安徽省阜陽(yáng)市潁上縣紅星鄉(xiāng)陳店中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

安徽省阜陽(yáng)市潁上縣紅星鄉(xiāng)陳店中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.正方體中，與對(duì)角線異面的棱有

（

）A．3條

B．4條

C．6條

D．8條參考答案：C2.已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上．若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為（）A． B．3 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M．根據(jù)橢圓方程求得c，進(jìn)而判斷出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離．【解答】解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x軸的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用．考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力．3.△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC有兩組解，則x的取值范圍（）A．x＞2 B．x＜2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】△ABC有兩組解，所以asinB＜b＜a，代入數(shù)據(jù)，求出x的范圍．【解答】解：當(dāng)asinB＜b＜a時(shí)，三角形ABC有兩組解，所以b=2，B=60°，設(shè)a=x，如果三角形ABC有兩組解，那么x應(yīng)滿足xsin60°＜2＜x，即．故選C．4.如圖，正方形OABC內(nèi)切圓，一直線L由OA開(kāi)始繞O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，角速度為弧度/秒，經(jīng)t秒后陰影面積為，則圖象為（

）A. B.C. D.參考答案：C分析】觀察圖像可知，陰影部分面積一直增加，再結(jié)合陰影部分面積增加的快慢，即可得出結(jié)果.【詳解】觀察圖像可知，面積變化情況為：一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢；因此，對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像變化率先增大后減小，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，根據(jù)題意能確定函數(shù)變化率即可，屬于?？碱}型.5.已知{an}是等差數(shù)列，且，則(

)A．12

B．16

C．24

D．48參考答案：C6.函數(shù)的最大值為（）A．e﹣1B．eC．e2D．參考答案：A

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．專題：計(jì)算題．分析：先找出導(dǎo)數(shù)值等于0的點(diǎn)，再確定在此點(diǎn)的左側(cè)及右側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，確定此點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，從而求出極值．解答：解：令，當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＜e時(shí)，y′＞0，，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以，故答案選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)極值的方法及函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)取得極值的條件．7.設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則、、三個(gè)數(shù)

（

）A.都大于2

B.都小于2

C.至少有一個(gè)大于2

D.至少有一個(gè)不小于2參考答案：D略8.“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458),若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列.則第30個(gè)數(shù)為(

)A.1278

B.1346

C.1359

D.1579參考答案：9.在△ABC中，

，則A等于（

）A．60°

B．45°

C．120°

D．30°參考答案：D10.已知，則(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且側(cè)棱垂直于底面，若與底面成60°角，則二面角的平面角的正切值為

．參考答案：12.若實(shí)數(shù)x，y滿足等式x2+y2=4x﹣1，那么的最大值為．x2+y2的最小值為．參考答案：,7﹣4.【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】①x2+y2=4x﹣1，令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0，令△≥0，解得k即可得出．②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．代入x2+y2，利用三角函數(shù)平方關(guān)系及其單調(diào)性即可得出．【解答】解：①∵x2+y2=4x﹣1，∴（x﹣2）2+y2=3．令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0，令△=16﹣4（1+k2）≥0，解得，因此的最大值為．②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．則x2+y2==7+4cosθ≥7﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=﹣1時(shí)取等號(hào)．13.已知,若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：14.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝，a＝4，b＋c＝6，且b<c，則b=

.參考答案：2略15.若△ABC的三條中線AD．BE、CF相交于點(diǎn)M，則＝參考答案：解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由平行四邊形法則得所以＝016.對(duì)于線性相關(guān)系數(shù)，敘述正確的是

；①，越大，相關(guān)程度越強(qiáng)，反之，相關(guān)程度越弱；②，越大，相關(guān)程度越強(qiáng)，反之，相關(guān)程度越弱；③且越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)；越接近于0，相關(guān)程度越弱；④以上說(shuō)法都不對(duì)參考答案：③17.寫(xiě)出命題“若a＞0，則a＞1”的逆否命題：___________________________．參考答案：若a≤1,則a≤0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（10分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，13＋23＋33＋……＋n3＝參考答案：19.（本小題10分）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)。(1)

求圓的極坐標(biāo)方程；(2)求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線．參考答案：20.假設(shè)某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0參考公式：=，=﹣試求：（1）y與x之間的回歸方程；（2）當(dāng)使用年限為10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是多少？參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，求出a的值．（2）根據(jù)第一問(wèn)做出的a，b的值，寫(xiě)出線性回歸方程，當(dāng)自變量為10時(shí)，代入線性回歸方程，求出維修費(fèi)用，這是一個(gè)預(yù)報(bào)值．【解答】解：（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示：從散點(diǎn)圖可以看出，樣本點(diǎn)都集中分布在一條直線附近，因此y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．利用題中數(shù)據(jù)得：=（2+3+4+5+6）=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，xiyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3，=22+32+42+52+62=90，所以==1.23，=﹣=0.08，∴線性回歸方程為=1.23x+0.08．（2）當(dāng)x=10時(shí)，=1.23×10+0.08=12.38（萬(wàn)元），即當(dāng)使用10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元．21.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ex（a∈R）（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并給予證明；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），證明：﹣＜f（x1）＜﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．（II）f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣ex=0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，進(jìn)而得出．【解答】（Ⅰ）解：a=1時(shí)，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此時(shí)函數(shù)f′（x）單調(diào)遞增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此時(shí)函數(shù)f′（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣ex=0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，∴0＜x1＜1＜ln2a，由