2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 含答案

2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題含答案

一、選擇題1.設(shè)$i$是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)$\frac{2i}{1-i}$在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（B）第二象限。2.從裝有$3$個(gè)紅球$2$個(gè)白球的袋中任取$3$個(gè)球，則所取$3$個(gè)球中至少有$1$個(gè)白球的概率是（C）$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。3.定積分$\int_{1}^{2}(2x+e)dx$的值為$e+2$。4.已知$p$是$q$的充分不必要條件，則$\negq$是$\negp$的必要不充分條件。5.已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(3,\sigma^2)$，且$P(X\leq4)=0.84$，則$P(2<X<4)=0.68$。6.設(shè)函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f(x)=\arctanx+C$。二、填空題7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2)$經(jīng)過關(guān)于$x$軸的對(duì)稱變換后得到點(diǎn)$B$，坐標(biāo)為$(1,-2)$。8.設(shè)$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，則$f(\frac{1}{2})=\frac{4}{5}$。9.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，且$\int_{a}^f(x)dx=0$，則$f(x)$在$[a,b]$上至少有一個(gè)零點(diǎn)。10.設(shè)$A$是一個(gè)$3\times3$的矩陣，且$\det(A)=2$，則$\det(2A^{-1})=\frac{1}{4}$。三、解答題11.已知函數(shù)$f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。解：$f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}$，$f''(x)=\frac{1-x}{(1+x)^3}$。12.已知函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$f(0)=f(1)=0$，證明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$\int_{0}^{1}xf(x)dx=-\frac{1}{2}\xi^2\int_{0}^{1}f''(x)dx$。證明：由分部積分可得$\int_{0}^{1}xf(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{x^2}{2}f'(x)dx$，再次分部積分可得$\int_{0}^{1}xf(x)dx=-\frac{x^2}{2}f(x)\big|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{x^3}{4}f''(x)dx$。因?yàn)?f(0)=f(1)=0$，所以$\int_{0}^{1}xf(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{x^3}{4}f''(x)dx$。由于$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，所以存在$\xi\in(0,1)$，使得$\int_{0}^{1}xf(x)dx=\xi^2\int_{0}^{1}f''(x)dx$。代入前式即得證。1.在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且函數(shù)y=(1-x)f'(x)的圖象如下圖，則結(jié)論(C)函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)一定成立。2.如果復(fù)數(shù)z=3-bi的實(shí)部和虛部相等，則|z|等于2。3.將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有12種。4.通過隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：|性別|愛好|不愛好|總計(jì)||------------|------------|--------------|------------||男|40|20|60||女|30|50|80||總計(jì)|70|70|110|則結(jié)論(D)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”是正確的。5.下列四個(gè)結(jié)論中正確的是①若p∧q是真命題，則?p可能是真命題；③“a>5且b>-5”是“a+b>0”的充要條件；④當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y=x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減。因此，選項(xiàng)(A)①④是正確的。6.在x+x+y的展開式中，x^5y^2的系數(shù)為30。7.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1，其導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)>k>1，則結(jié)論(A)f(1)<f(1/k)<f(k)一定錯(cuò)誤。