高等數(shù)學(xué) 函數(shù)

高等數(shù)學(xué)課件函數(shù)第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的全體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.描述法枚舉法不含任何元素的集合稱為空集.第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月是B的子集

,或稱B包含A,集合之間的關(guān)系：則稱A若且則稱A

與B

相等,顯然有下列關(guān)系:若設(shè)有集合記作記作必有規(guī)定空集為任何集合的子集.若且則稱A

是B

的真子集,記作第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月并集交集且差集但集合運(yùn)算:余集或補(bǔ)集卡氏積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2.區(qū)間:是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月半開半閉區(qū)間：有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3.鄰域:第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月4.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.在數(shù)軸上，常量表示定點(diǎn)，而變量表示動點(diǎn).第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應(yīng)法則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.二、函數(shù)概念1.映射第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月對映射,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,一元函數(shù)是一種特殊的映射，即非空集合X與Y均為實(shí)數(shù)集.第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2.函數(shù)設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱為值域(對應(yīng)法則)(值域)(定義域)

定義域使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.定義域自變量因變量第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線(3)狄利克雷函數(shù)第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)取最值函數(shù)yxoyxo第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月在自變量的不同變化范圍中,

對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例解故第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月三.函數(shù)特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界，使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)時,稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增加函數(shù);單調(diào)減少函數(shù).第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當(dāng)必有yxox-xyxox-x第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月四.反函數(shù)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形對稱.關(guān)于直線第