7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義+教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)(1)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算及其幾何意義的探索(2)應(yīng)用運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題（3）通過課后作業(yè)的明辨探究，引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：1.在探究復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義中感受數(shù)學(xué)文化

2.了解復(fù)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義教學(xué)過程（一）教學(xué)引入：復(fù)數(shù)初體驗(yàn)師：給大家提前閱讀的數(shù)學(xué)史料中，大家已經(jīng)感受到復(fù)數(shù)與實(shí)際生活有著密不可分的聯(lián)系，虛數(shù)不“虛”，實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，也為實(shí)際生活提供了重要的理論依據(jù)。因此，我們需要研究復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義，讓我們一起在“數(shù)”與“形”的融合中，感受人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.『設(shè)計(jì)意圖』從學(xué)生們閱讀的數(shù)學(xué)史料中的內(nèi)容進(jìn)行引入，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，顯得自然且有代入感。接著通過提出復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的必要性馬上把學(xué)生從“欣賞數(shù)學(xué)家的已有成果”切換到“期待發(fā)現(xiàn)未知”。本環(huán)節(jié)的實(shí)施將激發(fā)學(xué)生的好奇心與學(xué)習(xí)動力.（二）回顧舊知（1）復(fù)數(shù)的概念師：在進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)之前，我們一起來回顧學(xué)過的復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容吧。首先是復(fù)數(shù)的概念（闡述），也即是復(fù)數(shù)一個二維數(shù)。在歷史上著名的卡丹問題后，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》首次給出“虛數(shù)”這一名稱。從此，虛數(shù)流傳開來。（2）復(fù)數(shù)的幾何意義師：由于復(fù)數(shù)是一個二維數(shù)，因此，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)。

（3）復(fù)數(shù)的模師：由其一一對應(yīng)性，我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)模長的定義。師：以上的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中的集合對應(yīng)思想。『設(shè)計(jì)意圖』用著名數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)帶領(lǐng)學(xué)生回顧所學(xué)知識，這不僅體現(xiàn)出數(shù)學(xué)家運(yùn)用他們的特殊知識與專業(yè)的方法解決在科學(xué)領(lǐng)域的顯著問題，讓學(xué)生感受科學(xué)沒有平坦大路，需要堅(jiān)持不懈與積累，還為之后學(xué)生的探究搭建了腳手架，復(fù)數(shù)加減法的探究也就變得自然。另外，充分用數(shù)學(xué)文化引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)并挖掘教材，不辜負(fù)教材編委的良苦用心.

（三）課堂探究

一）知識生成

（1）復(fù)數(shù)的加法師：引入新數(shù)集后，就要研究其中數(shù)之間的運(yùn)算與運(yùn)算律.你認(rèn)為怎樣定義復(fù)數(shù)的加法，可以與實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算法則保持一致？

師：我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和：.兩個復(fù)數(shù)的和仍是一個確定的復(fù)數(shù).實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加.類似于多項(xiàng)式相加.

師：深入認(rèn)識：1）當(dāng)都是實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)的和即為實(shí)數(shù)的和.2）兩個復(fù)數(shù)相加可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加，加法法則一致.師：接下來用一道小練習(xí)幫助大家更好的理解復(fù)數(shù)的加法法則練習(xí)1計(jì)算師：在這樣的定義下，請同學(xué)們思考，復(fù)數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交換律的推導(dǎo)）師：我們用實(shí)數(shù)加法交換律推導(dǎo)出復(fù)數(shù)加法也滿足交換律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想。師：大家接著思考，是否滿足結(jié)合律呢？可以證明到復(fù)數(shù)加法也滿足結(jié)合律。具體的證明過程留作大家的課后作業(yè)。師：由此，在復(fù)數(shù)加法的定義下，證明到復(fù)數(shù)加法仍滿足交換律與結(jié)合律。體現(xiàn)出數(shù)學(xué)文化中的公理化思想。通過嚴(yán)密的定義，使得數(shù)的運(yùn)算這一公理體系系統(tǒng)獨(dú)立、相容、完備。（2）復(fù)數(shù)加法的幾何意義師：學(xué)習(xí)完復(fù)數(shù)加法法則后，我們接著思考，復(fù)數(shù)有幾何意義.那復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么呢？能否根據(jù)進(jìn)行思考？（停留，學(xué)生思考）師：對應(yīng)，對應(yīng)，對應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)，即復(fù)數(shù)加法可按照向量加法來進(jìn)行。這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義。師：由此，我們學(xué)習(xí)到今天的第三個知識點(diǎn)（復(fù)數(shù)加法的幾何意義敘述），復(fù)數(shù)加法的幾何意義再一次凸顯了數(shù)學(xué)文化中的數(shù)形結(jié)合思想。（3）復(fù)數(shù)的減法師：學(xué)習(xí)完復(fù)數(shù)的加法，我們接著學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的減法。應(yīng)用類比推理法，規(guī)定復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算。那么，復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則是什么呢？該如何計(jì)算的值呢？師：由復(fù)數(shù)加法法則和復(fù)數(shù)相等的定義得：師：即實(shí)部與實(shí)部相減，虛部與虛部相減。在這里我們用到了數(shù)學(xué)文化中的待定系數(shù)法以及方程思想。師：因此，復(fù)數(shù)的減法法則如下：師：接下來請同學(xué)們完成今天的第二道小練習(xí)來理解復(fù)數(shù)的加、減法法則練習(xí)2計(jì)算