一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽時(shí)，不需要補(bǔ)種的概率為1/3。這是因?yàn)樵谌齻€(gè)坑中，有兩個(gè)坑至少有1粒種子發(fā)芽，而只有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種，所以概率為1/3。已知函數(shù)f(x)=2lnx+bx，直線y=2x-2與曲線y=f(x)相切，則b=-2。由于相切，函數(shù)f(x)在相切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于直線的斜率，即f'(x)=2。又因?yàn)閒'(x)=2/x+b，所以b=-2。根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，可以求出x和y的平均值以及x和y的協(xié)方差。根據(jù)協(xié)方差公式，可以求出斜率b=5/8。根據(jù)y的平均值和斜率b，可以求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y=5/8x+13/4。表中t的值為0.5。（17）（本小題滿分10分）（Ⅰ）將C1的參數(shù)方程代入直角坐標(biāo)系中，得到x=1+cosθ，y=2+sinθ。將C2的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程，得到x=-2cosθ，y=-2sinθ。因此C1在直角坐標(biāo)系下的普通方程為y=2+sin(x-1)，C2在直角坐標(biāo)系下的普通方程為y=-x/2。（Ⅱ）直線l:y=x與C1相交的點(diǎn)坐標(biāo)為(1+cosα,2+sinα)和(1+cosβ,2+sinβ)。弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為[(1+cosα+1+cosβ)/2,(2+sinα+2+sinβ)/2]，即[(1+cos(α+β))/2,(2+sin(α+β))/2]。根據(jù)極坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式，可以求出弦MN中點(diǎn)的極坐標(biāo)為(√2,(α+β)/2)。（18）（本小題滿分12分）（Ⅰ）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，可以求出x和y的平均值以及x和y的協(xié)方差。根據(jù)協(xié)方差公式，可以求出斜率b=0.5。根據(jù)y的平均值和斜率b，可以求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.5x+8.9。（Ⅱ）將x=40代入線性回歸方程，可以求出y的預(yù)測(cè)值為28.9。（19）（本小題滿分12分）（Ⅰ）第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率為(2/5)×(3/4)=3/10。第一次檢測(cè)出的是正品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率為(3/5)×(2/4)×(1/3)=1/10。因此，第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品或者第一次檢測(cè)出的是正品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率為4/10=2/5。（Ⅱ）設(shè)檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品需要的次數(shù)為n。當(dāng)n=2時(shí)，費(fèi)用為200元；當(dāng)n=3時(shí)，費(fèi)用為300元；當(dāng)n=4時(shí)，費(fèi)用為400元。因此，X的分布列為P(X=200)=3/10，P(X=300)=1/5，P(X=400)=1/2。X的均值為E(X)=200×3/10+300×1/5+400×1/2=320元。（20）（本小題滿分12分）（Ⅰ）連接DE和AC，設(shè)交點(diǎn)為F。由于AB1C1B和DECB1C是平行六面體，所以DE∥平面ABC。由于AC⊥BC且ACB是直角三角形，所以AF=FC。因此，DE∥平面AAC1C。（Ⅱ）連接AB1和CC1，設(shè)交點(diǎn)為G。由于AB1和CC1都與平面ABC垂直，所以AB1∥CC1。又因?yàn)锳B1=2BC1，所以AB1⊥BC1。因此，BC1⊥AB1。（21）（本小題滿分12分）由于f(x)與y軸交于點(diǎn)A，所以f(0)=e。由于f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1，所以f'(0)=-1。因此，f(x)=e-x-1，a=1。f(x)的極值為f(0)=e-1。當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)=-e-2x<0，所以f(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞減。因此，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<e，即x+1<e。設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(1+x)$，$g(x)=xf'(x)$，$x\geq0$，其中$f'(x)$是$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)。（Ⅰ）若$f(x)\geqag(x)$恒成立，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)$n\inN$，證明：$\frac{2}{3}\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right)+\frac{1}{3}\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)<\ln(n+1)$。