移方程)，然后再將變形后各桿，按支座條件及變形連續(xù)條件拼裝起來，組成或恢復(fù)為原結(jié)構(gòu)，最后由各結(jié)點(diǎn)處的內(nèi)力(其大小等于各桿端的桿端力)和外力的平衡條件，即可求得所設(shè)的未知位移。end第28頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法對(duì)(1)桿：對(duì)(2)桿：ll(a)ACB123(2)(1)mmB(b)(c)end第29頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法m2123(2)(1)Z1Z1M3由結(jié)點(diǎn)2的平衡條件如圖所示可得：即得在以后的矩陣位移法和電算法中，常限定剛架中各桿均為兩端固定的梁，這樣，單元類型統(tǒng)一，轉(zhuǎn)角位移方程只有一種，編寫程序簡單。當(dāng)然，在剛架的原鉸結(jié)點(diǎn)(包括鉸支座)處應(yīng)增加相應(yīng)的角位移作為未知量來求解。end第30頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法m2123(2)(1)Z1Z1M3按此求解本題時(shí)，就要取兩個(gè)角位移Z1,Z2為未知量，列出各桿的桿端力表達(dá)式(a)和結(jié)點(diǎn)的平衡方程(b)(b)(a)代入解得和前一樣的結(jié)果：而Z2依賴于Z1，故它是不獨(dú)立角位移。end第31頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法例8-4

試用轉(zhuǎn)角位移方程法求解圖(a)所示超靜定剛架，巳知各桿的線剛度均為i=EI/l。AP(a)CBll/2l/2EIQ21(c)C2(d)EIM23M121(b)32Z1Z2(2)(1)對(duì)桿(1)對(duì)桿(2)再由結(jié)點(diǎn)2和(2)桿的平衡條件(圖中內(nèi)力均設(shè)為正)得到位移法方程如下：解得：end第32頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法*8-7-1矩陣位移法概念上節(jié)計(jì)算中實(shí)際上巳包括了這兩大步驟，只是沒明說，今再詳述如下。矩陣位移法的基本計(jì)算步驟是單元分析和整體分析。矩陣位移法解題時(shí)，首先要將結(jié)構(gòu)(如圖8-29中的剛架)離散為兩端固定的桿的單元，并對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)加予編號(hào)，如圖中的(1)、(2)單元和1、2、3結(jié)點(diǎn)。對(duì)每個(gè)單元都規(guī)定其局部坐標(biāo)，如圖14-8a中的i、j分別表示其局部坐標(biāo)的始點(diǎn)和終點(diǎn)j。i、j也稱該單元結(jié)點(diǎn)的局部碼。*8-7矩陣位移法另外，對(duì)結(jié)構(gòu)的未知位移也進(jìn)行編號(hào)，如8-29b中的Z1、Z2，相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載P也給予同樣的編號(hào)，如上節(jié)圖8-27中的P1=m，P2=0。此處對(duì)結(jié)構(gòu)未知位移的編號(hào)1、2即稱為結(jié)構(gòu)的整體碼，它是相對(duì)于結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)x、y而言的(圖8-29b)。進(jìn)行了上述編號(hào)和命名后，我們來寫出單元分析和整體分析的結(jié)果。end第33頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法(1)單元分析。所謂單元分析，即要寫出各單元當(dāng)桿端發(fā)生位移時(shí)桿端力和桿端位移的關(guān)系式，如上節(jié)中各桿的轉(zhuǎn)角位移方程，若將此方程用矩陣來表達(dá)則為：1(a)32(2)(1)ijij局部碼(b)y整體碼P1Z1P2Z2x或簡寫為：F(1)

=K(1)d(1)

(a2)

F(2)=K(2)d(2)

