稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目教學(xué)課件

稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目服從真理，就能征服一切事物稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目服從真理，就能征服一切事物怎樣解題清華中學(xué)康貴生學(xué)會學(xué)解題前3步體現(xiàn)了“接受記憶知識——練習(xí)鞏固知識——頓悟形成理解”這樣一個逐步深化的認(rèn)識過程，是傳統(tǒng)教學(xué)所熟悉的．

解題思維需要有“第二過程”的暴露數(shù)學(xué)解題思維過程的暴露是一個不斷分析解題過程、循環(huán)提升理解能力的探究活動．在過程上，既有“第一過程”的暴露又有“第二過程”的暴露，是解題思維的全過程暴露；在內(nèi)容上，既包括數(shù)學(xué)家的思維、又包括教師的思維、學(xué)生的思維（教室里應(yīng)是這三種思維的同時暴露）．（1）弗里德曼在《怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題》（文[5]）“致讀者”中，分析學(xué)生解了大量的題但還“不開竅”時指出：“這些學(xué)生沒有在應(yīng)有的程度上分析所解的習(xí)題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個答案．”波利亞的《怎樣解題》一書正是通過剖析典型例題的解題過程來展開“解題表”和“教會年輕人去思考”的，并且在解題表中專設(shè)了一個步驟“回顧”，為每一道題的自覺分析都留下了時間和空間．他在書中指出：“一個好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒有任何問題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做．經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平．”這就又進(jìn)一步說明，分析解題過程不僅能“改進(jìn)”解答，而且總能提高“理解”水平．波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中還具體指出解題分析的最佳時機(jī)：“可能是讀者解出一道題的時候，或是閱讀它的解法的時候”．主要的解題理論①波利亞的《怎樣解題》②弗里德曼在《怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題》③元認(rèn)知理論認(rèn)④數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論⑤分析典型的例題或自己的解題，也是一種“案例分析”，它是“案例數(shù)學(xué)”在解題教學(xué)中的移植解題差異論認(rèn)為，解題的過程就是消除已知（條件）與未知（結(jié)論）之間差異的過程．什么是數(shù)學(xué)問題解決呢？

1．問題解決是心理活動．

2．問題解決是一個過程．

3．問題解決是一個目的．

4．問題解決是一種能力．

數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)教育中的重要性波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練”（參見文[5]序言），解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有不容置疑的重要性:1．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題的思維實質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)．2．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的實質(zhì)活動，解題活動的核心價值是掌握數(shù)學(xué)．3．?dāng)?shù)學(xué)解題是評價數(shù)學(xué)能力時不可削弱的主體構(gòu)成，解題測試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)解題就是解題者在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)基本技能分析、解決問題的過程．

波利亞的怎樣解題表：弄清問題擬定計劃實現(xiàn)計劃回顧解題化歸論解題化歸論認(rèn)為，解數(shù)學(xué)題的過程，就是將未知的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決問題的過程．這是一種關(guān)于解題的很流行的觀點，笛卡兒（公元1596～1650）在《指導(dǎo)思維的法則》一書提出的“通用方法”有化歸思想的明確表達(dá)：●將所論的問題化歸為數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)化），●將數(shù)學(xué)問題化歸為代數(shù)問題（代數(shù)化），●將代數(shù)問題化歸為方程的求解（計算化）．雖然這種方法不是萬能的，但所體現(xiàn)的化歸思想確實是非常有價值的．1波利亞的《怎樣解題表》喬治·波利亞（GeorgePolya1887～1985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家．在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法)現(xiàn)代研究的先軀．

波利亞（公元1889-1985）的《怎樣解題》一書體現(xiàn)了解題化歸論，波利亞的著作運(yùn)用化歸思想十分熟練、實施化歸途徑非常豐富（當(dāng)然波利亞的解題思想不僅僅是化歸）．?dāng)?shù)學(xué)解題美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P·R·Halmos）認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟．他說：“數(shù)學(xué)究竟是由什么組成的？定理嗎？證明嗎？概念？定義？理論？公式？誠然，沒有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不在,這些都是數(shù)學(xué)的必要組成部分，但是，它們中的任何一個都不是數(shù)學(xué)的心臟,這個觀點是站得住腳的，數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解問題．因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解．”引例——經(jīng)驗和知識的積累．例2-1已知求證．經(jīng)測試，學(xué)生普遍都能找到多種解法，但對哪種解法更反映問題的本質(zhì)或深層結(jié)構(gòu)，認(rèn)識是不一致的．證明１（從結(jié)論出發(fā)，用配方法）證明２（從結(jié)論出發(fā)，用基本不等式）

證明３（用柯西不等式）

證明4（兩次用基本不等式）

相乘在同學(xué)們各抒己見的基礎(chǔ)上，我們不表態(tài)，請大家繼續(xù)思考下題：例2-2已知求證．這時，不同解法的難度、長度和技巧表現(xiàn)出差異．證明１（配方法）證明2（柯西不等式法）

證明3（三次用基本不等式法）

相乘

．同學(xué)們體會到，當(dāng)字母增加時，三次用基本不等式法更反映題目的結(jié)構(gòu)，并立即推廣得例2-3已知是個正數(shù)，滿足求證

原題目：在橢圓上求一點，使它與倆焦點的連線互相垂直。隨著新課程改革的深入，處理好教材上的習(xí)題，挖掘它的潛在教育價值功能。注意題目的引伸、變式、推廣等，落實學(xué)生的“三維”目標(biāo)和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。例如高中《數(shù)學(xué)第二冊（上）》第132頁第6題來進(jìn)行剖析說明。原題目：在橢圓上求一點，使它與倆焦點的連線互相垂直。（04湖南）已知是橢圓C：的兩個焦點，在C上滿足的點P的個數(shù)為_________.（2000年天津、江西）、橢圓的焦點為點P為其上的動點，當(dāng)為鈍角時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是____________.（2004年福州）已知P點是橢圓上的一點，是兩個焦點，且=，則的面積_______________.已知橢圓：的兩個焦點分別為點P是橢圓上的任意點，它的橫坐標(biāo)為x，一般地有：

雙關(guān)圖這種畫有不止一種效果，如果你按通常的方式去看它，它是一個圖像，可是如果你轉(zhuǎn)到另一個位置再換一種特殊方式去看它，那么另一個圖像就會突然閃現(xiàn)在你面前，并對第一個圖像發(fā)表某些詼諧的評論．

我們也許會一下子看出隱藏在塞滿了的畫面里的真正圖形，也可能是逐漸地把它認(rèn)了出來．我們可能是在努力解題的過程中，也可能是在一些次要的、非實質(zhì)性的機(jī)會中達(dá)到了它．

波利亞強(qiáng)調(diào)了審題步驟的必要性和優(yōu)先地位．審題工作的重要還表現(xiàn)在一句口頭禪上：成在審題、敗在審題，審清題意就等于解決了問題的一半．對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關(guān)于這類題的解法就召之即來（叫做模式識別）．即使是新的“陌生情景”，我們也有了解決它的目標(biāo)與原始基礎(chǔ)，繼而可以用“差異分析”、“數(shù)形結(jié)合”等措施．36、自己的鞋子，自己知道緊在哪里?！?/p>