（4）復(fù)數(shù)減法的幾何意義師：應(yīng)用類比推理法，你能得出復(fù)數(shù)減法的幾何意義嗎？（PPT展示）師：復(fù)數(shù)減法的幾何意義等同于向量減法的幾何意義。師：請同學(xué)們根據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)之間的距離.

『設(shè)計(jì)意圖』本環(huán)節(jié)主要以老師的講授和引導(dǎo)為主，發(fā)揮教師的主體作用，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)文化層次更深的理解復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算及其幾何意義。應(yīng)用待定系數(shù)法、類比推理法等多方法和公理化思想、數(shù)形結(jié)合思想等多種數(shù)學(xué)思想角度來認(rèn)識，通過實(shí)數(shù)運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算的對比，通過復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義類比，使學(xué)生在差異與聯(lián)系中理解知識點(diǎn)的內(nèi)涵.二）課堂練習(xí)

師：接著，請同學(xué)們完成下面的幾道練習(xí)題，一起檢驗(yàn)一下今天學(xué)得如何吧！(1)已知為虛數(shù)單位，計(jì)算下列各式．1)；2)；3)；4)．【答案】1)；2)；3)；4).(2)已知四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，是原點(diǎn)，點(diǎn)分別表示復(fù)數(shù)，是，的交點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)表示的復(fù)數(shù).【答案】，(3)在復(fù)平面內(nèi)，分別對應(yīng)復(fù)數(shù)，以AB,AC為鄰邊作一個平行四邊形，求點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)及的長.【答案】z4＝7＋3i，（四）課堂小結(jié)，顆粒歸倉

（1）數(shù)學(xué)知識

1）復(fù)數(shù)的加法與減法法則2）復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義

（2）數(shù)學(xué)方法

1）待定系數(shù)法2）類比推理法

（3）數(shù)學(xué)思想

1）公理化思想2）化歸思想

3）方程思想4）數(shù)形結(jié)合思想

師：大家在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定能夠更深刻地感受數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)的魅力。

（五）作業(yè)布置

師：到這里，今天的微課就結(jié)束了，老師給大家布置了兩個小任務(wù)以及一個選做任務(wù)。

（1）感受數(shù)學(xué)文化：閱讀課外資料，了解復(fù)數(shù)在生活中的應(yīng)用.收集一些從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的數(shù)學(xué)史料，并對“整數(shù)——有理數(shù)——復(fù)數(shù)”的數(shù)系擴(kuò)充過程進(jìn)行整理.

（2）課堂知識鞏固：人教A版必修第二冊77頁練習(xí)題

（3）課后挑戰(zhàn)作業(yè)（學(xué)生依據(jù)自身情況自行選擇）1.若,為虛數(shù)單位，且，求的最小值.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)由點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為多少？

3.已知，，，，則的值是多少？教學(xué)反思本節(jié)課知識點(diǎn)難度不大，若只是傳授知識點(diǎn)，單一的重復(fù)，尤其是微課則很容易讓學(xué)生成為觀眾，難以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，也少了很多學(xué)生思維矛盾沖突點(diǎn)的教育契機(jī).所以在本節(jié)課中，我盡量使用“請同學(xué)們思考”，“你認(rèn)為如何定義”等，是想把對話像實(shí)時(shí)課堂一樣讓學(xué)生參與其中.我要做的就是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有趣、有探究的數(shù)學(xué)情境，顯然，數(shù)學(xué)文化是一個值得我們每位數(shù)學(xué)老師挖掘的情境寶庫.而對于普通的一線教師來講，在時(shí)間和精力有限的情況下，我們