第10章高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件

1．解釋原函數(shù)、不定積分、定積分的概念2．掌握不定積分的運(yùn)算法則、熟悉基本積分公式、列出定積分的性質(zhì)、概述微積分基本公式3．說出計(jì)算不定積分的換元積分法和分部積分法、寫出定積分換元積分公式及分部積分公式.能用這兩個(gè)公式計(jì)算定積分。4．能運(yùn)用定積分理論解決實(shí)際問題5．簡述廣義積分收斂與發(fā)散的概念

第十章一元函數(shù)積分學(xué)

2020/10/161第一節(jié)不定積分

一、不定積分的概念

1、原函數(shù)與不定積分的概念

定義1如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對(duì)任一x∈I，都有=f(x)或

dF(x)=f(x)dx那末函數(shù)F(x)就稱為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是惟一的。

2020/10/162定義2

如果在區(qū)間I上函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則稱的全體原函數(shù)為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為其中記號(hào)稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，任意常數(shù)C稱為積分常數(shù)。由此定義及前面的說明可知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么F(x)+C就是f(x)的不定積分，即

因而不定積分可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。

2020/10/163

2．不定積分的性質(zhì)

2020/10/164二、不定積分的基本公式與運(yùn)算法則1．不定積分的基本公式(k是常數(shù))

（μ≠－1）

2020/10/1652020/10/1662020/10/1672020/10/1682．不定積分的運(yùn)算法則：（1）、兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

（2）、求不定積分時(shí),被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來,即(k是常數(shù),k≠0)2020/10/169第二節(jié)

不定積分的計(jì)算

一、換元積分法

1．兩類換元法

把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來求不定積分,利用中間變量的代換,得到復(fù)合函數(shù)的積分法,稱為換元積分法,簡稱換元法.換元法通常分成兩類.2020/10/1610（1）第一類換元法（湊微分法）定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù),u=(x)可導(dǎo),則有換元公式2020/10/1611（2）第二類換元法

定理2設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且≠0.又設(shè)f[]具有原函數(shù)，則有換元公式其中是x=的反函數(shù).第二類換元法應(yīng)滿足的條件：應(yīng)當(dāng)注意，使用第二換元法時(shí)，應(yīng)滿足以下條件：（1）可導(dǎo)，連續(xù)且；（2）存在反函數(shù)。

2020/10/1612二、分部積分法

設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，

2020/10/1613三、有理函數(shù)積分簡介

有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，即具有如下形式的函數(shù)：

一般的，有理真分式的不定積分可按下列三個(gè)步驟進(jìn)行：

2020/10/1614（1）將在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解為一次因式與二次因式的乘積，其中，為正整數(shù)。

2020/10/1615（2）根據(jù)的分解結(jié)果，將所給有理分式拆成若干個(gè)部分分式之和（這里所指部分分式是分母為一次或二次質(zhì)因式的正整數(shù)次冪），具體做法是：若分母中含有因式，則分解后含有下列k個(gè)部分分式之和：；若分母中含有因式，則分解后含有下列個(gè)部分分式之和：

其中上面兩式中的

均為待定常數(shù)，可通過待定系數(shù)法求得。

2020/10/1616（3）求出各部分分式的原函數(shù)。

2020/10/1617第三節(jié)定積分

一、定積分的概念

1．求曲邊梯形的面積具體步驟如下：(1)分割(2)近似代替(3)取極限

2020/10/16182．定積分的概念

其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間。

2020/10/1619為了以后在計(jì)算上方便，作以下兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定(1)定積分上下限互換時(shí)，定積分變號(hào)，即(2)

2020/10/16203．定積分的幾何意義

定積分表示由曲線，直線，及OX軸所圍圖形各部分面積的代數(shù)和．

2020/10/1621二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即（為常數(shù)）性質(zhì)2兩個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和，即

