新人教A版必修一4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪課件（40張）

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)

n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.n次方根如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1,n∈N*.可用下表表示:n為奇數(shù)n為偶數(shù)a∈Ra>0a=0a<0____x=____x=0不存在x=±【思考】

正數(shù)a的n次方根一定有兩個(gè)嗎?提示:不一定.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)a的n次方根有兩個(gè),且互為相反數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)a的n次方根只有一個(gè)且仍為正數(shù).2.根式(1)式子叫做根式,n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì):當(dāng)n>1,n∈N*時(shí),【思考】

中的字母a的取值范圍是否一樣?提示:取值范圍不同.式子中隱含a是有意義的,若n為偶數(shù),則a≥0,若n為奇數(shù),a∈R;式子中,a∈R.3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(a>0,m,n∈N*,且n>1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義【思考】

為什么分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的底數(shù)規(guī)定a>0?提示:(1)當(dāng)a<0時(shí),若n為偶數(shù),m為奇數(shù),則無意義;若n為奇數(shù),則有意義.(2)當(dāng)a=0時(shí),a0無意義.4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(a>0,b>0,r,s∈Q)(1)aras=ar+s.(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr.【思考】

同底數(shù)冪相除ar÷as,同次的指數(shù)相除分別等于什么?提示:(1)ar÷as=ar-s;(2)【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”) (

)(2)對(duì)于a∈R,(a2+a+1)0=1成立. (

) (

)提示:(1)×.(2)√.因?yàn)閍2+a+1≠0,所以(a2+a+1)0=1成立.(3)×.2.化簡(jiǎn)=____.

【解析】原式=答案:x3y23.若x<0,則【解析】因?yàn)閤<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.答案:1-2x類型一n次方根概念及相關(guān)的問題【典例】1.化簡(jiǎn)(

)

【思維·引】1.根據(jù)根指數(shù)的奇偶、π和3的大小化簡(jiǎn).2.將被開方數(shù)配成完全平方后化簡(jiǎn).3.根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù),0次冪的底數(shù)不等于0求a的范圍.【解析】1.選D.=π-3-π-3=-6.2.選A.

得a≥2,且a≠3.答案:[2,3)∪(3,+∞)【內(nèi)化·悟】1.對(duì)于根式化簡(jiǎn)需要注意哪些問題?提示:注意n的奇偶和a的符號(hào).2.怎樣求根式中變量的范圍?提示:根指數(shù)是偶數(shù)時(shí),被開方數(shù)非負(fù),根指數(shù)為奇數(shù)時(shí),被開方數(shù)為任意實(shí)數(shù).【類題·通】1.n(n>1)次方根的個(gè)數(shù)及符號(hào)的確定(1)方根個(gè)數(shù):正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù),任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個(gè).(2)符號(hào):根式的符號(hào)由根指數(shù)n的奇偶性及被開方數(shù)a的符號(hào)共同確定:①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),為非負(fù)實(shí)數(shù).②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),的符號(hào)與a的符號(hào)一致.2.根式化簡(jiǎn)與求值的思路及注意點(diǎn)(1)思路:首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式,然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).(2)注意點(diǎn):①正確區(qū)分兩式.②運(yùn)算時(shí)注意變式、整體代換,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用,必要時(shí)要進(jìn)行討論.【習(xí)練·破】

1.已知a∈R,n∈N*,給出下列4個(gè)式子:

其中無意義的有

(

)個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)【解析】選A.①中-22n<0,所以無意義,②中根指數(shù)為3,有意義,③中(-2)2n>0,有意義,④中根指數(shù)為3,有意義.2.若則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

【解析】

1-2a.所以|2a-1|=1-2a,故2a-1≤0,所以a≤.答案:

類型二根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【典例】1.根式(式中a>0)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為________.

2.式子化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為________.

【思維·引】1.由里向外逐層化指數(shù),再利用運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算.2.先將根式化為指數(shù)式,再利用同底數(shù)冪相除運(yùn)算.【解析】1.答案:

2.答案:

【內(nèi)化·悟】1.分?jǐn)?shù)指數(shù)化根式時(shí)需要注意什么?提示:注意分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母為根指數(shù),分子為被開方數(shù)的指數(shù),二者不能顛倒.2.對(duì)于多層根號(hào)的根式,應(yīng)該以什么樣的順序變形?提示:應(yīng)按照從里往外的順序變形.【類題·通】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的方法及思路(1)方法:根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母,被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.(2)思路:在具體計(jì)算中,通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題.提醒:如果根式中含有多重根號(hào),要由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出.【習(xí)練·破】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示(a>0)為 (

)【解析】選B.【加練·固