(b2)F(1)=［Mi(1)Mj(1)]T，F(xiàn)(2)=[Mi(2)Mj(2)]T

分別稱為單元(1)和(2)的桿端力列向量d(1)=［φi(1)φj(1)]T

，δ(2)=[φi(2)φj(2)]T

分別稱為單元(1)和(2)的桿端位移列向量其中分別稱為單元(1)和單元(2)的單元?jiǎng)偠染仃噀nd第34頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法由上可以看出，不管是桿(1)還是桿(2)，其單元?jiǎng)偠染仃嚨男问蕉际且粯拥?，即它們只和桿件的結(jié)構(gòu)形式和桿件的剛度有關(guān)，和外荷載無關(guān)。把它們寫成一般形式即是：(8-9)end第35頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法(2)整體分析。所謂整體分析，即要找到作為結(jié)構(gòu)整體的結(jié)點(diǎn)荷載和結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系，即如上節(jié)中的(c)式，把它寫成矩陣的形式即為：KZ=P式中：Z=［Z1Z2］T稱為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量；

P=［P1P2］T=[m0]T稱為和結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載列向量——該結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣或結(jié)構(gòu)剛度矩陣對(duì)于2個(gè)未知位移的結(jié)構(gòu)，它是二階矩陣，其一般形式為：它也只和結(jié)構(gòu)的形式及桿的剛度有關(guān)，而和荷載無關(guān)，表達(dá)的是結(jié)構(gòu)固有的剛度特性。end第36頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法“換碼”和“對(duì)號(hào)入座”——就是將各單元桿端位移的局部碼用對(duì)應(yīng)的整體碼來代替。結(jié)構(gòu)剛度矩陣也可直接由各單元?jiǎng)偠染仃囃ㄟ^“換碼”和“對(duì)號(hào)入座”等—系列程式化的手續(xù)而得到。通過換碼，保證了變形連續(xù)條件、支座條件的滿足。對(duì)應(yīng)于上述換碼過程，可在各單元?jiǎng)偠染仃嚨纳戏胶陀曳椒謩e以相應(yīng)的整體碼標(biāo)記之。如將其寫成列向量，稱單元的定位向量并用l(e)

表示，則前述兩單元的定位向量分別為：l(1)

=[01]T，l(2)

=[12]T“換碼”所謂單元的定位向量l，是指用該單元兩端的位移分量所對(duì)應(yīng)的整體碼按順序排列所形成的列向量。end第37頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法“對(duì)號(hào)入座”——將同一位置上的各元素疊加后即得所求的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。對(duì)本題來說，結(jié)構(gòu)剛度矩陣即為：end第38頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月這種由單元?jiǎng)偠染仃囃ㄟ^上述集成方式而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣的方法稱剛度集成法。由于用此法集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣之前，巳對(duì)結(jié)構(gòu)的位移邊界條件作了處理(如使本題中的各結(jié)點(diǎn)的線位移為零和固定端處的轉(zhuǎn)角為零，從而使結(jié)構(gòu)的位移邊界條件得到了滿足)，故此法又稱為先處理法。有了結(jié)構(gòu)剛度矩陣，使之和結(jié)點(diǎn)位移列向量相乘并使之和荷載列向量相等(滿足了平衡條件)，就得到了求解結(jié)點(diǎn)位移的方程：

