6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

課題6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算課型新授課一、內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容向量的數(shù)乘運(yùn)算．2.內(nèi)容解析本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第2節(jié)第三課時(shí)的內(nèi)容——向量的數(shù)乘運(yùn)算，是在學(xué)習(xí)了向量的加減法基礎(chǔ)上的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，可以理解為幾個(gè)特殊（相等）向量的加法，這種特殊的加法可以用一種更簡(jiǎn)潔的形式來(lái)描述，其實(shí)也可以類比到實(shí)數(shù)的加法到乘法的學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，實(shí)數(shù)與向量的乘積仍然是一個(gè)向量（因?yàn)楸举|(zhì)上還是加法），要按大小和方向這兩個(gè)要素去理解。向量的數(shù)乘運(yùn)算與向量的加減法運(yùn)算一樣也有運(yùn)算律，可以對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算及它們的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，也叫向量的初等運(yùn)算，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量知識(shí)（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示以及后續(xù)的空間向量?jī)?nèi)容）和運(yùn)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)與向量的積的結(jié)果是向量，要按大小和方向這兩個(gè)要素去理解，特別是與已知向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理。向量共線定理實(shí)際上就是由實(shí)數(shù)與向量的積的定義得到的，定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問(wèn)題又提供了一種方法。特別注意的是向量的平行要與平面中直線的平行區(qū)別開來(lái)。理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。二、目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)（1）通過(guò)經(jīng)歷向量數(shù)乘運(yùn)算的探究過(guò)程，借助實(shí)數(shù)的乘法以及物理中的實(shí)例，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律，理解其幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。（2）通過(guò)對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算的進(jìn)一步理解，感受實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線，并通過(guò)具體情況分析總結(jié)得出向量共線定理，利用向量共線定理判斷或證明兩個(gè)向量共線，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生能通過(guò)具體的一類共線向量的加法，類比數(shù)的乘法引出向量數(shù)乘的運(yùn)算法則，借助有向線段表示向量數(shù)乘的幾何意義；能像了解實(shí)數(shù)的運(yùn)算律一樣，通過(guò)具體實(shí)例了解向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律，理解向量線性運(yùn)算的一些運(yùn)算性質(zhì)，體會(huì)其幾何意義.（2）學(xué)生能夠理解：數(shù)乘向量的結(jié)果是與原向量共線的向量；反之，與一個(gè)非零向量共線的向量可以寫成是一個(gè)實(shí)數(shù)與這個(gè)非零向量的積，并且這個(gè)實(shí)數(shù)是唯一的，并能利用向量共線定理解決問(wèn)題。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加減法運(yùn)算，這些內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的基礎(chǔ)。向量的數(shù)乘運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法有些類似，是對(duì)加法的簡(jiǎn)介表述，學(xué)生不難想像出向量長(zhǎng)度之間的倍數(shù)關(guān)系，但是向量的方向之間的關(guān)系怎么描述對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可能會(huì)有難度。第一，物理中許多有關(guān)矢量的合成、分解、力做的功等實(shí)例可以作為向量有關(guān)運(yùn)算的模型，但這個(gè)從物理背景引出向量運(yùn)算的過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然存在困難．特別是向量既有大小，也有方向，在向量的數(shù)乘運(yùn)算中，對(duì)于方向如何參與運(yùn)算，學(xué)生沒(méi)有直接的經(jīng)驗(yàn)。因此需要與物理中的矢量對(duì)比，從大小和方向兩個(gè)角度分析.第二，向量的運(yùn)算性質(zhì)的探究過(guò)程是類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。類比數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生能夠想到向量的線性運(yùn)算可能會(huì)有一些類似的運(yùn)算性質(zhì)，雖然名稱相同，但運(yùn)算的原理、方法、運(yùn)算規(guī)律都有較大的區(qū)別，學(xué)生很容易帶著實(shí)數(shù)運(yùn)算的思維定勢(shì)來(lái)理解平面向量運(yùn)算，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)向量的運(yùn)算偏于形式化記憶，對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算概念、算理的理解不深刻。因此需要借助圖象加強(qiáng)理解，數(shù)形結(jié)合。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法。教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用向量共線的性質(zhì)和判斷方法處理有關(guān)向量共線問(wèn)題。五、教學(xué)策略分析在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問(wèn)題引導(dǎo)方式來(lái)組織課堂教學(xué)．問(wèn)題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題主線，通過(guò)自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中，重視注重與實(shí)際的聯(lián)系，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境.