2020/10/1622性質(zhì)3

如果，那么性質(zhì)4

如果在區(qū)間上，恒有，那么

2020/10/1623性質(zhì)5

如果在區(qū)間上有，那么特別地，，則有2020/10/1624性質(zhì)6

如果函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，那么

性質(zhì)7

（積分中值定理）

如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在此區(qū)間上至少有一點(diǎn)，使得

成立．

2020/10/162510-4定積分的計(jì)算

一、微積分基本公式定義設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，x為上任意一點(diǎn)，則由所定義的函數(shù)稱為積分上限函數(shù)。

2020/10/1626定理1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),那么積分上限函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).即2020/10/1627定理2

如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么

此公式叫做牛頓—萊布尼茲（Newton—Leibniz）公式

2020/10/1628二、定積分的換元積分法

定理3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，令，如果(1)在區(qū)間上是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單值函數(shù)；(2)當(dāng)t在區(qū)間上變化時(shí)，x在區(qū)間上變化，且，那么有換元積分公式

2020/10/1629三、定積分的分部積分法

定理4設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則2020/10/1630四、數(shù)值積分法

所謂數(shù)值積分法就是利用被積函數(shù)在一些點(diǎn)的函數(shù)值來近似計(jì)算定積分的方法。數(shù)值積分法有兩種。1．梯形法2．拋物線法

2020/10/1631第五節(jié)定積分的應(yīng)用

一、定積分的元素法在定積分的定義中，我們先把整體量進(jìn)行分割，然后在局部范圍內(nèi)“以直代曲”，求出整體量在局部范圍內(nèi)的近似值；再把所有這些近似值加起來，得到整體量的近似值，最后當(dāng)分割無限加密時(shí)取極限得定積分（即整體量）。

2020/10/1632二、平面圖形的面積

2020/10/1633三、旋轉(zhuǎn)體的體積由曲線和直線及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V

2020/10/1634四、

醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用

1.基礎(chǔ)代謝

2.藥物的有效度

2020/10/1635五、物理上的應(yīng)用

1．功

2．液體的靜壓力

2020/10/1636六、平均值連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的平均值,等于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分除以區(qū)間[a,b]的長度b-a,即

2020/10/1637第六節(jié)廣義積分

一、廣義積分的概念

定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞]上連續(xù)，取b>a，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+

∞]上的廣義積分，記作，即=這時(shí)也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分發(fā)散。

2020/10/1638二、無界函數(shù)的廣義積分定義2設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分，仍然記作，這時(shí)也稱廣義積分收斂，否則就稱廣義積分發(fā)散。其中a稱為瑕點(diǎn)，此積分也稱為瑕積分。2020/10/1639二、概率

1．頻率

我們研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅需要分析它在一定條件下可能發(fā)生哪些事件，更重要的是進(jìn)一步分析各種事件發(fā)生的可能性的大小，揭示發(fā)生這些事件的內(nèi)在規(guī)律，即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，為我們的日常生活和工作實(shí)際服務(wù)。定義1

若在重復(fù)n次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生nA次，我們把比率叫做事件A的頻率。記作fn（A）。即

2020/10/1640醫(yī)藥工作中通常說的發(fā)病率、病死率、出生率、有效率、治愈率等都是頻率。顯然，頻率具有三個(gè)性質(zhì)：對(duì)任一事件A，有0≤≤1；必然事件的頻率總等于1，記

=1；不可能事件的頻率總等于0，記

=0。

2020/10/16412．概率

定義2在同一組條件下所作的大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率總是在一個(gè)確定的常數(shù)p附近擺動(dòng)，并且逐漸穩(wěn)定于p，那么數(shù)p就表示事件發(fā)生的可能性大小，并稱它為事件A的概率，記作P（A），即