解析：（Ⅰ）由題意得：$$\ln(1+x)\geqax\ln(1+x),\quadx\geq0$$當(dāng)$x=0$時(shí)，左右兩邊均為$0$，故原式恒成立。當(dāng)$x\neq0$時(shí)，兩邊同時(shí)除以$\ln(1+x)$，得到：$$1\geqax,\quadx>0$$因?yàn)?x>0$，所以$a$必須為正數(shù)。當(dāng)$a>0$時(shí)，原式恒成立；當(dāng)$a=0$時(shí)，原式變?yōu)?\ln(1+x)\geq0$，顯然也恒成立。綜上，$a\geq0$。（Ⅱ）證明：令$f(x)=\ln(x)$，則$f'(x)=\frac{1}{x}$，$g(x)=\frac{x}{1+x}$。我們要證明的不等式可以改寫為：$$\frac{2}{3}f(n+2)-\frac{2}{3}f(n+1)+\frac{1}{3}f(n+1)-\frac{1}{3}f(n)<f(n+1)$$即：$$f(n+2)-2f(n+1)+f(n)<0$$考慮函數(shù)$h(x)=f(x+1)-2f(x)+f(x-1)$，則$h'(x)=f''(x)-2f''(x)+f''(x-1)=f''(x)-2f''(x+1)+f''(x+2)$。因?yàn)?f(x)=\ln(x)$，所以$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，代入上式得：$$h'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x+3)^2}$$當(dāng)$x\geq1$時(shí)，$h'(x)<0$，即$h(x)$是單調(diào)遞減的。又因?yàn)?h(1)=h(2)=0$，所以當(dāng)$x\geq2$時(shí)，$h(x)<0$。因此，當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$h(n)<0$，即$f(n+1)-2f(n)+f(n-1)<0$，即$f(n+2)-2f(n+1)+f(n)<0$，即所要證明的不等式成立。當(dāng)$n=1$時(shí)，$\ln\left(\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{3}\ln(2)<\ln2$，也成立。綜上，所要證明的不等式對(duì)于所有$n\inN$都成立。（Ⅰ）設(shè)“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，根據(jù)條件概率公式，有P(A)=2/3。（4分）（Ⅱ）X的可能取值為200、300、400。根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率分布律，分別計(jì)算P(X=200)、P(X=300)、P(X=400)。P(X=200)=2/5。（6分）P(X=300)=3/10。（7分）P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-13/30=17/30。（8分）因此，X的概率分布列為：（9分）X200300400P2/53/1017/30根據(jù)期望的線性性質(zhì)，有EX=200×2/5+300×3/10+400×17/30=350。（12分）（20）（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）由題意可知，E是BC的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，因此DE是△ACB的中位線，所以DE//AC。又因?yàn)镈E⊥面ACC，AC⊥面ACC，所以DE∥平面AAC。因此，DE∥平面AAC。（2分+3分+5分）（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥面ABC，AC⊥面ABC，所以AC⊥CC1。又因?yàn)锳C⊥BC，BCCC1=90°，所以AC⊥面BCC1。又因?yàn)锽C1⊥面BCC1，所以BC1⊥AC。因?yàn)锽C=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C。因?yàn)锳C,B1C⊥面BAC，ACB1C=90°，所以BC1⊥面BAC。又因?yàn)锳B1⊥面BAC，所以BC1⊥AB1。因此，BC1⊥AB1。（6分+7分+8分+9分+11分+12分）（21）（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由f(x)=e^(2ax)，得f'(x)=2ae^(2ax)。又f'(0)=1+2a=-1，得a=-1。因此，a=-1。（1分+2分）（注：原文中的公式和符號(hào)混亂，已經(jīng)進(jìn)行了修正）題目：證明ln(1+x)>=x/(1+x)(x>-1)首先，根據(jù)題目中的條件，1+x>0，所以可以將不等式兩邊同時(shí)乘以1+x，得到：ln(1+x)*(1+x)>=x接下來，對(duì)不等式左邊的部分進(jìn)行展開：ln(1+x)*(1+x)=(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...)*(1+x)=x+(x^2/2-x^3/3+x^4/4-...)+x*(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...)=x+(x^2/2-x^3/3+x^4/4-...)*(1+x)因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，x^k/k是單調(diào)遞減的，所以有：x^2/2>x^3/3>x^4/4>...所以，(x^2/2-x^3/3+x^4/4-...)是一個(gè)負(fù)數(shù)，因此：ln(1+x)*(1+x)>x即：ln(1+x)>x/(1+x)因此，原不等式得證。