通過(guò)這些實(shí)例使學(xué)生了解向量?jī)?nèi)容的物理背景，理解向量?jī)?nèi)容.通過(guò)與數(shù)及其運(yùn)算的類比，體會(huì)研究向量的基本思路。六、學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)（一）向量的數(shù)乘引言：我們知道數(shù)和整式是可以做乘法運(yùn)算的，乘法是將幾個(gè)相同的數(shù)加起來(lái)的簡(jiǎn)潔方式，平面向量既有大小，又有方向，那么幾個(gè)相同平面向量相加可以用乘法表示嗎？問(wèn)題1：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它們的長(zhǎng)度與方向分別是怎樣的？（與非零向量的關(guān)系）師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生舉例子并畫圖嘗試計(jì)算，從形與數(shù)兩個(gè)角度表達(dá)自己的計(jì)算結(jié)果，在研究向量的關(guān)系時(shí)要研究大小和方向兩個(gè)維度。教師還可以組織學(xué)生舉一些類似的例子，并探究結(jié)論。如可以借助幾何畫板等信息技術(shù)手段作出12a等向量，與向量a進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。讓學(xué)生初步體會(huì)對(duì)于不同值，向量λa與a之間的關(guān)系，體會(huì)這種向量運(yùn)算所蘊(yùn)含的數(shù)與形的含義．最后教師引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的乘法，給出向量數(shù)乘運(yùn)算的概念．預(yù)設(shè)：a+a+a的方向與a的方向相同，長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍；(-a)+(-a)+(-a)的方向與a的方向相反，長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍．追問(wèn)1：在整式運(yùn)算中，我們可以將x+x+x用乘法簡(jiǎn)寫為3x。對(duì)于非零向量a，a+a+a我們可以怎樣簡(jiǎn)寫呢？預(yù)設(shè)：類比整式運(yùn)算，我們可以用3a來(lái)表示a+a+a．追問(wèn)2：同樣的，(-a)+(-a)+(-a)可以簡(jiǎn)寫成什么呢？預(yù)設(shè)：可以簡(jiǎn)寫成-3a．追問(wèn)3：已知非零向量a，作出12a和-12預(yù)設(shè)：12a的方向與a的方向相同，長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的1-12a的方向與a的方向相反，長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的1追問(wèn)4：已知非零向量a，λa的長(zhǎng)度與方向分別是怎樣的？預(yù)設(shè)：λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍；當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a相同反．學(xué)生可能會(huì)想不到λ=0的情況，λ＞0和λ＜0的情況分析完就應(yīng)該還有λ=0，如果λ=0，那么λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的0倍，即|λa|=0，但λa仍然是向量，因此當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0．師生總結(jié)：定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.規(guī)定：①|(zhì)λa|＝|λ||a|，②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．當(dāng)λ取特殊值時(shí)，就會(huì)有特殊性的結(jié)論:當(dāng)λ=1時(shí)，λa=a，相等向量；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，零向量，零乘任何向量的結(jié)果為零向量；當(dāng)λ=-1時(shí)，(-1)a=-a，-1乘任何向量得到這個(gè)向量的相反向量．設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：類比數(shù)的加法運(yùn)算，用向量加法運(yùn)算法則，計(jì)算3個(gè)向量a（或-a）的和，用簡(jiǎn)約的方式表示計(jì)算的結(jié)果，進(jìn)而提出向量數(shù)乘運(yùn)算的概念，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，從向量數(shù)乘的角度看待特殊向量關(guān)系（相等向量、零向量和相反向量）．思考：如果把非零向量a的長(zhǎng)度伸長(zhǎng)到原來(lái)的3.5倍，方向不變，得到向量b該如何表示？向量a與向量b之間有什么關(guān)系？預(yù)設(shè)：符號(hào)表示：b=3.5a幾何表示：關(guān)系：a與b方向相同，|b|=3.5|a|．向量數(shù)乘的幾何意義：把向量b沿著向量a的方向或反方向長(zhǎng)度放大或縮?。ǘ┫蛄康臄?shù)乘運(yùn)算律問(wèn)題2：在整式運(yùn)算中，我們有3(2a)=(3×2)a，(2+3)a=2a+3a，2(a+b)=2a+2b，若把數(shù)a，b換成向量a、b，上式是否仍成立?（可以從哪些維度來(lái)驗(yàn)證是否成立）試結(jié)合圖象說(shuō)明你的結(jié)論．師生活動(dòng)：學(xué)生類比數(shù)的運(yùn)算律提出向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律，再借助向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，自主驗(yàn)證向量數(shù)乘運(yùn)算的三個(gè)運(yùn)算律．對(duì)于有困難的學(xué)生可以組間交流，教師指導(dǎo)。另外，在教師引導(dǎo)下，將向量的加法、減法和數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，即定義線性運(yùn)算．要給學(xué)生說(shuō)明，有了向量的線性運(yùn)算，平面中的點(diǎn)、線段（直線）就可以得到向量表示，這就為向量法解決幾何問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)．關(guān)于向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算性質(zhì)，也要讓學(xué)生加以了解．預(yù)設(shè)：結(jié)合圖像，可以發(fā)現(xiàn)，將實(shí)數(shù)a，b換成向量a、b后，上式仍成立．即：3(2a)=(3×2)a，(2+3)a=2a+3a，2(a+b)=2a+2b追問(wèn)1：換一組實(shí)數(shù)，驗(yàn)證上述三種形式的等式是否仍然成立？預(yù)設(shè)：結(jié)合圖像，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于另一組實(shí)數(shù)的三個(gè)等式仍成立．追問(wèn)2：你能試著總結(jié)平面向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律嗎？預(yù)設(shè)：學(xué)生總結(jié)：運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．