2020/10/1642例3用某種藥物對(duì)患有流感的600個(gè)病人進(jìn)行治病，結(jié)果538人有明顯療效，現(xiàn)有某流感病人欲服此藥，你對(duì)其效果作何估計(jì)？因?yàn)橛忻黠@療效的頻率是，我們近似地把它看成概率，所以，某流感病人若服此藥其明顯療效約有89.7%的可能性。

2020/10/16433．概率的性質(zhì)性質(zhì)1事件的概率滿足0≤P（A）≤1．性質(zhì)2必然事件的概率是1，即P（）=1；性質(zhì)3不可能事件的概率是0，即P（）=0．

2020/10/1644第二節(jié)概率的古典定義

定義在古典概型中，如果基本事件的總數(shù)為n，事件A包含有其中的m個(gè)基本事件,稱為事件A的概率，記為P（A）＝2020/10/1645這個(gè)定義只適用于古典概型，所以稱為概率的古典定義，定義本身給出了概率的求法，但n和m的計(jì)算要用到排列和組合的知識(shí)。例一個(gè)籠子內(nèi)有小白鼠5只，灰鼠3只，現(xiàn)要從中任取2只去做實(shí)驗(yàn)，求恰好取到1只白鼠，1只灰鼠的概率。解假設(shè)每只鼠被取到的可能性都是相等的，那么現(xiàn)從8只鼠中任取2只，共有種等可能的結(jié)果。設(shè)任取2只，恰好取到1只白鼠，1只灰鼠為事件A，那么事件A包含的基本事件共有種。

所以事件A的概率P（A）＝＝≈0.54

2020/10/1646第三節(jié)概率的加法公式

一、事件的并及互不相容事件1．事件的并

定義1在一次試驗(yàn)中事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為事件A與事件B的并（或和），記作A∪B或A＋B。2．互不相容事件（也叫互斥事件）定義2在一次試驗(yàn)中，若事件A、B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A、B為互不相容事件。

2020/10/1647為容易理解，我們用圖7－2來表示互不相容性，若A、B為互不相容事件，則事件A、B沒有相同的基本事件，在圖中表現(xiàn)為事件A，B沒有公共部分

一般地，在一次試驗(yàn)中，如果n個(gè)事件A1，A2，…，An的任何兩個(gè)事件都不能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A1，A2，…，An為兩兩互不相容事件。

圖7-2

2020/10/1648二、互不相容事件的概率的加法公式

一般地，如果事件A1，A2，…，兩兩互不相容，則有P（）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）上述兩個(gè)公式稱為互不相容事件的概率加法公式。

2020/10/1649例一個(gè)口袋中有紅球4只，白球7只，黑球6只，黃球5只，從中任取一只，求取出的一只是紅球或白球的概率。解設(shè)任意取出一只球是紅球?yàn)槭录嗀，任意取出一只是白球?yàn)槭录﨎，則A∪B表示取出的一只是紅球或白球的事件?？诖泄灿星?＋7＋6＋5＝22只，而紅球?yàn)?只，白球?yàn)?只，所以P（A）＝P（B）＝根據(jù)題意，事件A、B為互不相容事件，因此P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝2020/10/1650定義3在一次試驗(yàn)中，如果A、B互不相容，且A∪B＝Ω，則稱A、B為互逆事件（簡稱A，B互逆）事件A的逆事件記作（也可記B＝，或A＝）。

逆事件概率的計(jì)算公式P（）＝1－P（A）

2020/10/1651第四節(jié)概率的乘法公式

一、事件的交

定義1在一次試驗(yàn)中事件A與事件B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為事件A與事件B的交（或積）記作A∩B（或A×B），有時(shí)也簡記為AB。

2020/10/1652二、條件概率與概率乘法公式

在實(shí)際問題中，除了要計(jì)算A的概率P（A）外，有時(shí)還需要計(jì)算在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率，這時(shí)用記號(hào)P（A|B）表示，由于增加了新的條件：“事件B已發(fā)生”，所以稱P（A|B）為條件概率。概率的乘法公式

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A