KZ=P(8-11)求解此類方程組即得所求的結(jié)點(diǎn)位移：

Z=K-1P(8-12)結(jié)點(diǎn)位移解出后,將其代入各單元的轉(zhuǎn)角位移方程,即得各單元的桿端彎矩，再由平衡條件或公式不難得出各單元的其他內(nèi)力如桿端剪力和軸力等。超靜定結(jié)構(gòu)解法end第39頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例8-5求連續(xù)梁在結(jié)點(diǎn)荷載作用下各桿的桿端彎矩i1i2i3m1m2m3(a)1342z1z2z3(1)(2)(3)xy(b)(c)（1）將結(jié)構(gòu)離散為單元(1)、(2)、(3)，設(shè)定各結(jié)點(diǎn)編碼(局部碼)1、2、3、4，各單元的局部坐標(biāo)方向如圖（2）本結(jié)構(gòu)無結(jié)點(diǎn)線位移，只有3個(gè)角位移，設(shè)各未知位移的編碼(整體碼)為1、2、3，則其位移列向量為Z=[Z1Z2Z3]T，角位移以順時(shí)針方向?yàn)檎o定結(jié)構(gòu)解法end第40頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月i1i2i3m1m2m3(a)1342z1z2z3(1)(2)(3)xy(b)(c)（3）對(duì)應(yīng)于上述未知位移的結(jié)點(diǎn)荷載列向量為：P=[m1m2m3]T（4）列出各單元?jiǎng)偠染仃嚕凑論Q碼時(shí)的要求，寫出其在整體剛度矩陣中的行碼和列碼于其右側(cè)和上側(cè)。對(duì)本題來說，λ(1)=［01］T，λ(2)=［12］T，λ(3)=［23］T這樣，各單元?jiǎng)偠染仃囋谡w剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置就確定超靜定結(jié)構(gòu)解法end第41頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月i1i2i3m1m2m3(a)1342z1z2z3(1)(2)(3)xy(b)(c)（5）由剛度集成法得整體剛度矩陣如下：（6）列出結(jié)點(diǎn)位移—結(jié)點(diǎn)荷載方程：超靜定結(jié)構(gòu)解法end第42頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法（7）解出Z=［Z1Z2Z3]T

后，代入各桿的單元?jiǎng)偠染仃?，可得各單元的桿端彎矩分別為：i1i2i3m1m2m3(a)1342z1z2z3(1)(2)(3)xy(b)(c)當(dāng)i1=i2=i3

；時(shí)，則可作出連續(xù)梁的彎矩圖如圖(c)。end第43頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-7-2非結(jié)點(diǎn)荷載的處理矩陣位移法的控制方程是結(jié)點(diǎn)的內(nèi)力和結(jié)點(diǎn)荷載的平衡方程。對(duì)實(shí)際上常有的非結(jié)點(diǎn)荷載就要將它變換為相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載。變換原則是：結(jié)構(gòu)在變換后的結(jié)點(diǎn)荷載作用下的結(jié)點(diǎn)位移應(yīng)與原荷載作用下的結(jié)點(diǎn)位移相同。所以這種相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載稱為等效結(jié)點(diǎn)荷載。l1ABCPl2l2(a)qyABCP(b)q(1)x(2)ABC(c)PxPymBend第44頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法為了得到所示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載，可分兩步考慮(如以上列剛架為例)：(1)先設(shè)想將結(jié)點(diǎn)B用約束完全固定，由此算出作用在此附加約束上的反力R，它應(yīng)該等于結(jié)點(diǎn)處各桿端力F和桿端力矩M

的代數(shù)和：l1AFB(1)qMB(1)BaPl2/2MB(2)P/2l2/2P/2amBP/2RByql1/2ql12/2RBxend第45頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法(2)由于結(jié)點(diǎn)B實(shí)際上是有位移的，為了恢復(fù)上述約束結(jié)構(gòu)B點(diǎn)處的位移，只須在上述約束結(jié)構(gòu)B點(diǎn)處附加上述約束反力的負(fù)值即可。所以，所謂等效結(jié)點(diǎn)荷載P實(shí)際就是約束結(jié)構(gòu)在該結(jié)點(diǎn)處各單元桿端力和桿端力矩代數(shù)和的負(fù)值。(F，R和P的正負(fù)以整體坐標(biāo)為準(zhǔn))。l1AFB(1)qMB(1)BaPl2/2MB(2)P/2l2/2P/2amBP/2RByql1/2ql12/2RBxend第46頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法如以數(shù)字代入，可得此題的等效結(jié)點(diǎn)荷載如圖所示，其值為：end第47頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-7-3考慮桿的軸向位移時(shí)的單元?jiǎng)偠染仃囋O(shè)取單元局部坐標(biāo)沿桿軸向，為其橫向，采用右手坐標(biāo)系。桿端力和桿端位移的正向按坐標(biāo)系規(guī)定如圖所示：MiQiNiMjQjNjijuivixyend第48頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法end第49頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法為求得所示單元的單元?jiǎng)偠染仃?，可用疊加法，即先分別求出一種桿端位移所引起的桿端力，后再疊加即得所求。各種桿端位移下的桿端力如圖所示，疊加后得：end第50頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法end第51頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法簡化形式則為：其中即該單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕恰獋€(gè)對(duì)稱矩陣，即：(8-14c)(8-15)end第52頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法反力互等定理end第53頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法end第54頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-7-4桿的單元?jiǎng)偠染仃嚨囊话阈问?---坐標(biāo)變換由于結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)荷載間的方程KZ=P是建立在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系或整體坐標(biāo)系上的，所以為了便于說明結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)平衡條件和變形連續(xù)條件，有必要將各單元在局部坐標(biāo)中的各力學(xué)量都統(tǒng)一地轉(zhuǎn)變到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)中去。end第55頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法設(shè)單元在局部坐標(biāo)中的桿端力列向量是而在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)中，該桿端力列向量將表達(dá)成：設(shè)從軸轉(zhuǎn)到軸的夾角a順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎伸o力等效變換得end第56頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法坐標(biāo)變換矩陣end第57頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法注意到