教師補(bǔ)充：①特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．②我們把向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b．解釋：向量的線性運(yùn)算是向量數(shù)乘運(yùn)算律（1）（3）的復(fù)合由運(yùn)算律（3）得：λ(c＋d)＝λc＋λd；其中c=μ1a；d=μ2b，可得：λ(μ1a＋μ2b)＝λ(μ1a)＋λ(μ2b)再由運(yùn)算律（1）得：λ(μ1a＋μ2b)＝λ(μ1a)＋λ(μ2b)=λμ1a＋λμ2b設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)類比數(shù)的運(yùn)算律自行猜想出向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律，并借助向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾何意義加以驗(yàn)證．幫助學(xué)生積累從運(yùn)算的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的一些性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).（三）共線向量定理問(wèn)題3：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，小組交流．從正反兩個(gè)方面討論共線向量的數(shù)乘運(yùn)算表達(dá)．引導(dǎo)學(xué)生概括共線向量定理，并關(guān)注學(xué)生對(duì)定理中有關(guān)充要條件以及對(duì)λ的唯一性的理解．這里可以借助信息技術(shù)手段加以演示，讓學(xué)生直觀感知共線向量定理．預(yù)設(shè)：實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線．追問(wèn)1：對(duì)于向量a，b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么a與b共線嗎？預(yù)設(shè)：由向量數(shù)乘的定義，λa的方向與a的方向相同或者相反，符合共線向量的定義，因此λa與a共線，即a與b共線．追問(wèn)2：如果向量b與非零向量a共線，其中的一個(gè)向量一定是另一個(gè)向量的數(shù)乘向量？即b＝λa成立嗎？此時(shí)的λ是否唯一？預(yù)設(shè)：如果向量b與非零向量a共線，那么向量b的長(zhǎng)度與非零向量a的長(zhǎng)度之間存在μ倍的關(guān)系，且μ唯一，即|b|＝|μ||a|，那么當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=μa；那么當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b=-μa。因此，存在唯一λ，使b＝λa成立．追問(wèn)3：為什么要強(qiáng)調(diào)a≠0？預(yù)設(shè)：當(dāng)a＝0，不論λ取何值，|λa|都為0，此時(shí)如果|b|＝0，λ有無(wú)數(shù)個(gè)值；如果|b|≠0，λ無(wú)解．此時(shí)就無(wú)法說(shuō)明λ的存在且唯一的特點(diǎn)．因此將a=0單獨(dú)拿出來(lái)說(shuō)．其實(shí)我們?cè)谘芯肯蛄康臅r(shí)候經(jīng)常都是把零向量單獨(dú)來(lái)說(shuō)的．師生總結(jié)：向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．讓學(xué)生通過(guò)探討共線向量與向量數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)系得出共線向量定理．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)探討共線向量與向量數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)系得出共線向量定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)探討共線向量與向量數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)系得出共線向量定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).（四）典例示范例1計(jì)算：(1)(2)(3)總結(jié)：向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中也可以使用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．例2如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M且，，用向量表示總結(jié)：用已知向量表示其他向量的方法：（1）直接法：（2）方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．例3如圖，已知任意兩個(gè)非零向量，試作，，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。總結(jié)：1.若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線平行．2.若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合．例如，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．例4已知是兩個(gè)不共線的向量，向量共線，求實(shí)數(shù)t的值。解：由a、b不共線，易知向量為非零向量．由向量共線，可知存在實(shí)數(shù)λ，使得，即．由a、b不共線，必有．否則，不妨設(shè)，則．由兩個(gè)向量共線的充要條件知，a、b共線，與已知矛盾．由，解得因此，當(dāng)向量共線時(shí)，設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟練向量數(shù)乘運(yùn)算的相關(guān)計(jì)算，運(yùn)用共線向量定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟練向量數(shù)乘運(yùn)算的相關(guān)計(jì)算，運(yùn)用共線向量定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系．（五）課堂總結(jié)師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。設(shè)計(jì)意圖：師生共同回顧總結(jié)：引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．設(shè)計(jì)意圖：師生共同回顧總結(jié)：引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．（六）布置作業(yè)教材15頁(yè)——練習(xí)教材16頁(yè)——練習(xí)教材23頁(yè)——習(xí)題6.2復(fù)習(xí)鞏固5，8，9．七、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a(chǎn)＋3bC．|3a|D．eq\f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)2．下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是()①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.A．0B．1C．2D