T

中任一行(或列)的各元素的平方和等于1、且任兩行(或兩列)對(duì)應(yīng)元素相乘的代數(shù)和為零，故T

為正交矩陣。因此有：一樣，桿端位移間也有相同的關(guān)系和將此兩式代入得：上式兩邊前乘以T-1，得：結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃噀nd第58頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法求解整體坐標(biāo)系中的F(e)=K(e)d

(e)

后，捋F(e)

代入F

(e)=TF

(e)

，即得在單元坐標(biāo)中具有物理意義的桿端力F

(e)

end第59頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法8-7-5用剛度集成法解平面剛架下面通過平面剛架的求解來總結(jié)—下矩陣位移法求解超靜定問題的一般步驟：

(1)劃分單元并對(duì)結(jié)點(diǎn)和單元編碼：選取結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系和單元坐標(biāo)系，確定單元的始端和終端，分別標(biāo)以局部碼

i和j，同時(shí)對(duì)未知的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移和相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載進(jìn)行編碼，標(biāo)以整體碼如1、2、3等；

(2)按照整體碼的順序列出未知獨(dú)立位移列向量Z和相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載列向量P(包括非結(jié)點(diǎn)荷載的處理)：

(3)按公式(8-25)求出各單元在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，按變形連續(xù)條件和邊界位移條件，寫出各單元的定位向量l(e)，表出其元素在結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的位置，進(jìn)行“換碼”；end第60頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法

(4)按“對(duì)號(hào)入座”的辦法將各單元中的相應(yīng)元素填到結(jié)構(gòu)剛度矩陣的相應(yīng)位置上去，并進(jìn)行疊加，即得結(jié)構(gòu)剛度矩陣K；

(5)按Z=K-1P求解未知獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移Z；

(6)將結(jié)點(diǎn)位移Z

改用相應(yīng)的桿端位移表示后，按(8-24)式，計(jì)算在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的桿端力，再按(8-19)式計(jì)算在單元坐標(biāo)系中的桿端力。當(dāng)單元內(nèi)有非結(jié)點(diǎn)荷載時(shí)，還需疊加上由此非結(jié)點(diǎn)荷載在桿端引起的固端力才得桿端的實(shí)際的桿端力，即：再轉(zhuǎn)換為單元的局部坐標(biāo)系中的桿端力也可將非結(jié)點(diǎn)荷載在桿端引起的固端力計(jì)入結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的桿端力中，即：end第61頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月超靜定結(jié)構(gòu)解法例8-6

計(jì)算圖示剛架的內(nèi)力，設(shè)各桿的彈性模量和截面尺寸相同。不考慮軸向變形的影響。(a)6m2kN/m6m(b)2(2)Z131Z3Z24(1)